LA

r=1 ce qui est précisément le théorème d’ABer.

Mais nous pouvons aller plus loin: supposons que la série proposée

soit convergente en tous les points d’un intervalle I; on à alors lim 4, = 0, limb,—o d'après un théorème de Canror. En outre la série aura des points de continuité formant un ensemble dense dans I, d’après le théorème de M. Baïme, soit 4, un tel point. Il résulte alors de ce que nous avons établi dans la première partie, que l’on aura:

lim P(r, 6) — f(0,)

quand le point (r,4) se rapproche indéfiniment du point (1,@,) suivant un chemin quelconque tangent ou non à la circonférence.

Ainsi, si une série de Taylor (ou la partie réelle d'une série de Taylor) est convergente en tous les points d'un arc S du cercle de convergence il existe dans tout intervalle de S, des points où la série prend une valeur bien déterminée suivant tous les chemins qui y aboutissent.

7. Üeci nous amène à parler des conditions de convergence d’une série de TAYLOR sur son cercle de convergence. Nous avons obtenu à ce sujet une proposition qui paraît devoir être utile et dont voici l'énoncé:

Si la série de Taylor

p(i)=6c +ci+... +HCr +...

\ 17 . F I a un rayon de convergence égal à l'unité et si c, tend vers zéro avec la

série est convergente en tout point régulier de son cercle de convergence. Ce théorème se déduit facilement d’un théorème de RIEMANN ($ 9, théorème III, du mémoire cité), et dont voici l'énoncé (en conservant les notations du paragraphe précédent):

«La condition nécessaire et suffisante pour que la série:

390 P. Fatou.

soit convergente pour une valeur 4 de l'argument est que l'intégrale

. Fa n sin AE : (0 — t) (2 2 Fi) — Ter p(t)dé

SE

tende vers une limite finie quand x augmente indéfiniment, en désignant par b et c deux nombres quelconques comprenant la valeur 4, et p(t) une fonction indéterminée de # assujettie aux conditions suivantes: p(f) et o’(t) ont la valeur zéro pour £— D, t—=c et sont continues entre ces limites; p"(t) n’a qu’un nombre fini de maxima et de minima; en outre pour D=0/onva pt) = 1x1, pt) =0r pv) 0e (mor) sont inies ter continues.» !

Il en résulte, comme le fait remarquer RIEMANN que la convergence de la série en un point #, ne dépend que des propriétés de la fonction F(t) dans un intervalle (b,c) aussi petit qu’on le veut entourant ce point.

Supposons en particulier que dans (b,c), F(t) admette des dérivées bornées et continues d'ordre aussi élevé que nous voudrons. Nous pourrons alors transformer l'intégrale précédente au moyen d'intégrations par parties. En posant:

2n lee

(HS

Sin ———

Sin

et tenant compte des conditions imposées à o(f), nous aurons ainsi:

d°'M dM d 11070 SO Gore pe (Ep) dt b b C4 d b

" Nous reproduisons ici l’énoncé de RIEMANN; parmi les conditions énoncées par lui relativement à la fonction p(t), il y en a qui sont superflues.

Or la fonction de £: Fo" + 29'F" + of", est une fonction, intégrable et bornée qui pour = @ prend la valeur (4), et admet une dérivée finie. Il résulte alors des études classiques sur l'intégrale de DiricHLer, que l'intégrale considérée tend vers une limite finie: #”{(4), quand n augmente indéfiniment et que Z4, est convergente au point considéré.

Cela étant, si dans

(1) pa) = G3+cs +...+0c, +... (on suppose encore c, — 0)

, LA, iÛ . , , . . . Dis on pose j—e", on obtient, en séparant le réel de l'imaginaire, deux séries trigonométriques, et les fonctions de RiemAnN Æ(4), F (0) correspondantes,

s'obtiennent en posant 3 — 6”, dans la série:

1) a a eee

qui est absolument convergente sur son cercle de convergence.

Or les fonctions (1) et (II) ont les mêmes singularités, comme il résulte, par exemple, de l'expression de d(;) au moyen de w(3) à l'aide de quadratures. Si donc en un point d’argument @ du cercle de convergence, la fonction (I) est régulière, il en sera de même de la fonction (II) et par suite Ft), F(t) seront analytiques, dans un intervalle fini (b,c) comprenant le point 0; elles y auront donc des dérivées bornées d'ordre aussi élevé qu'on le voudra. Par suite, d'après ce qu’on vient de voir, la série

C++... + ce +...

sera convergente.

