VI
Construction des plans oscillateurs et des rayons de courbure des courbes a double courbure. Pl. 6 , 7 , 8.
Premier exemple. — Courbe à double courbure, résultant de l’intersection de deux cylindres droits à base circulaire. PI. G ,fig ■ 1 — 5 ..
3 o. On a déjà construit l’intersection de trois cylindres droits à base circulaire pour déterminer la position d’un point dont on connaît les distances à trois droites ( voy. le premier supplément à la Géométrie descriptive , pag. 109, art. ia 5 , et la planche (B) de ce supplément).- Ayant extrait de cette planche (B) la projection horizontale de l’intersection des deux cylindres désignés par les lettres (A) et (B) , proposons-nous de construire le plan osculateur et le rayon de courbure pour un point de cette intersection , par exemple , celui dont la projection horizontale est M, (pl. G ,fig. 1).
Les axes des deux cylindres coupent le plan horizontal aux points A et B ( pl. 6 ,fig. 1 ), et ont pour projections sur ce plan les droites A «, B b. Les traces des cylindres sur ce même plan étant les ellipses CG F,C'G' F', dont les petits axes CG, C’ G' sont égaux aux diamètres des cercles bases des cylindres, on a deux triangles rectangles F AH, F' B H' dont les côtés AH, B H' respectivement égaux aux droites AC,
22 GliOM^ïRIEDKSCRIPTIVR.
BC', sont opposes aux angles HFA, H'F'B que les arêtes des cylindres font avec le plan horizontal. Le point donné M est l’intersection de deux droites MN, M N 1 projection de deux arêtes des cylindres qui coupent le plan horizontal , l’une en N , et l’autre en N'.
• Les tangentes NO, N' O aux points N, N' des ellipses se coupent en un point O par lequel passe la tangente MO à la courbe MD K projection de la ligne d’intersection des deux cylindres. Désignant par (M) le point de cette ligne dont M est la projection sur le plan horizontal, et par (OM) la tangente au point (M) dont OM est la projection sur le même plan, nous allons d’abord construire le rayon de courbure p de la section normale du cylindre (B) dont le plan
passe par la tangente (OM). Dans la formule p = ,a ( ï ue nous
avons démontrée (appendice E, art. 6, pag. 120), r est le rayon du cercle base du cylindre, et A est l’angle que fait la tangente à ce cercle avec la tangente (OM) à la courbe d’intersection des deux cylindres. Connaissant cet angle dont le sommet est au point (M), on aura la valeur de p.
• Le point (M) est le sommet de l’angle droit de deux triangles rectangles MN'm, ML'm'; le premier semblable au triangle B F' H' a pour côté une droite Mm égale à la distance du point (M) au-dessus du plan horizontal ; le second a pour côtés adjacents à l’angle droit la droite Mm'=Mm,et la perpendiculaire ML' abaissée du point M sur la trace OL'N' du plan qui touche le cylindre (B) au point (M): faisant tourner ce plan tangent autour de sa trace horizontale ON' comme charnière, pour l’abattre sur le plan horizontal, l’arête du cylindre (B) qui passe par le point (M), et la tangente (OM) y deviennent N' P' et OP' T'. Elevant la perpendiculaire 1 V S' à P' N*, on a S' P' T' pour l’angle A. Doublant cet angle, on a le cosinus de 2 A ,
et par conséquent la valeur ^ — du rayon de courbure p.
On a construit à part cette valeur, en prenant {fig. 2) : ad= 1,
l'arc j'/ 1 du rayon ad égal au double de l’are S' P' T' (Jig. i)',bd ( fig . a) =cos. (a S’ P' T'); bc {fig. a)=C'G' (fig.i).
Cette construction donne la proportion :
ad dù:bc:.ad:de , ou i cos. aA:a r;: i:de= t Portant ce rayon de courbure de {fig. a ) sur la droite m! e' (Jig. 3 ) perpendiculaire à l’hypothénuse L' m' du triangle rectangle M L' m' ( fig. 3 ), le point d sera, dans le plan vertical de ce triangle, le centre de courbure de la section normale du rayon p dont le pian passe par la tangente (MO), et l’extrémité 9' de la verticale d J sera la projection horizontale du centre de courbure e'.
