DRE RS TE

13. 8 + 12 = 20 ans; la valeur présente d’une annuité de $1 pour

20 ans = $13.590326, et pour 8 ans = $6.732745 ; $13.590326 — #6.732745 — $6.857581 ; $6.857581 x 140 R. $960.06. $225 = le dernier terme d’une progression par différ. ; #$225 x 0.015 = $3.375 = la différ. commune; 54 x 4 = 22 = le nombre des termes. 8225 + [83.375 x (22 — 1)] = $295.875, ou le ler terme ; (8295.875 + $225) + 2-#260.43% ; 260.433 x 22 = R. 85729.624.

£AT 10 — £47.5; la valeur totale des 10 versements est de £13.180795 x Æ£47.5 = £626.08776. Le capital primitif acquitté par cette valeur est de £626.68776 + (1.0610 = 1,79084) = £349.6056. Le prix de chaque baril d'huile est de £349.6056 + 32=R. £10.9251 = £10 18 6.

$598 — la somme d’une progression par différence, 13 — le nombre des termes, et $6 — la différence commune; d’où il faut trouver le ler et le dernier termes. (8598 x 2) + 13 = #92, ou Ja somme des extrêmes; (13- 1) x 6 = $72, ou la difrér. des extrêmes, (892 — 72) + 2 = $10, ou le ler paiement; (F92 + 72) + 2 == $82, ou le dernier paiement.

$10.347 = la valeur d'une annuité de $l; $10.347 x 560 = R. $5794.32.

Le total des rentes des 18 ans est égal à (1.04518 — 26.85508o, x £575 = Æ£15441.672725. Ce total est égal à la valeur acquise au bout des 18 ans par le capital primitif qui a porté intérêt au profit du déposant. Ce capital primitif est donc égal à £15441.672725 + (1.04518 — 2.208471 = Æ£6992.0228. La somme prise pour frais d’administratiou = (5 x Æ£6992.0228) + 100 = £349.6011. L’officier doit placer un capital de 46992. 0228 + £349.6011 —=R. £7341.6239 = £7341 12 54. $5 = le premier terme d’une progression par quotient, $1.06 = la raison, et 60 — 16 — 44 = le nombre des termes. D'où C$5 x (1.0644— 1)] + (1.06 — 1) — $998.79, d'économie en se dispeneant de tabac; 8998.79 + $416.663 — R. $1415.45$, £967 116— £967.575; puisque le taux est 43 % par an, ou £0.045 par £ et par an, le taux par trimestre — £0.045 + 4 — £0.01125 ; le nombre de paiements est de 7 x 4= 28; £0.01125 x (28—1)= £0.30375 ; (£0.30375 + £2) x 28 -= £64.505 ; (£967.575 x 2) + £64.505 — £30 = le paiement trimestriel ; l'annuité est de £30 x 4 R, £120,.

£500 + (1.045 x 0.04) = KR. £10274 2 3.

L'intérêt annnel est de (5 x 5000) + 100 — $250. L'intérêt restant annuellement avec le capital est de 8250 — $150 = $100. Le produit de ces 12 versements est égal à #15.917127 x 100 — $1691.71. Après 12 ans, je devrai recevoir en tout $5000 + $1591.71 = KR. $6591.71.

D'abord pour le garçon; £2000 est le montant d’une certaine somme à int. simples durant 21 — 10 == 11 ans à 7 %; Æ£2000 est le dernier terme d'une progression par différence, 0.07 fois le

. La hauteur d’une jalousie est de (1$ x 2) +

premier terme est la différence commune, et 11 + 1 est le nombre des termes ; d’où on peut trouver le premier terme. En prenant une série dont £1 est le premier terme, £0.07 la diftér. commune, et 12 le nombre des termes, on trouve que le dernier terme est de £L + [£0.07 x (12—1)]= £1.77. Puisque £1.77 est le dernier terme d’une progression par différence dont £1 est le premier terme, £2000 doit être le dernier terme d’une progression semblable, dont le premier terme est £2000 + £1,77 ma KR. £1129.9435 + = £1129 18 104 ou la somme placée à 7 %, intérête simples.

Pour la fille; £2000 est la somme d'une progression par quotient, 1.03 est la raison, et [ (21 — 19) x 2] + 1 = 23 est le nombre des termes ; trouver maintenant le premier terme. £2000 + 1.03285— 1] = £2000 + 1.91610 = R. £1043.7568 = £1043 15 8%, ou la somme placée à 6 %, intérêts composés payables pär semestre.

superficie de chaque jalousie = 3.5 x (1 = 1.6) v

La dette à éteindre est de $3.375 x 5.60 x 35 = $661.50. La valeur de chaque paiement est de [ (1.055)2 x 661.50 ] + C1+ 1.055 + (1.055)2 ]= R. 8232.40.

. La valeur présente d’une annuité de $l, par an, pour 10 ans à

6 %, est de $#7.360087 ; #7.360087 x 625 — KR. 4600.05 +.

. 9 + 11 = 20 ans; $11.469421, valeur présente d’une annuité

de $1 à 6 % pour 29 ans — $6.801692, valeur présente d’une annuité de $1 à 6 % pour 9 ans, = $4.667729 ; $4.667729 x

. La dette à éteindre est de 18s. 14d. = £0.90625 x 128 = £116.

Après 5 ans, le capital formé par cette dette est de (1.055 = 1.27628) x 116 = £148.0484 +. Pour 5 mois, l'intérêt simple de cette dernière soinme est de (5 x 148.0484 x 5) (100 x 12) = £3.0843, A l’époque du dernier paiement, Ja valeur de la dette est de £148.0484 + Æ£3.0843 = £151.1327. Si le montant des 5 premiers paiements était de £1, leur valeur, au bout des 5 ane, serait de 1 + 1.05 + (1.05)? + (1.05)3 + (1.05)4, ou (Table p. 258) de £5.525631. Pour 5 mois, l'intérêt simple de cette valeur est de (5 x 5.525631 x 5) + (100 x 12)=Æ£1.1511. Si le 6e versement est aussi de £l, la valeur totale des 6 versements est de £5.525631 + Æ1.1511 + £l = £17.6767. Ainsi, pour acquitter £7.6767, chaque versement doit être de £l; pour acquitter £l, chaque versement doit être de £1 £7.6767; et, pour acquitter £151.1327, chaque versement doit être de (£1 x 151.1327)—+ £7.6767 = R,. £19.6871 = £19 13 83. Le capital fourni par la vente des rentes est de (893.25 x 5340) + 4.50 = $110656.67. Le courtage est de (1 x 110656.67) (8 x 100) = 138.32. Le capital à placer est de $110656.67 — $138.32 = $110518.35. Aprés déduction des frais de gestion

ce capital se réduit à (100 X 110518.35) -- 109 — #101392.98" L'industrie] pouvant vivre encore 24 ans 11 mois, au bout de 24 ans, $1 du capital devient (1.045)24 = $2.876013. Le capital

devient $2.876013 x 101392.93 = #$291607.61. Pour 11 mois, les intérêts simples de cette valeur sont de (4.50 x 291607.61 X 11) + (100 x 12) = #12061.83. En 24 ans 11 mois, $110518.35 deviennent, capital & intérêts, $#291607.61 + $12061, 83 — $303669.,44 Pour une rente de $l, le total des valeurs reçues en 24 ans devient égal à 1 + 1.045 + (1.045)2 + LAS VE TR + (1.045)22 + (1.045328, ou (Table p. 258) à #41. 689196. Pour 11 mois, les intérêts simples de cette valeur sont de (4.5 x 41,69 x 11) + (100 x 12) = $1.72. En 24 ans 11 mois, le total des valeurs d’une rente de $L deviendrait $41.69 + $1.72 — #43.41. Le montant de la rente à recevoir annuellement sera de (1 x 303669.44) + 43.41 = R,. $6995.38. La valeur actuelle d’une annuité de £1, par an, pendant 4 ans, à 7 %, est de £3.387209 ; £3.387209 x 50 = R. £169 7 2. Les intérêts simples à payer chaque année sont de (7 x 20000) + 100 = $1400. Le montant de la somme à joindre à ces intérêts est de 20000 + [1 + 1.05 + (1.05)2 + (1.0533+ ... . + (1.05)18 + (1.05)12], ou (Table, p. 2553 20000 + 33.065954 = $604.85. Chaque année, ia personne devra verser $604.85 + $1400 — R. $2004.85.