Si l’on suppose maintenant, non plus que les coefficients tendent vers zéro, mais qu'ils restent finis, il résulte du raisonnement de RIEMANN que la différence entre À, + À, +...+ 4, et l'intégrale, considérée par lui reste bornée quand n# croît indéfiniment, à en résulte qu'en tout point régulier du cercle de convergence, la série doit osciller entre des limites finies.

Ces théorèmes permettent dans un grand nombre de cas de mettre en évidence certains points singuliers d’une série de TayLor sur son cercle de convergence; on peut d’ailleurs en augmenter le champ d'application en utilisant le principe de multiplication des singularités de M. HADAMARD: si en multipliant les coefficients de la série donnée par ceux d’une série connue admettant par exemple le point 2— 1 comme point singulier unique,

392 P. Fatou.

on obtient une nouvelle série dont les coefficients tendent vers zéro, sans former une série absolument convergente, tous les points de divergence que l’on pourra mettre en évidence sur le cercle de convergence, seront des points singuliers pour la série proposée.

Exemples. I. (Considérons la série suivante, étudiée par M. HADA- MARD dans sa thèse: ‘

Z sin (log n)3".

Je dis que le point 3 = 1 est un point singulier. Il suffit de remarquer que si l'on donne à n les valeurs entières comprises entre:

TT AE te et RENE (o — a — à

on obtient, dans la série Zsin(logn), une suite de termes consécutifs

supérieurs à sina, et dont le nombre croît indéfiniment avec k; il en résulte que la somme de cette série n’oscille pas entre des limites finies, et par suite le point 3— 1 est singulier (c'est d’ailleurs le seul point singulier, comme il résulte de l'expression de la fonction au moyen d’une intégrale définie).

IT. Considérons la série: Zu(n)3", où u(n) désigne la fonction arithmétique égale à zéro, quand n contient des diviseurs carrés, et dans les autres cas à (— 1}, À étant le nombre des facteurs premiers de n. de dis que le point 3— 1 est singulier. En effet p(1) + (2) +... + un) n'oscille pas entre des limites finies, car s’il en était ainsi la série de Dr-

RICHLET ; SuER S n° E(s)

serait uniformément convergente pour les valeurs de s dont la partie réelle

serait supérieure à un nombre positif quelconque, on en déduirait que la fonction &(s) n’a pas de zéro imaginaire; or elle en a une infinité.

Il est inutile de multiplier ces exemples: tant qu'il ne s'agit que de démontrer la divergence en un point, c’est à dire la divergence d’une série

" Essai sur les fonctions données par leur développement de Taylor (Journal de

mathématiques pures et appliques, 4° série, tome 8, p. 163).

Air Ra ï Séries trigonométriques et séries de Taylor. 393

purement numérique,-1l n'y a aucune règle générale à donner. Ce qui est plus intéressant c'est de donner des exemples de séries trigonométriques, dont les coefficients tendent vers zéro et qui aient des points de divergence dans tout intervalle: on aura, en même temps, une série de TAYLOR admettant son cercle de convergence comme coupure. Nous parlerons un peu de cette question à la fin de ce mémoire.

8. Pour terminer cette deuxième partie, nous allons montrer que l’on peut trouver des fonctions analytiques uniformes ayant pour singularité unique une coupure fermée, par exemple un cercle et possédant une infinité non dénombrable de zéros sur la coupure." En effet construisons comme il a été expliqué dans la première partie une fonction harmonique restant positive dans C, régulière dans ce cercle, et prenant la valeur + © aux points d'un ensemble parfait de mesure nulle Æ, de la circonférence. On peut supposer que dans tout intervalle intérieur à l’un des intervalles contigus à ÆE la fonction f(w) (page 344) admette une dérivée bornée, sans être analytique. Dans ces conditions la fonction harmonique Q(r, 4) conjuguée de la fonction harmonique considérée P(r,0), prendra des valeurs bien déterminées sur le cercle, sauf aux points de Æ. La fonction analytique o(3) = P + iQ, est donc régulière dans ©, n’y devient jamais nulle, puisque P reste positif, eb prend une valeur infinie aux points de Æ. Ki

donc on considère la fonction —— elle sera holomorphe à l’intérieur du P(&)

cercle qu'elle admettra comme coupure, prendra sur le cercle une suite de

valeurs bien déterminées et continues et en particulier la valeur zéro en

tous les points de l'ensemble non dénombrable Æ.

Il serait d’ailleurs facile d’obtenir une fonction prenant la valeur zéro en tous les points d’un ensemble non dénombrable et partout dense sur une coupure; il suffira d’appliquer à l'exemple précédent le principe de condensation des singularités; considérons une infinité dénombrable d’ensembles analogues à E: E,,EÆ,,...,E,,..., de telle sorte que l’ensemble EE +E, +..+ÆE:+..… soit, partout dense et construisons les fonctions harmoniques positives P,,P,,...,P,,... correspondantes; choisissons

1 On trouvera d’intéressantes remarques au sujet de cette question dans la thèse de M° ZoretTri: Sur les fonctions analytiques uniformes etc., (Journal de mathématiques, 1900).

Acta mathematica.. 30. Imprimé le 8 décembre 1906, 50

394 PrHatou:

ensuite les constantes positives €, ,c,&,... de telle sorte que la série Babe, Pret CRETE soit convergente pour le centre du cercle; elle représentera alors une fonction harmonique regulière dans C et devenant infinie en tous les points de l’ensemble (Æ, + E, +... + E,+.:). En raisonnant comme plus haut, on obtiendra une fonction uniforme définie dans € et prenant la valeur zéro en tous les points de l’ensemble considéré.

La forme de la coupure ne joue ici aucun rôle essentiel. Les intéorales définies étudiées par Hermire et STIELTJES, par exemple la suivante:

permettraient d'obtenir des fonctions jouissant des mêmes propriétés, la coupure étant cette fois une demi-droite, ou un segment de droite.

Mais l’ensemble des zéros que l’on obtient ainsi est toujours de mesure nulle et il est aisé de voir que la méthode que nous avons employée ne permet pas d'aller plus loin; à vrai dire il est probable qu'une fonction uniforme ne peut prendre la valeur zéro qu'en un ensemble de mesure nulle de points d'une coupure isolée, mais 1l paraît bien difficile de donner de ce fait une démonstration générale. On pourrait même se demander sil ne serait pas possible d'obtenir une fonction analytique définie par exemple par une série de TAYLOR à rayon de convergence fini, et non continuable, qui prenne la valeur zéro en tous les points du cercle de convergence suivant les rayons qui y aboutissent. Nous pouvons seulement affirmer que si une telle fonction existe elle n’est pas bornée à l’intérieur du cercle et même qu'elle peut s'approcher autant que l’on veut de toute valeur donnée à l'avance.

D'une façon un peu plus précise supposons que la série de TayLor f(3) converge à l'intérieur du cercle © de rayon un, et y reste bornée; je dis que si f(3) n’est pas identiquement nulle, l’ensemble des valeurs de 0 pour lesquelles f(re”) ne tend pas vers zéro, r tendant vers un, est de mesure n0n nulle dans tout intervalle. En effet, si l’on avait in ir) = 0 pour 0, SO, + à un ensemble de mesure nulle près, en choisissant un entier »- tel que n1 > 27, on en déduirait que la fonction

Ps) = rfi) r Ge"): fe")

prendrait la valeur zéro en tous les points de la circonférence, suivant les rayons, sauf peut être aux points d’un ensemble de mesure nulle. #(3) étant bornée à l'intérieur de C, il s'ensuit que #(3) et par suite (3) doivent être identiquement nulles.

Il existe donc dans tout intervalle, sur la circonférence, des points où f(3) prend, suivant les chemins non tangents, une valeur déterminée, différente de zéro ou d'une constante donnée À, où même de p constantes données arbitrairement, comme on le voit, en considérant le produit:

DGA GET GA,

La même propriété a lieu pour une fonction qui devient bornée par une transformation homographique.

Signalons également la proposition suivante, qui découle aisément de ce qui à été dit au $ 6:

Si la série Sa, +ib,)e"* est convergente et a pour somme zéro dans un intervalle aussi petit qu'on le veut, tous les coefficients a, et b, sont nuls.

Po be

Nous allons donner maintenant quelques indications sur le rôle que peut jouer la question de l’approximation des nombres incommensurables dans l'étude de certaines particularités que peuvent présenter les séries trigonométriques. ù

Soit æ un nombre incommensurable, q,q,...4,... une suite d’entiers positifs croissants et considérons les valeurs approchées par excès et par

rt 161 I à défaut de x à A Cu. près. Je dis que si l'on à constamment il 2 n Ans > 29 les valeurs par excès ne croissent pas et les valeurs par défaut 2 res Pre Pair af ne décroissent pas. En effet le segment FINS ES a pour longueur nñ n /

I 2 ; + Me eu dd —>——; il en résulte qu il renferme en général au moins deux points

