LIVRE III, CONTENANT 3a PROPOSITIONS

Définition des lieux géométriques. n 3 .

PautiKRB rnorostTion. Si d'un point donné on mène 4 une droite donnée des lignes qui soient divisées dans un rapport connu , le lieu des points de division est une autre droite déterminée de position, a. Si d’un point donné, on mène à la circonférence d’un cercle donné des lignes droites , et qu'on les divise daps un rapport connu, le lieu des points de division est une circonférence de cercle déterminée. 3 . Sur chacun des côtés d’un angle donné , on place un point , et sans changer le rapport des distances des deux points ainsi déterminés au sommet de l’angle, ni la position de ce sommet, ni 1a grandeur de l'angle, on suppose que l’un des points parcourt une ligne droite donnée , il est question de démontrer que l'autre point aura aussi pour lieu une droite déterminée. Si par un point fixe, on mène deux droites dont les longueurs sont dans un rapport constant , et dopt 1 inclinaison est invariable; si l'extrémité de lune parcourt une circonférence de cercle déterminée , l’extrémité de l'autre aura pour lieu une circonférence également déterminée. 5 . Une droite menée par un point fixe est divisée en un point de sa longueur en deux parties telles que le rectangle de l’une et de la ligne entière, équivaut à un rectangle constant et donné; si le point de section se meut en parcourant une droite donnée, l’extrémité de la ligne mobile aura pour lieu une circonférence déterminée, ti. Une droite assujétie à passer constamment par un point fixe , est divisée en deux parties telles que le rectangle de l'une comptée du ’ point fixe, par 1a ligne entière, soit constamment égal à un rectangle donné; si le point de division parcourt une circonférence donnée, l’extrémité de la droite aura pour lieu une ligne droite déterminée de position , ou une circonférence de cercle déterminée , selon que le point fixe sera ou ne sera pas situé sur la circonférence donnée. 7. La grandeur d’un angle , son sommet et le rectangle de ses côtés étant

TABLE DES MATIÈRES

fixes et donnés, si l'extrémité de l'un des côtés parcourt une ligne droite donnée, celle de l'autre aura pour lieu une circonférence de cercle déterminée. 8 Si deux droites, dont les longueurs sont dans un rapport constant, se meurent en .s’appuyant toujours snr deux droites fixes données et en conservant la môme direction, leur point d'intersection décrira une ligne droite déterminée. 9. Trois droites qui concourent en un même point étant données de position , si une quatrième droite les coupe sous une inclinaison constante, et de manière que le rectangle de son premier segment par une droite donnée , soit égal à la somme des rectangles de son premier et de son second segment par des lignes données; le lieu du point d’où sont comptés les segments, est une droite déterminée. 10. Quatre droites qui concourent en un même point, étant données de position, si une cinquième droite les coupe sous une inclinaison constante et de telle manière que la somme des rectangles de son premier et second segment par des lignes données, soit égale à la somme des rectangles de son troisième et de son. quatrième segment par d’autres lignes données, le point d'où sont comptés tous les segments, aura pour lieu une droite déterminée. 11. Une droite étant donnée de position, si deux autres droites la coupent sous des inclinaisons données, de manière à intercepter sur elle, à partir de deux points fixes, des segments dont le rapport soit constant, le point de concours des droites mobiles a pour lieu une droite déterminée, ta. Si par deux points donnés, on mène deux droites dont les longueurs soient entre elles dans un rapport constant, le point de concours de ces lignes aura pour lieu une droite ou une circonférence de cercle déterminée. t 3 . Si un point mobile est assujéli à cette condition que le quarré de sa distance à un point fixe donné , équivaille au rectangle de sa distance à une droite fixe et d'une autre ligne donnée, le lieu de ce point est une circonférence de cercle déterminée. i4« Si par deux points donnés, on mène deux droites qui se coupent, et qui soient telles que la différence du quarré de Tune et d'un espace donné, soit en rapport constant avec le quarré tic l'autre , le lieu du point de concours de ces droites est une circonférence de cercle déterminée. i 5 . Si par deux points fixes donnés, on mène deux droites qui se coupent de manière que la différence de leurs quarréa 1