Le gain annuel de l’ouvrier est de $2.30 x 25 x 12 = $690. Ses dépenses annuelles sont de $170 + #8325 + 860 = 8555. Par an, il peut mettre en réserve $690 — $555 = lère R. $135. Il pourra faire 47 — 30 = 17 placements. Au bout de 17 ans, leur valeur totale sera de [1 + 1.06 + (1.062 + ...... + (re + (1.06)18] x 135, ou (Table p. 258) de 28.212879 x 35 = 2e R. $3808.74. A l’âge de 64 ans, l’ouvrier peut espérer de vivre encore pendant 11 ans 4 mois. Le produit de ses réserves sera placé pendant (64—47) + 11 ans 4 mois = 28 ans 4 mois. Au bout de 28 ans, ce capital devient (1.045)22 x 3808.74 = #$13062.835. Pour 4 mois, les intérêts simples de cette valeur sont de (4.5 x 13062.835 x 4) + (100 x 12) = $195.94. En 28 ans 4 mois, $3808.74 deviennent, capital et intérêts. $13062.835 + $195.94 = $13258.775. Les rentes seront servies pendant 11 ans 4 mois ; or, en 11 ans, le total des valeurs acquises par une rente de $L est égal à 1 + 1.045 + (1.045)2 + ...... + (1.045)9 + (1.045)10, ou (Table p. 258) à $13.841178. En 4 mois, les int. simples de cette valeur sont de (4.5 x 13.84 x 4) + (100 x 12) = $0.21. En 11 ans 4 mois, le total des valeurs acquises par une rente de $l, est de 13.84 + 0.21 = $14.05. Le montant de la rente viagère sera de (1 x 13258.775) + 14,05 = 3e R. $943.68 +.

34. Le total des versements annuels est de $8 x 52 $416. Pour

une semaine, l'intérêt de $8 est de (60.035 x 8)-+52 = $0.00%. Le ler versement porte intérêt pendant 52 semaines ; le 2e, pendant 51 semaines ; le 3e, pendant 50 semaines; et ainai de «uute jusqu’au dernier, qui porte intérêt pendunt L semaine. Le total des intérêts est donc égal à 0.00% multipliés par le total des 52 termes d’une progression décroissante par différence, dont le Ler terme est 52; le dernier terme, !; et lu raison, 1. Or, ce total = (62 +1) x = 1378. Pour la lère année, le total des

intérêts est de $0.007% x 1378 = 97.42. À la fin de la lère il année, l'avoir du commis est de $416 + $7.42 = $423.42. Cette somme est également celle dont s’angmentera d’alswrd son ri avoir tous les ans. A la fin de la 2e année, l'avoir du conunis : g'augimentera encore des intérêts simples des $423.42 de l4 l'ère É année, c'est-à-dire de $0.035 x 423.42 = #$14.82. Alors, le livret 1 L du commis porterait $423.42 + $423.42 + #14.82 = $861.66. | L Mais ls $40 de rentes coûteront (#93 x 40) + 4.50 = $826.67; \1 le livre sera donc réduit à 5861.66 — 826.67 = $34.99. Tous ie les deux ans, «près l’achat des rentes, le compte du commis | portera un nouveau reste de $34.99, et il y aura ainsi 20 + 2 — ai L0 restes. Le ler portera intérêt pendant 18 ans, et deviendra (1.035)18 x 34.99. Le 2e portera intérêt pendant 16 ans, et Un deviendra (1.035)18 x 34.99. En continuant ainsi et en faisant 00) le total des résultats obtenus, on reconnaîtra que le dernier reste, étant obtenu à la fin de la 20e année, ne portera pas intérêt, et tés que la valeur totale acquise en 20 ans par ces 10 restes sera de dsä L(1.035)18 + (1.035216 + (1.035)14 + (1.035)13 + (1.035)10 + + (1.035)8 + (1.035)6 + (1.035)4 + (1.035)2 + 1 ] x 34.99. | Mais le total compris entre les crochets [ ]est le total des 10 690 termes d’une progression par quotient renversée dont le ler terme 556. est 1, dont la raison est (1.035)2, et dont le dernier terme est 135. (L.035)18, Ce total est égal à L(:085)°? x (L085} 7 — 1 ans, RES | (1.835)2 — 1 + | LA Tu) soie SR 13.89665. La valeur totale acquise par les 10 19 x (1.035)2 — 1 érer restes est donc de 13.89665 x 34.99 = $486.24. La valeur es ré- totale du capital des rentes achetées est de 8826.67 x 10 = 3 ans $8266.70. Les premières rentes de $40 ont été touchées pen- 8 x

dant 18 ans; les 2es, pendant 16 ans; les 2es, pendant 14 ans;

es de et ainsi de suite jusqu'aux avant-dernières achetées, qui ont été 2) = touchées pendant 2 ans; c’est donc comme si, chaque année, al et on avait touché $40 pendant un nombre d'années égal au total entes des Ÿ termes d’une progression décroissante par différence, dont à| des le Ler terme est 18; le dernier est 2; et la raison, 2. Or, ce 45 + total = (18 + 2) x & = 90. Le montant des rentes touchées 258) est donc de $40 x 90 = $3600. À la fin de la 20e année, l’ar sont voir du commis sera de $8266.70 + #$3600 + $486.24 == ans 4 R. #12352.94, est de 35. Le temps perdu par jour = 60 — 25 == 35 min.; et, par an, ee e sera temps = 35 x 270 = 9450 minutes. En 60 x 8== 480 min., 4 l’'attelage uagne $4.80 ; en 1 min., il gagne 480 fm., ou 4.80 + Pour 480 ; et, en 9450 min., il aurait gagne 9450 fp. ou (4.80 + 480) 00 ge x 9450 = $94.50 — la retenue à faire. La somme dépensée e, pen- | par le serviteur est de 0.60 x 270 = $162. La perte annuelle e auite faite par le serviteur est de $94,50 + $162 = lère R. $256.50. e ge Le serviteur à fait 54—:25 = 29 placements. La valeur totale des

acquise à la fin des 54 ans par ces 29 versements est égale à le ler [1 + 1.06 + (1.05)? + ... -. + (1.05) 27 + (1.05) 28] x

Le val 366.60, ou (Table, p. 268) à 62.322711 x 266.60 = $15985.77 ta es .

= le capital de la rente viagére. Le serviteur doit jouir de sa rente pendant 72— 54 = 18 ans. Pendant ces 18 ans, la valeur acquise par le capital de la rente sera de (1.045)18 x 15985.77 = #35304,09347. Le total des valeurs acquises en 18 ans par une rente de $l eat de 1 + 1.045 + (1.045) % + ..... + (.945)17, ou (Table p. 258) de $26.855083. Le montant de la rente sera de (1 x 35304,09347) + 26.855083 = 2e R. ÿi314.61.

NOMBRES DUODÉCIMAUX.

MULTIPLICATION, — EXEROICRS (p. 273).

19 8 pi. 6 4’ x Spi. T'æ R. 73 pi. 2’ 4’ 4; 20 10 pi. 6 6 x 48” = R. 4 pi. L' 2” 4”, | 1° 7 pi. 59°” x 3 pi. 5” = R. 22 pi. 8’ 4? 47 99; 20 76 pi. Tx9pi.8 = R. 730 pi. 7’ 8”.

DIVISION, — EXEROICES (p. 273).

27 pi. car. 8’ 6” + 1 pi. 7 = R. 17 pi. 6’.

792 pi. car. 6’ 9°” 2°” + 12 pi. 7’ 8” = R. 62 pi. 8’ 6”.