Faisant pour le cylindre (A) les constructions analogues à celles qu’on vient d’indiquer pour le cylindre (B), on a pour points analogues à ceux-ci : N', m , L', m\ P', S', T*, les suivants dans le même ordre : N, p,L, p.', P, S, T; le rayon p' de la section normale au point (M) du cylindre (A), dont le plan passe par la tangente (MO), a pour valeur Ayant porte ce rayon de courbure p' sur la
droite p/e perpendiculaire à Lp',le centre de la courbure t (i) de la section normale de ce rayon sera en projection horizontale le point 9; et la droite qui joint les centres de courbure des sections normales aux deux cylindres {les rayons de courbure p et p', sera en projection horizontale la droite 99'.
Concevons par la droite qui joint les centres de courbure e' et e des sections normales des deux cylindres (A) et (B), un plan vertical , et supposons que ce plan ait tourné autour de sa trace horizontale 99' comme charnière pour s’abattre sur le plan horizontal; on a dans ce plan un trapèze (fig . 4 ) formé par l’horizontale 99', et par deux vertifplcs, l’une 9 1 i|/ = 9' e' (fig. 3), et l’autre 9 les ex-
(1) Ce point t sort du cadre de U pUncLe ; il est le point de concours des deux droites p.’ t, 91, respectivement perpeouictdaires aux droites Lpt', LM 9.
.trémités <j/ et <|i de ces verticales (i) sont les centres de courbure des sections normales des deux cylindres, dont les plans passent par la tangente (MO) de l’intersection de ces deux cylindres.
Jm perpendiculaire abaissée tlu point (M) sur la droite | iji' (fig. 4 ) est le rayon du cercle osculaleur demandé ; et le pied de cette perpendiculaire en est le centre : ce cercle du rayon wz {fig. 4) est l’intersection de deux sphères des rayons p et p', qui ont pour centres les points i]> et Ç' {fig. 4 ). Sa projection horizontale est une ellipse Z M Y {fig. i),dont le petit axe Z Y est dirigé suivant la droite 99', et dont le demi-grand axe J z' fig. i est égal à «z {fig. 4 )- Cette ellipse est osculatrice de la courbe KMD projection horizontale de la ligue d’intersection des deux cylindres, au point M de cette projection; son centre J est la projection du centre u {fig. 4 ) du cercle oscillateur.
3 i. Puisque le cercle osculateur passe par la tangente O(M) qui coupe le plan horizontal {fig. i ) au point O, la trace horizontale du plan de ce cercle est une droite Ou perpendiculaire à la trace 9 9’ de la fig. 4, et le point u est dans le prolongement de la droite «z de cette figure. Le point (M) de l’intersection des deux cylindres étant projeté sur le plan de la fig. 4 , sa projection X est sur le droit Mx'x perpendiculaire à 99', à une distance x'x de 99' égale à Mm ouJVl m' (/%-. 3 ); en sorte que si l’on ne demandait que le plan osculateur au point (M) de la ligne d’intersection des deux cylindres, il serait déterminé par ses deux traces O u , u X {fig- 1 et 4 ) respectivement perpendiculaires aux droites 9 9' et 1)/ {fig. 4 )•
3 a. Le cylindre vertical qui a pour base le cercle osculateur au point (M), est coupé par le plan incliné normal à ce cytindre , qui
(1) Le pointai sort du cadre de la planche; il est le point de concours des deux droites i'ijf, 99, la seconde de ces droites étant perpendiculaire i 99'.