soit constante , leur point de concours décrit une ligne droite déterminée de posi tion. 16. Lcmrne. 17. Si par plusieurs points fixes donnés , on fait passer des droites terminées toutes à un meme point , et telles que la somme de leurs quarrés soit constamment égale à un espace donné , ce point de concours aura pour lieu une circonférence de cercle déterminée. pages xt 3 — 135 .

TABLE DES MATIÈRES

iG3

Définition du pomme. page j36.

Paoroarrion 18. Trois points étant donnés; on peut en trouver un quatrième tel qu'en y faisant passer une droite quelconque, la somme des distances de cette droite lui déni premiers points donnés, soit égale à sa distance au troisième. iq. Un cercle et une droite étant donnés, on peut trouver un point tel que toute droite qui y passe et qui est terminée par le cercle et 1 a droite, est divisée au point cherché en deux segments dont le rectangle est déterminé, ao. Un cercle et un point étant donnés , on peut trouver un autre point tel qu'en menant de ce point et du premier, deux droites à un point quelconque de la circonférence, ces deux droites soient toujours dans un rapport donné, ai. Un cercle et une droite étant donnés, on peut trouver un point tel que toute droite menée par ce point à la ligne donnée, soit moyenne proportionnelle entre les deux segments interceptés par ta circonférence et la droite données, aa. Un point étant donné sur le diamètre d’un cercle donné, on peut trouver un autre point dans le prolongement de ce dia mètre tel que l'angle formé par deux droites menées de ce point aux extrémités d’une corde quelconque qui passe par le point donné, soit divisé en deux parties égales par le diamètre. a3. Un point étant donné sur la circonférence d’un cercle, on peut trouver uu autre point tel que deux droites menées par ce point et par le premier à la partie opposée de fa circonférence, retranchent sur une corde donnée des segments dout les rectangles soient entre eux dans un rapport connu. a4- Si par deux points donnés, on mène à l’une de deux lignes données, deux droites qui coupent l'autre ligne en deux points , on peut trouver sur cette seconde ligne deux points fixes, tels que le rectangle de leurs distances aux points d’intersection, soit égal à un rectangle assignable, qui restera le même quelle que soit la direction des deux droites sécantes. a5. Trois droites non-parallèles étant don nées de position , on peut en trouver une quatrième telle que ai l’on mène à travers les quatre droites, des parallèles à une cinquième droite donnée, ces parallèles coupent les quatre premières droites en parties proportionnelles, dont les rapports «ont constants. pages l36 — l4,Q-

Définition des isopérimètres. 1 4Q-

PnoposiTiov a 6 . Par une droite donnée de position, trouver un point tel que la somme de ses distances à deux points donnes , soit b plus petite possible. 37 . Les droites menées par deux points donnés â im même point de b circonférence d'un cercle, forment b somme 1 a moindre possible , quand elles sont également inclinées sur 1a tangente menée par leur point de concours. 38. Trouver un point tel que il ^

<64 TABLE DES MATIÈRES

la somme de ses distances à trois points donnés , soit 1* pins petite possible. 29. Trouver sur une droite donnée un point tel que les lignes menées de ce point à deux points donnés, comprennent le plus grand angle possible. 3o. Parmi tous les triangles isopérimètres qui reposent sur une même base , déterminer celui dont l'aire est la plus grande. 3i. Un polygone dont tous les côtés sont donnés, à l'exception d’un seul , comprend la plus grande aire possible quand il est inscrit dans un demi-cercle, dont le côté indéterminé est le diamètre. 3a. Le cercle est le plus grand de tous les polygones isopérimètres. ‘ pages >49 — >53.

Note de M. Leslies sur son analyse géométrique. i56.