AG' AG
Ayant abaissé du centre O de l’ellipse fig. l\ 'la perpendiculaire OP sur la tangente EAF - , on construit (fig. G') le triangle ag’q avec l’hypothénuse a g 1 — AG', et le côté aq = OP = AL. L’angle g 1 aq de ce triangle est, d’après ce qu’on a dit article précédent, l’inclinaison des plans des deux ellipses situées sur le cylindre dont les arêtes sont parallèles à la droite qui joint les centres G', O de ces
deux ellipses , droite 'qui a pour projections G' Q , g? q ( fig. 5', 6 ' ). Le plan de l’ellipse {/ Fg . l\ ) étant normale au cylindre, les centres de courbure des deux ellipses ( fig . 4\ 5* ) sont sur une perpendiculaire ( G, gk ) au plan de la seconde ellipse fig. 5'. Cette perpendiculaire rencontre le plan fig. 4' a * 1 point K, et donne pour le rayon de courbure au point A dç l’ellipse ABCD, une droite AK fig. 4 r égalé à ak., {fig. 6 ).
a3. Comparant les deux triangles a g y , agk {fig. 6 ), on a la pror portion :
aq : ag 1 : : ag'.ak , ou, OP= AL : AG' : : AG : ak= AK. à cause de A G=^-^- AL:AG':: E y, : AK=^-H ~ — }
Au Ai» AL AL
expression de même forme que celle de l’article précédent.
Construction des sections normales dun tore , et des rayons de courbure de ces sections. PI. 4 et 5.
a4 Soient fig. i et 2,pl. 5, les points et les lignes d’un tore, marqués des mêmes lettres que sur les figures i et 2 de la planche 4 ■» ( art. 18 ).
Considérons les quatre sections de ce tore, dont les plans passent par la normale bef{fig. a., pi- 5), et par les droites êH, />K, b L, b M, {fig. 3 ) situées dans un plan mené perpendiculairement à la normale bf. Ces plans font avec celui du petit cercle dd'ef du tore, des angles respectivement égaux à ceux-ci : a'&H, a' b K , a' b L, a'AM. En supposant qu’ils aient tourné autour de la normale bf ( fig. a ) transportée en AF {fig. x ), les quatre sections normales sont représentées sur le plan de cette figure i , dans leur véritable grandeur , et II' Suppl. 3
l8 CÉOMÉIHI E DESCRIPTIVE.
chacune est marquée d’uu trait particulier qui est le même que celui de sa projection sur le plan de la figure 3.
Tous les rayons de courbure des sections normales qui se croisent au point ( F sont dirigés du même côté, et leurs valeurs croissantes depuis cf(fig. a) jusqua bf, ne passent pas par l'infini. 11 n’en est pas de même des sections normales qui se croisent au point ( E, e ) ,/%•. i et 2 . Les rayons de courbure pour ce point ne sont pas dans le même sens ; il y a une section normale dont le rayon de courbure est infini, et qui sépare les deux séries de sections, les unes convexes, les autres concaves vers l’axe de révolution du tore.
Après avoir construit par la méthode connue, les lignes d'intersection du tore par les plans f b h , fb m , J! g. a et 3,/>i 5, ces lignes dans leur véritable grandeur deviennent ( F R ES, F'R'E'S' ) {fig- i ), et ( F(i F>', E* E'*' ); chacune d'elles est formée de deux branches séparées.
a5. Les rayons de courbure de toutes les sections normales qui passent par le point (F, y) du tore, sont (appendice E,art. 3, p. 1 15) les rayons vecteurs d’une ellipse qui a pour grand axe la somme des deux rayons de courbure principaux fc, fb {J îgure a); soit yH' K' L' M(/ cette ellipse construite fig. 4, pi- 4 et 5 (voyez le côté droit de la planche 4)î la droite ff en est le grand axe; le point c en est le foyer, et les deux parties cf, cf du grand axe sont égales aux rayons de courbure principaux cf, bf , {fig. a, pl. 5) au point (F,y) du tore.
Ayant décrit du point b comme centre {fig- 3, pl. 5), avec un rayon quelconque Ai, le cercle ihklrn, et du point c comme centre {fig. 4? planche 4 et 5) avec le même rayon ,1e cercle ! h! V tm\ on prendra des arcs F h', h'k', f/V, Fm ' doubles des arcs ih, hk,kl, lm {fig- 3 pl. 5), et les rayons vecteurs cH\ eM 1 {fig- 4i pl- 4 et 5) seront les rayons de courbure des sections normales FRE, FjiP fi ( fig • i, pî. 5) au point F de ces lignes.