QE QnEt

396 P. Fatou.

2 h à ) ; dont les abscisses sont de la forme es Si donc : est la valeur approchée n+1l n SL N 2 ; de æ à — près par défaut, on aura:

Qn PR DRE De PH an LINE Ep Li Qn Yn-+1 In+1 In

(Dans le cas où Q,41 — 29,, l’une des deux inégalités extrêmes pourrait devenir une égalité.) Supposons maintenant que l'on ait:

RS

n je dis que lon pourra trouver dans tout intervalle des nombres + en infinité non dénombrable, tels que l'on ait à partir d’une certaine valeur de x:

(ge

f désignant un nombre positif fixe et (g,x) la valeur absolue de la différence entre g,% et l’entier le plus voisin.

di di compris à l'intérieur d’un intervalle donné AB, en choisissant p; convenable- 17 . ,. IT +1 + I ment. Considérons maintenant l'intervalle (P . HER dit Qi+1

9 ss AÈ 1 TR En effet, pour ? suffisamment grand l'intervalle ( — — ; sera

) compris à l'intérieur de l'intervalle de rang à.

S'il y a plusieurs intervalles de rang + 1 entre lesquels nous avons le choix, nous prendrons celui qui comprend le milieu de l'intervalle de lang 4.

En continuant ainsi nous obtiendrons un nombre % défini par la suite

A Un I : : ?

de ses valeurs approchées à = ——,..... près par défaut et par excès di Qi+1 Qn éb}que-nous appelons as, Sn

GA An+1 Fait a Or d'après la façon dont les a et 8 ont été choisis, l’un et l’autre des intervalles à, 4,41, 8 Pas, Sont plus grands que

É I I 2 BITES.

Séries trigonométriques et séries de Taylor. 397 On aura par suite, puisque + est compris entre ur 0b fu:

(qu æ) > 2 fe =: A

ce qu'il fallait démontrer.

a ù Q 1 s ’ L Si maintenant le rapport 7* augmente indéfiniment avec # on verra

aisément qu'il existe dans tout intervalle des nombres x tels que (q, x) ne : : I tende vers telle limite que l’on voudra (comprise entre © et >)

Nous déduisons de là une démonstration simple du théorème de Canror d'après lequel une série trigonométrique dont les coefficients ne tendent pas vers zéro a des points de divergence dans tout intervalle. On voit aisément qu'il suffit de considérer une série de sinus:

Z'c, sin (nt).

S1l existe enseftet une infinité de-valeurs de:7%:.q, Qu : 10 ae. DOlr lesquelles Leu reste supérieur à un nombre positif 4, on peut supposer, en négligeant au besoin certains des q;, que l’on ait constamment

dit

ol

Qi et comme on peut alors choisir #, dans tout intervalle, de telle façon que 2 pue. 1\ sin(g;,zx) reste supérieur en module à sin(zf) (o<r < ) les termes

correspondants de la série ne tendent pas vers zéro et celle-ci est divergente. On obtient aussi très aisément les propositions suivantes que nous nous contentons d’énoncer.

, FA : , dn+1 F, Considérons la série Z'A,sin(a,x) dans laquelle “>> 2: si la

Un

série Z 4, n'est pas absolument convergente, cette série aura des points de divergence dans tout intervalle.

Si rapidement croissantes que soient les constantes | 4,[,[4,],...,|4,|,

on pourra toujours trouver des entiers 4, ,4@,,...,4,,... Croissant assez

: Be 4 Sin . vite pour que la série Z4,,,.(a&x) ait des points de convergence dans tout intervalle.

On voit qu'il est facile de former des séries trigonométriques dont les coefficients tendent vers zéro et qui ont une infinité non dénombrable

398 P. Fatou.

et dense de points de divergence; d'ailleurs on ne détruira pas cette propriété en ajoutant à une telle série, une autre série partout convergente par exemple Za,sinnx, où les 4, sont positifs, décroissants et tendent vers zéro — on déduira de là différentes séries de TAYLOR ayant leur cercle de convergence comme coupure.

Indiquons maintenant le rôle que jouent dans l'étude de la convergence des séries trigonométriques les points de convergence absolue. Soit x, un point de convergence absolue de la série

f(æ) = Za,cosnx + b,sinnx.

On aura:

Hi

fu, +) + fe — 12) —2f(,) = —4Y 4}sin

en posant | À}, = 4, COSNX, + b,sinnx,.