C ÈOM tTIUt DESCRIPTIVE. a5‘
passe par la tangente O(M), suivant une ellipse dont le centre de courbure au point (M), est sur une droite horizontale normale au cylindre, et parallèle a la normale Mi i«" de l’ellipse horizontale ZM Y {fig. i ); or le centre de courbure de la première ellipse est ( art. 77 E ) sur une perpendiculaire au plan du cercle osculateur , laquelle a pour projection horizontale la droite 99'w' r: {fig- 1 ); donc la projection horizontale r. {fig. 1) de ce centre de courbure est l'intersection de la droite p<ç/ et de la perpendiculaire Mm" à la tangente MO de la courbe K MD. Connaissant le rayon de courbure Ms de la première ellipse au point (M) du cercle osculateur, on en déduira le rayon de courbure Mu" {fig. 1) de l'ellipse horizontale ZMY, au point M par lequel passe la normale horizontale Msr du cylindre vertical. En effet, soit {fig. 5 ) dans le plan vertical O(M), un triangle rectangle MOm", dont le côté Mm" est égal Mm' {fig. 3 ), et dont l’angle MOm", ou *Op mesure l’inclinaison de la tangente (M)O et de sa projection horizontale MO {fig. 1), ou l'angle de deux sections du cylindre vertical, l’une normale, l’autre oblique, qui
passent par la même tangente; 011 a ( appendice E, pag. 12a, art. G)
M u" = M * cos.‘ ( a O p ).
Menant le diamètre y u' S de l’ellipse ZMY parallèle à la tangente MO, et abaissant la perpendiculaire Mv sur ce diamètre, 011 a vu (art. a 3 § IV) que Cette seconde valeur Mu" sert de vé-
rification à la précédente M r cos.' («O p).
Deuxième exemple. — Courbe a double courbure résultant de b intersection d'un tore et d'une sphère. PL 7, fig. 1 — \
3 5 . Ayant pris pour plans coordonnés uu plan horizontal {fig. 1 ) mené par le centre de la sphère perpendiculairement à l’axe de révolution du tore, et un plan vertical {fig. a) passant par cet axe et par le centre de la sphère, les projections du cercle générateur du
II' Suppl. 4
tore sur ces plans, sont EF ( fig . i ) et cfdd' (fig. a ). Les projections de l’axe de révolution sont A et a a', et celles du centre de la splière G et g. Après avoir construit, par la méthode connue, les projections LMN,lmn de la courbe d’intersection du tore et de la sphère, on demande les cercles osculateurs de cette courbe pour deux points (M) et (N), choisis de manière que les plans tangents au tore menés par ces points, ne soient pas de même espèce. Le plan tangent mené par le point (M) ou ( M , m) est de la première espèce, et les rayons de courbure des sections normales du tore qui passent par ce point, appartiennent à une ellipse (fig- 3 ), dont le grand axe op est la somme des deux rayons de courbure principaux oc, op (fig. 2) qui correspondent au point (M, m ) (fig. 1 et a) du tore.
Pour construire le point o (J 7 g. 2 ) on mène par le point donné m {ftg. a), l’horizontale mo qui coupe le cercle e/dd' au pointe; le rayon co de ce cercle étant prolongé, il rencontre la verticale a a' projection de l’axe du tore au point p', ce qui détermiue les rayons de courbure principaux oc, op au point (M) ou (M, ni) du tore.
Les plans tangents au tore et à la sphère menés par le point (M) de la courbe d’intersection de ces deux surfaces, se coupent suivant une tangente à cette courbe, que je désigne par la lettre ( T ). Leurs traces sur le plan horizontal ivre' (/Ig. a ) qui touche le tore suivant le cercle supérieur du rayon da' , ont pour projections horizontales (fi g. 1 ) les droites z (3, s' fi ( fig . 1 ) qui se rencontrent au point (3 , projection horizontale de l’un des points de la tangente (T). Cette tangente fait avec la tangente au cercle générateur du tore, menée par le point (M),un angle «y p opposé au côté horizontal a p du triangle rectangle «p y, et adjacent au second côté a y — 07 (fig- 3 ) de ce triangle. Connaissant cet angle, on en déduira le rayon de courbure de la section normale au tore, menée par la tangente (T). F.n effet, ayant construit l’ellipse (fig. 3 ), et l’angle oci que le grand axe oc fait avec le rayon vecteur ci, étant double de l’angle «yP compris entre la
tangente ( T ) et la tangente au cercle générateur du tore, le rayon vecteur c & est égal au rayon de courbure de la section normale du tore , dont le plan passe par la tangente ( T ) {Appendice E. art. “à, page 1 1 5 ). Pour avoir la projection verticale 9 {fig- a ) du centre de courbure de cette section, on prend oi{fig. a ) =cS ( Jig . 3 ), et on mène l'horizontale c 9, {fig. a) qui contient cette projection verticale. Cette projection est aussi sur la projection verticale mp de la normale au tore menée par le point (M); la droite mp coupe la droite tç au point demandé 9. La verticale 99' et la trace AM ( fig . 1 ) du méridien du tore, se rencontrent au point 9', {fig. 1 ) qui est la projection horizontale du centre de courbure dont 9 {fig. a ) est la projection verticale. Le point (9, 9') est le centre de courbure de la section normale au tore, dont le plan passe par la tangente (T).
Le plan vertical G 9' {fig. 1 ) qui contient le centre de la sphère ( G g), et le centre de courbure ( 9' 9' ), ayant tourné autour de la verticale G pour venir s’appliquer sur le plan méridien GH, ou son parallèle gh , on a {fig. a ) g pour le centre de la sphère, et îp l'un des points de la droite 19, pour le centre de courbure (9,9'). Le cercle décrit du point ^ comme centre avec le rayon ^z=ot=cî {fig. 3 ) , coupe le grand cercle de la sphère du rayon g h {fig. a) , et la demi-corde «a de ces deux cercles est le rayon de courbure demandé ( E, art. 77 pag. 80 ). Pour ramener le centre de courbure a dans le plan méridien G 9' {fig. 1 ), 011 prend la distance uu" k du point » à l’axe vertical gg > qui passe par le centre ( G ,g) de la sphère, et on porte cette distance ( fig. 1 ) sur G 9' de G eu J\ les points J' sont les deux projections du centre de courbure demandé. La droite qui joint le point ( ) et le point ( M ) est le rayon de courbure
au point ( M) de la ligne d’intersection du tore et de la sphère; ce
rayon a pour projections les droites Mu {fig. 1 ) et rnJ' {fig. a )
34 - Considérons maintenant le point (N) ou (N, n) du tore, pouf
lequel le plan tangent à ce tore est de la seconde espèce, et proposonsnous de construire le cercle osculateur de la courbe d’intersection du tore et de la sphère en ce point (N).
L’horizontale n r ( fig . a ) coupe le cercle générateur du tore au pointe, par lequel on mène le rayon cr de ce cercle, qui, prolongé, rencontre l’axe a a ' du tore au point s. Les rayons principaux du tore au point (N) sont évidemment cr et rs ; et, comme dans le cas particulier de la figure , ccs deux rayons sont égaux, l'hyperbole, lieu des rayons de courbure des sections normales du tore au point ( N ) , devient une ligne droite ri {fig. 4 ) dont le foyer est le point c, distant du point r de cr{fig. 4 ) = cr ou rs ( fig . a ).
La tangente ( T' ) au point ( N ) de l’intersection du tore et de la sphère coupe le plan horizontal te te' {fig. a ) au point dont la projection horizontale est |s' {fig- i ),et on a pour l’analogue du triangle rectangle aPy, contenu dans le plan tangent au tore nu point (M), le triangle %" p 1 y', dans lequel le côté a"y' est égal à rq' — oq (Jig 2) , et dont l’angle a"y'p' adjacent à ce côté, est égal à l’angle de la tangente (T') et de la tangente au cercle générateur du tore , angle qui a pour sommet, le point ( N ) intersection de ces deux tangentes.
Soit {fig- 4 ) rei' un angle double de a" y' p'; le côté i' c de cet angle coupe la droite ri au point t, tel quecS prolongement de i'c, est la longueur du rayon de courbure de la section normale du tore dont le plan passe par la tangente (T'). Portant cette longueur ci de r en t {fig. 2 ) sur cr prolongé, et la distance horizontale tl' du point t à l’axe de révolution a a' du tore, sur le prolongement de la droite AN {fig. 1) de A en it’, on détermine les deux projections «',« du centre de courbure de la section normale du tore dont le plan passe par la tangente (T 1 ) et le point de contact (N).
