IN

Dans ces conditions, tous les points de PQ étant intérieurs à l'intervalle 2 LP. M re (u, -— 9 ,u, + 0), l'intégrale précédente sera plus grande que He il en

sera de même à fortiori si on étend l'intégrale à tous les points de l’are CD. 27% ,2

Il en résulte que 7 Pr f(u)du devient plus grande que

I — 2r cos (0 — u) + r°

toute quantité donnée quand le point M tend par un chemin quelconque vers le point M.

Examinons ensuite le cas où f(w) devient infinie, en changeant brusquement de signe lorsque # traverse la valeur ,.

I1 est bien facile de prévoir que dans ce cas la fonction harmonique est indéterminée au voisinage du point M, et peut s'approcher autant qu'on le veut de tout nombre réel. Pour nous en assurer menons la corde RS perpendiculaire à OM et supposons que le point M, soit extérieur

342 P. Fatou.

à RS, ce qui aura lieu si M est extérieur au cercle décrit sur OM, comme

diamètre. Pour tous les points extérieurs à 25, on aura

I—7 1 —— 2r cos (0 — u) + T°

et la partie correspondante de l'intégrale de Poisson restera moindre que I / Ne e + * [f(u)| du et sera donc bornée. $i les points À, P, Q,8 se trouvent 2T +

du côté de M, où la fonction f(w) prend des valeurs infinies positives

les intécrales:

QP SR

prennent d’après ce qui précède des valeurs infiniment grandes positives quand M tend vers M, et il en est de même de l'intégrale de Porsson étendue à toute la circonférence.

Ainsi quand M tend vers M, en restant compris dans l’angle 7 Mia des deux circonférences, F{r,@) tend vers + ©; au contraire si M tendant vers M, reste dans l'angle OM B, F(r,0@) tend vers — ©. D'autre part F(r,6) étant continue à l'intérieur du cercle de rayon 1, il est clair qu'elle pourra s'approcher autant qu’on le veut de toute valeur donnée à l'avance au voisinage du point M.

Nous donnerons une application intéressante de ces considérations en construisant une fonction harmonique régulière et constamment positive à l'intérieur d’un cercle ©, et devenant infinie au voisinage d'une infinité non dénombrable de points de la circonférence.

Considérons, sur une droite, un ensemble parfait, de mesure nulle dont tous les points soient à distance finie. Nous savons qu'un tel ensemble à la puissance du continu. Nous savons aussi qu'il peut s'obtenir en enlevant d’un segment AB une infinité dénombrable d'intervalles, sans point commun deux à deux, et dont la somme des longueurs est égale à la longueur de 4B. On les appelle ordinairement d’après M. Baïre les intervalles contigus à l’ensemble considéré Æ. Ceci rappelé, je dis qu'il est possible de déterminer une fonction continue, positive, devenant infinie en tous les points de l'ensemble Æ et qui soit intégrable dans l’inter-

valle AB.

Fe ; Séries trigonométriques et séries de Taylor. 343

Soit (a,b,) un intervalle contiou à Æ. Je définis dans cet intervalle une fonction continue positive, devenant infinie aux deux extrémités (a, , b,) et intégrable entre ces limites. Soit g,(x) cette fonction que nous représenterons par une courbe.

Nous poserons:

Plal=@,(r) dans "(4,0 et

Pour que la fonction ç(x) soit intégrable il faut que la série

Jets eds + fes )dx +. + [ex æ)dx +.

soit convergente. Pour que g(x) soit continue aux points de Æ, il faut que le minimum %, de @ç,(x) dans (a,b,) devienne infini avec #. Il est aisé de voir que ces conditions ne sont pas contradictoires. En effet, posons:

lon ao, =,

l'intégrale Jet e,(x)dx est égale à s,y, (qui représente l'aire du rectangle

A Été de l'aire À, du domaine compris entre la courbe: y = @, (x), les deux asymptotes verticales et la tangente au point le plus bas.

Or il est possible de choisir les nombres y, ,%,,...,%,,... augmentant indéfiniment avec n et tels que la série:

ÉD Vide MO IR

344 P"Fatou:

soiticonversente, car la série 8, +s,-hu, Esp, étant converg'ente on peut trouver une série à termes positifs également convergente dont les termes deviennent infiniment grands par rapport à ceux de la première.” Ayant ainsi déterminé l’ordonnée du point le plus bas de chacune de nos courbes: y — &,(x), nous devons les construire de telle sorte que la somme des aires