GlIoMéTRlE DESCRIPTIVE. I()
26. La section normale fb L {fig- 2 et 3 , pl. 5 ) est remarquable par cette circonstance que son plan est à-la-fois normal et tangent au tore. Il est normal au pointé puisqu’il passe par la normale bj {fi g- 2, pl. 5 ) et il est tangent au point V [fig. 3 ), parce qu’il contient la tangente bV {fig. 3 ) du cercle générateur du tore dont le rayon cf\ est égal à cf, {fig- 2 ) Cette section, dans son plan, a pour contour la courbe FOE'O'EOF {fig. 1) qui a deux points doubles 0 , 0 '. On obtient ces points sur la droite AX Y perpendiculaire à AF, en prenant
A O = A O' {fig. 1) = b V {fig. 3 ).
Les tangentes au point O (/?#•. 1) se construisent (art. 17, i8)comme les tangentes ER, ER' {fig. 3 , pl. 4 ) du point double E. Les rayons de courbure principaux au point V ou V' ( fig. 3 , pl. 5 ) e'tant c' V' et V' u , soit {fig. 2) ce—c? V'; cy =V'w. Ayant mené deux parallèles quelconques ci, ep qui coupent aux points «, p la droite y a perpendiculaire à ey, on décrira sur a y comme diamètre un demi-cercle, et l’ordonnée pS de ce cercle sera \/ lL=y / £^,en supposant «p=i. Donc si l’on construit {fig. 1 ) les deux triangles rectangles O p' 8', Op'8" égaux au triangle «pî {fig. 2), les deux hypothénuses O J'. 08 " seront (art. 18), les tangentes au point double O.
27. Des trois sections normales du tore que nous venons d’examiner, et qui se croisent aux points E et F de ce tore, la première FRES {fig. 1) est convexe en E vers l’axe de révolution, et les deux autres sont concaves vers cet axe. Le rayon de courbure de la première est dirigé de E en F, et les rayons de courbure des deux autres sont dirigés en sens contraire de E vers A. Pour trouver la section normale intermédiaire, dont le rayon de courbure est infini au point E , il faut remarquer que l’hyperbolofdc osculateur du tore est le même pour tons les points du petit cercle du rayonAE ou AB; or si l’on conçoit riiy|jerboloide osculateur au point (B , b), {fig. 1 et 2),
GÉOMÉTRIE DBSCRIPTIVE.
et les deux plans normaux au même point, qui coupent cet liyperbo loide en lignes droites, a' bp ( fig . a) est (art. i3) l'angle que le plan du petit cercle générateur du tore fait avec l’un de ces plans normaux ; donc la droite ôK {fig. 3)' qui fait avec la droite a' b un angle a' 4 K = a?bp, détermine la section normale fb K {fi g- a et 3) composée de deux branches FTEV, F'T'E' V' {fi g. î), telles que les rayons de courbure en E et E' sont infinis.
Puisque le plan tangent au tore au point E contient les tangentes de toutes les sections normales qui passent par ce point, la position de la section normale d’un rayon de courbure infini pour le même point, indique de quel côté du plan tangent, les sections normales adjacentes sont touchées par ce plan.
28 . Nous avons construit l’ellipse {fig. 4 , pI 4 et 5 ) qui donne les rayons de courbure des sections dont les plans passent par la normale FA y fb {fig. 1 et 2 , pl. 5) et qui se croiseut au point (F, y). Ces mêmes sections se croisent au point (E,e), et les rayons de courbure pour ce point sont les rayons vecteurs d’un hyperbole qui a pour axe transversal la droite cc' {fig. 5, pl. 4et5), différence des droites fc\fc égales aux rayons de courbure principaux eô, ec {fig. 2 , pl. 5 ) au point E du tore. Les rayons de courbure des sections normales comprises dans l’angle jôK {fig. 3, pl. 5) sont donnés par la branche d’hyperbole cH' {fig. 5, pl. 5 ) comprise entre l’axe b'f et l’asymptote b'p. Les rayons de courbure des sections normales comprises dans l’angle Kôc' {fig. 3,pl. 5) sont les rayons de courbure de la branche d’hyperbole c'L' {fig 5,pl. 4 et 5) comprise entre l’asymptote b' % et l’axe transversal b’c’f.
29 . Les rayons de courbure principaux en un point quelconque du tore pour lequel le plan tangent est de la seconde espèce , déterminent l’hyperbole dont les rayons vecteurs sont les rayons de cour-
bures des sections normales qui passent par le même point , et par conséquent les asymptotes de cet hyperbole ; d'où l’on déduit une troisième manière (voyez art. 17 et 18 ) de construire l’angle a! b K. (J Ig . 3 , pl. 5 ), ou a'bp,fig. 2, puisqu’il est égal à la moitié de l'angle connu f b' p {fi g. 5 , pl. 4 et 5 ), de l’axe transversal b' /' et de l'asymptote b' p de l'hyperbole H'cc'L'.