Le plan vertical G u' {fig. 1 ) ayant tourné autour de la verticale ( G, g g 1 ) pour devenir, parallèle au* plan vertical de projection , on a sur ce plan , le centre g de la sphère et le centre de courbure u" dont
les projections sont («,«' ) fig. i et 2. Décrivant du point u" comme centre, avec un rayon u" z' =c& (fig. 4 ), un cercle qui coupe le grand cercle de la sphère du rayon gh, la demi-corde vz' de ces deux cercles est le rayon de courbure du point (N) de la courbe d’intersection de la sphère et du tore. Le centre de courbure v est à la distance vk de l’axe vertical g g 1 ; portant cette distance sur G u' (fig. 1) de G en a/, et menant la verticale x’x, qui coupe l’horizontale vk' (fig. 2) au point x , les points x,x' sont les deux projections du centre du cercle osculateur de la courbe d’intersection du tore et de la sphère, au point ( N ) de cette courbe. Le plan de ce cercle a pour trace sur le plan horizontal ww' (fig. 2 ) une droite dont la projection horizontale y fl', (fig. 1 ), passe par le point p', projection horizontale du point où la tangente (T') coupe ce plan horizontal tviv.
Troisième Exemple. Courbe d’ intersection de deux surfaces annulaires, ou de deux tores. PI. 8 , in-folio.
35 . On a construit cette’ courbe dans le premier supplément de la Géométrie descriptive, pour trouver par l’intersection de trois surfaces annulaires, le sommet d’une pyramide triangulaire dont on connaît la base et les angles opposés aux trois côtés de cette base. Cette question a au plus seize solutions, et pour trouver les données du problème qui donnent ce maximum, de solutions, j’ai employé un moyen qui consiste à chercher d’abord la courbe d’intersection de deux surfaces annulaires qui ont pour axes de révolution deux des trois côtés de la base de la pyramide, et à prendre pour indéterminé, le cercle générateur de la troisième surface. J’ai supposé que cette courbe d’intersection tournait autour de l’axe de révolution de la troisième surface annulaire, pour engendrer une quatrième surface. La courbe d’intersection de cette quatrième surface par le plan de la base triangulaire de la pyramide, étant composée de deux branches, on dispose du rayon du cercle générateur de la troisième
3o CTÉOMÏTRIE DESCRIPTIVE,
surface annulaire , pour que ce cercle qui peut prendre deux positions différentes par rapport à l’axe du tore dont il est la génératrice, coupe la courbe dans chaque position en huit points. On obtient par ce moyen seize points qui sont à-la-fois sur les trois surfaces annulaires. ( Voyez le premier supplément page i iG, art. i3t, et la correspondance sur T école polytechnique , tome a, page 33a ).
On déduit de ces considérations la construction suivante :
( Voyez ce dessin ou épure, pi. 8 . )
36. Soient {fig. i, pl. 8 ) XYZ le triangle base d’une pyramide donnée ; X F Z/ - , ZOYo,XGYg, les cercles générateurs des trois surfaces de révolution qui , par leur intersection, déterminent le sommet de la pyramide. Les deux premières surfaces qui ont pour axes les droites XZ, Z Y, se coupent suivant une ligne composée de deux branches, l'une qui résulte de l’intersection des nappes de surfaces engendrées par les grands segments XFZ,ZOY et des nappes de surfaces engendrées par les petits segments X/ Z, ZoY; l’autre, qui résulte de l’intersection des nappes engendrées par un grand segment XFZ et un petit segment ZoY, ou par un grand segment ZOY et un petit segment X fZ.
La première branche, en tournant autour de l’axe XY, engendre une nappe de la quatrième surface de révolution , dont la section par le plan du triangle XYZ, est ZACB. La section de la seconde nappe par le même plan, est ZA'C'B; ces deux sections ont pour normale commune l’axe X Y, qui divise chacune d’elles en deux parties égales; elles sont coupées par les deux cercles XG Yg - , et XG'Y g\ en seize points , dont huit marqués des chiffres i, a, 3, 4i 5, 6 , 7 , 8 , appartiennent à la courbe Z ABC. Les huit autres points marqués des mêmes chiffres accentués, appartiennent à la courbe ZA'B'C'. Les points i,a, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , mis deux à deux dans l’ordre suivant, l — 8 , 2 — 7 , 3 — 6 , 4 — 5, sont à égales distances de l’axe XY, et sur
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3 l
des droites perpendiculaires à cet axe. Il en est de même des points i', a', 3 ', 4 \ par rapport aux points 8', 7', 6', 5 '.
D’où il suit que les sommets des pyramides cherchées sont situés sur huit cercles du diamètre 1 — 8, a — 7, 3 — 6, 4 — 5 , 1' — 8', a' — 7', 3 ' — 6', 4 ' — 5 '. Ces cercles appartiennent à la troisième surface de révolution, dont l’axe est XY, et qui a pour génératrice les arcs XGY, XgY. Chacun de ces cercles contient deux sommets des pyramides cherchées. En effet, considérons celui dont le diamètre est 1 — 8, et qui a pour centre un point de l’axe XY. Le point 8 de la courbe Z A C B provient de l’intersection de deux cercles décrits par deux points des grands segments Z O Y, ZFX;donc,si l’on porte la droite Y 8 sur Y <7, corde de l’arc Z O Y, et la droite Z a sur Z a', corde de l’arc ZFX, ou la droite X8 sur la corde Xa' du mêmearc Z FX, les trois droites Ya, Z a égale à Xa', et Xa' seront les trois arêtes d’une des pyramides cherchées. Abaissant la perpendiculaire a» sur l’axe Z Y, et la perpendiculaire a'«, sur l’axe X Z, ces deux perpendiculaires sc rencontrent en un point a du diamètre 1 — 8, qui est la projection du sommet de la pyramide sur le plan de la base X Y Z. Le même point a est la projection du sommet d’une secondé pyramide , .symétrique par rapport à la première.
Le cercle du diamètre 1 — 8 contient les sommets de deux pyramides symétriques; ces sommets se projettent en % sur le plan horizontal du triangle XYZ, et en «, («) sur le plan vertical vv' ( fig . a), perpendiculaire à l’axe XY. Les quatre projections horizontales «, p, y, î, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe Z A B C , forment un quadrilatère *Py$, dont la projection verticale ( fig. a ) est le système des deux quadrilatères apy$, et («) (p) (y) (S). Les quatre projections horizontales *', p',y', î', des sommets do pyramides qui correspondent à la courbe Z A' B' C', forment un quadrilatère a'p'y'î', dont la projection verticale ( fig, a ) est le système de deux quadrilatères * p' y' i', et («') (p') (y') ($').
3 a GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
Cette solution fait voir que les pyramides qui ont pour bases le triangle XYZ,et pour angles opposés aux. côtés de eette base, les angles déterminés par les arcs XI' Z, Z O Y, YGX, et leurs suppléments , sont au nombre de seize.
37. La courbe d’intersection de deux surfaces annulaires, et un point de cette courbe étant donnés, on déterminera le cercle oscillateur de la courbe par le point donné, en menant par ce point la tangente à la courbe d'intersection, et par cette tangente les sections normales des deux surfaces. On aura pour le point donné les rayons principaux des deux tores, et les angles que la tangente des sections normales fait avec les tangentes aux cercles générateurs des tores. Les rayons principaux donnés de grandeur et de direction feront connaître les ellipses ou les hyperboles dont les rayons vecteurs représentent les rayons de courbure des sections normales, et, par le théorème de Meusnier, on construira les centres et les rayons des deux sphères dont l'intersection est le cercle osculateur demandé (1).
( 1) Voyez Us Eléments de Géométrie à trois dimensions , page 82 , arl. 78.
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ANALYSE