La série du second membre est donc absolument et uniformément convergente puisque la série Z|4?| est convergente; elle représente donc une fonction continue de h. On en déduit que si la série est convergente, ou continue au point (x, + k), elle est convergente ou continue au point (&, —h), c'est à dire que les points de continuité, de convergence, de divergence, de convergence absolue sont deux à deux symétriques par rapport aux points de convergence absolue.

Si la série a deux points de convergence absolue dont la différence des arguments est incommensurable à 7, on en déduira l'existence de tels points dans tout intervalle.

Voici dans le même ordre d'idées une question qui me paraît intéressante et dont je n'ai pu trouver de solution: considérons une série trigonométrique dont les coefficients tendent vers zéro; nous avons vu qu'elle peut avoir des points de divergence dans tout intervalle, mais l’ensemble des points pour lesquels nous pouvons démontrer la divergence, quand elle a lieu, est toujours de mesure nulle. Peut-on alors donner un exemple de série trigonométrique, à coelficients tendant vers zéro, et qui soit divergente pour toutes les valeurs de l'argument ou seulement pour un ensemble de mesure non nulle de valeurs de l'argument? Il semble que cela puisse avoir lieu par exemple pour des séries présentant un grand nombre de lacunes, mais nous n'en avons aucune preuve rigoureuse.

Nous allons encore, en terminant ces généralités sur la convergence des séries trigonométriques démontrer une proposition qui paraît avoir été jusqu'ici admise sans démonstration rigoureuse: si la série

a, cos nx + b, sin nx

est absolument convergente en tous les points d'un intervalle, les deux séries Za, et ED, sont absolument convergentes.

En effet s'il en est ainsi la série proposée sera absolument convergente pour toutes les valeurs de æ; en faisant 4 — © on obtient la série Ja, qui doit être, d’après l'hypothèse, absolument convergente. Reste à démontrer que si la série ZX, sin nx est absolument convergente pour toutes les valeurs de x, la série X[2,| est convergente.

Considérons la fonction

EUX) = 216, [.[sinxx|

qui à en chaque point une valeur finie; cette fonction, limite de fonctions continues, étant d’après le théorème de M. BaïRe ponctuellement discontinue, sera bornée dans certains intervalles tels que (a, f). Soit S,(x) la somme des n premiers termes de la série qui définit ç(x). On a:

OÆ s S'{x)dx < 4 g(x)dx (quantité finie).

Or, on vérifie aisément que l'intégrale 1} | sin nx | dx (74

a une valeur qui tend vers 2(8— a) pour x infiniment grand, qui reste done supérieure à un nombre positif fixe.

Il résulte alors de la dernière inégalité que nous avons écrite que [+18 1+...+18,] doit rester bornée quand n croît indéfiniment, c'est à dire que la série 20, est absolument convergente.

Nous concluons de là que si les séries Z'a,, 2b, ne sont pas toutes les denx absolument convergentes, il y a dans tout intervalle des valeurs de x pour lesquelles la série Z|a, cosnx + b,sinnx| est divergente.

400 P. Fatou.

Comme application, faisons voir que si l’on a une série trigonométrique :

A+ A +... + À, +... (A, = a, cos nx + b, sin nt) telle que lima,—0o, limb, —0o pour # infini, la série X Va, + b, étant divergente, on pourra toujours en changeant le signe de certains des 4,, obtenir une nouvelle série qui ait des points de divergence dans tout intervalle.

Soient en effet æ,,2,,...,%,,... une infinité dénombrable et partout dense d'arguments compris entre © et 27 et telle qu'il y en ait une 1infinité qui soient égaux à l’un quelconque d’entre eux. D'après ce qui précède je puis toujours supposer ces arguments tels que pour 4=%,, %, la série X |A, [ soit divergente. On peut alors déterminer une suite d’entiers croissants 7, M, 3

4,1 + [4,(x) )| + | 4, (x ,)| +. .+|4, ( LEA ARS CEE ARR ES +|4,;(%)|> 2?

tels que l'on ait:

P désignant un nombre positif quelconque; pour

LAS Des (RE

donnons à e,— +1, le signe de À,(x,) Dans ces conditions, la série: e, Àj + €, À, +... he A, + sera divergente pour æ=x,,x—=x,,.... Il en résulte (page 389) que

la série de TayLor: Da, —4b,)e, 3" aura son cercle de convergence pour coupure.

Ainsi on peut toujours en multipliant par — 1 certains coefficients d’une série de TayLor obtenir une nouvelle série qui admette son cercle de convergence comme coupure, au moins lorsque les coefficients satisfont

aux conditions énoncées au haut de Sos page; 1l est infiniment probable que cela a lieu dans tous les cas.