partie sera alors inférieure à €. On aura donc

LUE Cm AU me dE 24 LS

lim ?

d'où l’on conclut:

IG CN TAC Re ne IE) __ ;1@).

Le théorème est démontré:

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la série ZX (a, cosn@ + b, sin r6),

S ; FANS où na, et nb, tendent vers zéro avec - soit convergente pour une valeur dén ;

terminée de 0, est que la fonction g(@) obtenue en intégrant terme à terme la Série proposée ait une dérivée g'(0), qui est alors égale à la somme de la série donnée.

En particulier, si YX(a,cosn0 + b,sinn@) est convergente en tous les points d’un intervalle, elle y représente une fonction dérivée c’est-à-dire une fonction qui ne peut passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. :

5. En combinant, comme nous l'avons fait plus haut, les résultats connus concernant l'intégrale de Poisson, avec le théorème de M. PRINGs- HEIM, On peut aussi retrouver certains résultats classiques concernant la série de Fourier. En effet, si on considère l'intégrale de Porsson relative à une fonction continue f(9) et supposée mise sous la forme

TRCTMUITE Z (a, cos n0 + b, sin n0)r"

on sait que P(r,0) tend uniformément vers f(9) quand r tend vers un; si donc on a:

lim nb, — 0

lim a, —0,

on en déduira la convergence uniforme vers f(4), de la série de FouRIER Z(a,cosn0 + b,sin x). Si en particulier f(4) admet une dérivée bornée f'(8), on peut appliquer l'intégration par parties dans les formules:

+T nus I I a nn f(8) cos n0d6, D ei f(8) sin x0d0 ce qui donne:

: I sas : 1 An ESS = f'(8) sin n0dO6, nb, = sl f'(8) cos n0dO;

LT Rn | or ces dernières intégrales tendent vers zéro avec me Nons voyons en outre que la fonction harmonique conjuguée

Q(r, 0) = Y(a, sin nô — b, cos nô)r"

1 LEBESGUE, Mémoire sur les séries trigonométriques, page 471, où ce mémoire

page 351.

388 P. Fatou.

tendra aussi uniformément vers une limite quand tendra vers 1, d’après ce qu'on à vu dans le premier chapitre. Par suite la série

ZX (a, sin n0 — b, COS nô)

sera, dans les mêmes conditions, uniformément convergente. Il n'y a rien à changer si f(8) est à nombres dérivées bornés.”

6. Nous allons maintenant montrer comment l'on peut rattacher le second théorème d’ABEL sur les séries entières au théorème de RIEMANN sur les séries trigonométriques (théorème 1, $ 8 du mémoire de RIEMANN). Considérons la série trigonométrique Y(a,cosn0 + b,sinn0), où a, et b,

tendent vers zéro avec : et qu'on suppose convergente pour une certaine valeur de ©, et égale à f(8). Si l'on pose avec RIEMANN:

F(0) = Le ___ An (on suppose a, — o pour simplifier)

lines 1?

On à:

Em ÉG + 9) + FE — «). = 2F (8) Fe).

Si U(r, 8) désigne la fonction harmonique associée à Æ(8): +T

HOT RS Î Cu F{u)du,

27 I — 2r cos (u — 0) + r°

TT et P(r,6) la fonction harmonique associée à la série proposée, on a:

Pr, 6 = 200.

À à 3 se Au sujet de la convergence uniforme des séries de FOURIER, on trouvera des

propositions intéressantes dans le livre récemment paru de M. LEBESGUE, Leçons sur les séries trigonométriques, (Paris, Gauthier-Villars, 1906).

De ces diverses égalités, on déduit, en vertu d’une étude qui a été faite dans la première partie: