PAR

EPA TOU

à PARIS.

Introduction.

Le présent travail a pour objet l'étude de certaines questions d’ordre général concernant les séries trigonométriques et les séries de TAYLOR; il a été entrepris, en grande partie, dans le but de montrer le parti que l’on peut tirer dans ces questions des notions nouvelles de mesure des ensembles et d’intégrale définie généralisée.

Le problème de la mesure des ensembles a été abordé pour la première fois par M. G. Canror; ses définitions ont été précisées et complétées par M. JorpAN dans son cours d’analyse; mais c’est M. E. Borez qui a donné pour la première fois à cette notion de mesure une portée assez générale pour la rendre vraiment utile au point de vue des applications. M. Borez a posé le problème sous une forme qui équivaut à celle-ci: ?

Attacher à tout ensemble borné ponctuel (supposé à une dimension) un nombre positif ou nul qu'on appellera sa mesure et qui satisfasse aux

conditions suivantes:

1 E. Borerz. Lecons sur la théorie des fonctions (Paris, Gauthier-Villars, 1898). ? LEBESGUE. Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars, 1904).

Acta mathematica. 30. Imprimé le 23 novembre 1906.

336 P. Fatou.

1°) Deux ensembles égaux ont même mesure.

2°) L'ensemble somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles, sans point commun deux à deux, a pour mesure la somme des mesures des ensembles composants.

3°) La mesure de l’ensemble de tous les points du segment (0, 1) est 1. Le problème ainsi posé est susceptible d'une solution unique, sinon pour tous les ensembles que l’on peut concevoir comme existant, du moins pour tous ceux que l’on a pu effectivement nommer. La mesure, au sens de M. Borer, est d’ailleurs la même que la mesure au sens de M. CANTOR, dans le cas d’un ensemble fermé; mais si l’on considère un ensemble dénombrable et dense, par exemple l’ensemble des points à abscisse rationnelle compris entre zéro et 1, la définition de M. Borez conduira à lui attribuer comme mesure, le nombre zéro, tandis que d’après M. CANTOR sa mesure serait I.

Dans sa thèse (intégrale, longueur, aire), parue dans les Annali di Matematica (1902), M. H. LEeBEsGUE a repris et complété le problème de la mesure d'après M. BoREzL et en à fait une application des plus importantes à la définition de l'intégrale; la notion d’intégrale, d’après M. Ls- BESGUE, s'applique à toutes les fonctions discontinues que l’on peut nommer (par exemple à toutes les fonctions représentables analytiquement), au moins quand ces fonctions sont bornées; elle coïncide d’ailleurs avec l'intégrale au sens de RIEMANN, quand celle-ci est applicable, et jouit de toutes les propriétés essentielles de l'intégrale de RIEMANN.

Il semble que l'introduction de ces notions de mesure et d’intégrale généralisée, qui constitue un progrès important dans l'étude des ensembles ponctuels et des fonctions de variables réelles, peut également servir à résoudre des problèmes qui se posent dans des branches anciennement eultivées de l'analyse.

Déjà M. LegesGue, dans un mémoire paru dans les Annales de l'École normale supérieure, avait appliqué sa notion d’intégrale à l'étude des séries trigonométriques, et démontré entre autres choses, que si une série trigonométrique est convergente et représente une fonction bornée les coefficients de cette série sont donnés par les formules d'Euzer-FouriEr où les intégrales sont prises au sens généralisé du mot. Or il existe effectivement des fonctions bornées, non intégrables au sens de RIemAxx, qui sont représentables par une série trigonométrique convergente en tout point:

ce résultat permet done de mettre plus d'unité et de généralité dans la théorie de la série de Fourier. |

Dans ce travail je démontre un résultat analogue relatif à l'intégrale de Poisson: si une fonction harmonique régulière à l'intérieur d’un cercle y reste bornée, elle peut s'exprimer à l’aide d'une intégrale de Porsson, l'intégrale étant prise au sens de M. LeBesque.

J'ai déduit de là une propriété générale concernant la façon dont se comporte une branche de fonction analytique uniforme au voisinage d’une coupure isolée; si la fonction est bornée au voisinage de cette coupure (ou devient bornée par une transformation homographique), en tous les points de la coupure, sauf peut-être aux points d'un ensemble de mesure nulle, la Jonction prend une valeur déterminée, quand on s'approche de l'un de ces points suivant un chemin non tangent à la coupure. T1 y a donc dans tout intervalle, des points en infinité non dénombrable, sur la coupure, pour lesquels la fonction prend une valeur déterminée, en excluant, au besoin, les chemins tangents à celle-ci. Or on sait que, dans d’autres cas, des circonstances tout autres peuvent se présenter: la fonction modulaire, par exemple, est indéterminée en tous les points d’abscisse irrationnelle de l’axe des quantités réelles, même lorsqu'on s'approche de ces points normalement à la coupure; la propriété énoncée n'est donc pas une banalité.

C’est encore l'étude de l'intégrale de Poisson généralisée, qui m'a permis de démontrer l'existence de fonctions analytiques uniformes possédant, sur une coupure, une infinité non dénombrable de zéros qui peut être dense dans tout intervalle.

Les mêmes méthodes m'ont permis, dans un cas il est vrai très particulier, d'aborder l'étude des séries trigonométriques données par la loi de leurs coefficients. On peut chercher, dans ce cas, des critères de convergence, où supposant que la convergence ait lieu, chercher des propriétés des fonctions ainsi définies; ces problèmes qui paraissent difficiles, ont été peu étudiés. Le principal résultat que j'aie obtenue dans cet ordre d'idées

| ; 1 est le suivant: 55 na, et nb, tendent vers zéro avec l’ensemble des points

de divergence de la série Z(a, cos nt + b, sin nx) est de mesure nulle. II en résulte que si l’on a plusieurs séries de cette espèce, en nombre fini ou en infinité dénombrable, il y a dans tout intervalle, des points où elles

convergent toutes simultanément.

Acta mathematica. 30. Imprimé le 23 novembre 1906, 43

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Si, renonçant à la convergence au sens ordinaire du mot, on cherche dans quel cas une série est sommable par les procédés de la moyenne arithmétique, comme l’a fait M. Féyer,' on peut énoncer des conditions

de sommabilité plus générales: Si par exemple on a

C C fel<- HB1< («> 0) n°? nm?

on trouve que la série est au plus »doublement indéterminée», sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle, et représente une fonction absolument intégrable dans l'ensemble des points où elle est définie.

J'espère aussi avoir montré que l'intérêt qui s'attache aux travaux de RIEMANN sur les conditions de représentation d’une fonction par une série trigonométrique, est loin d’être épuisé; j'ai pu facilement, déduire de l’un des théorèmes généraux de RIEMANN, ce fait qu'une série de Taycor dont les coefficients tendent vers zéro et dont le rayon de convergence est égal à un, est convergente en tout point régulier de son cercle de convergence, ce qui n'avait été démontré que dans des cas particuliers.

J'ai divisé ce travail en deux parties, dans la première j'étudie l'intéorale de Poisson lorsque la fonction donnée sur le contour est discontinue; dans la deuxième partie j'applique les résultats de cette étude à quelques questions concernant les séries trigonométriques et la façon dont se comportent les séries de TayLor sur leur cercle de convergence et je fais connaître quelques propriétés des séries entières à coefficients entiers.

Enfin dans une note additionnelle je donne une démonstration simplifiée du théorème de CanToR sur l'impossibilité de la convergence en tout point d’une série trigonométrique dont les coefficients ne tendent pas vers zéro et quelques remarques générales sur la convergence de ces séries.

Qu'il me soit permis de remercier ici les personnes qui ont bien voulu m'encourager à entreprendre ce travail: MM. Paixcevé et BoREeL et tout particulièrement mon ami H. LEBESGUE qui n’a cessé de s'intéresser à mes recherches et dont les conseils m'ont été fort utiles.

L. Féyer (Sur les fonclions bornées et intégrables, Comp cembre 1900) et Mathematische Annalen (tome 57, 1904).

; AA tes Rendus, 10 dé-

L'intégrale de Poisson.

1. On sait que la solution du problème de Drricnzer dans le cas

du cercle est donnée par l'intégrale

In RCI 2 lé PE te 5 (1) re | Re on eo

qui définit une fonction harmonique régulière à l’intérieur du cercle de rayon 1, et prenant sur la circonférence, en un point d’argument #, la raleur f(u,)." Ce dernier fait n’est d’ailleurs exact, en général, que moyennant la continuité de la fonction périodique f(u), mais il importe de remarquer que, sous la seule condition que f(u) soit une fonction sommable en valeur absolue, au sens que M. LEBESGUE attribue à ce mot, l'intégrale précédente conserve un sens et définit toujours une fonction harmonique; mais alors, lorsque le point (r,4) se rapproche d'un point (1,«,) de la circonférence, la fonction Æ ne tend pas nécessairement vers une valeur déterminée. C'est l'étude des différentes particularités qui peuvent se présenter, quand f(w) présente des discontinuités ou devient infini qui fait l'objet du présent chapitre.

Faisons d’abord une remarque générale: la façon dont se comporte au voisinage du point (1,4%,) de la circonférence la fonction F(r, 4), ne dépend que des valeurs de la fonction f(#) dans un intervalle aussi petit qu'on le veut, comprenant le point #, à son intérieur. En effet, partagons l'intégrale (1) en deux parties, l’une relative à l'intervalle (a, b) comprenant le point #,, l'autre relative à l'arc complémentaire # de la circonférence; la deuxième intégrale partielle tend vers zéro quand le point Mr, 4) tend vers le point (r1,#,), car le dénominateur: 1 —2rcos(0—u) +r°, qui représente le carré de la distance d'un point de l'arc S au point M finit par devenir supérieur à un nombre positif fixe et comme par hypothèse

1 V. p. ex.: Picarn, Traité d'analyse, tome I.

340 P. Fatou.

“ |f(u)|du à une valeur finie, il en résulte que notre intégrale tend vers S

zéro comme 1—7+*, de telle sorte que les! valeurs de f{u) à l'extérieur de (a,b) n'ont aucune influence sur les valeurs limites de la fonction har-

monique.

2. Supposons maintenant qu'au point w—#,, la fonction f(w) devienne infinie en restant positive, de telle sorte qu'elle soit continue pour u—=u,, à condition de lui attribuer en ce point la valeur + ©. Il est facile de montrer dans ce cas que F(r,6) tend vers + © quand le point M{r,6) vient à se confondre avec le point M(r ,u,). En effet la fonction f(uw) sera positive dans un intervalle fini CD entourant le point M.

I suffit d'étudier la partie de l'intégrale de Porsson relative à l’are CD. Du point M comme centre avec (1 —7)/2 comme rayon décrivons un arc de cercle qui coupe CD en deux points P et Q. On voit aisément que l’on a:

arc PQ = 2(1 —7) [à une quantité près de l’ordre de (1 —r)?] et

1—7r° 1—7r? I I —2r cos TEE 2(1—-7r) de 2(1—7r)?

pour tous les points de PQ

de sorte que

I Tr « M 27 [ I — 27 cos QE u) " = [(u)du = me

si la fonction f(w) est constamment plus grande que AT dans le champ

d'intégration. Choisissons alors un nombre positif 9 tel que dans l’intervalle (w, — 9,4, + d), on ait: f(u) > M, et prenons: