EXTENSION DE LA MÉTHODE

Prolongeons N' A""' jusqu'à ce qu'il rencontre C P eu P'; du centre G décrivons un arc de cercle A" 0' coupaiit G P en Q' ; abaissons les perpendiculaires P' U\ Q' V sur G A; el supposons de telles constructions faites en parlant de iV", iV", etc. au lieu de N\ Désignons

2 Q V„ -\-PU„ par /2 QV+P U\ 3 ^ V 3 A

et ainsi d'aulres expressions analogues, nous avons vu que

^ e (^1 + ^ ^Ta + ôô ^' -^ %0 ^2- + ; ^*^

On pourra faire voir tout semblablement, par élimination de o',

que ('^J"J'-J'ly=

^ \ 30 ïi*" 1008 S"" 43-20 2"» / ^^

/UQ' y — QV\^

(,/.__ J^o;^j i e^ i e" I \ /ox

\ 120 ii*" 2016 2«" ' 17280 2«" * / ^ '

Éliminons e^ des formules (1), (2) et (3), {U); nous aurons respeclivement :

/i2P' ir -\-UQV '- PU\ \ 15 A"

'■'(* + o4ïï^ + y2T(ro &'+••••) (^)

Enfin éliminant 6' des deux dernières formules, nous aurons /32Q G' V' + 52 F (7' — 5G 0 F— P U\ ^ \ 315 /.

rUi L^l... \ (7)

11 n'est pas besoin de dire que j'ai choisi ce système d'éliminations, d'entre ceux qui sont possibles, parce qu'il conduit aux résultats les plus simples.

Si dans les premiers membres des formules ci-dessus on remplace les lignes par leurs valeurs en fonctions de e, que

l'on dérive facilement de la figure, on oblîfent l'interprétalion goniomélrique de ces formules.

Appliquant ce procédé en particulier à la formule (3) (qui, d'entre les quatre premières formules, contient le moindre coefficient deô"^, et a de plus l'avantage d'avoir des signes alternatifs, ce (jui fait (lu'en négligeant les termes qui suivent le second, on est sûr d'obtenir pour erreur une valeur trop grande), on obtiendra pour son premier membre, après réductions :

46 sm - — 2 sm ^'

ou 8 A M — .4 ^ *

Comparant les deux valeurs du dit premier membre de la formule (3), on obtient :

UQ' r — QV=SAM-'AB

Ainsi si l'on prend

angle AC B = 30° et D E = S corde A M — corde A B

= r (8 corde 1 j« — corde 30°), il suivra de la tbéorie des (piadratures que nous avons exposée et de la formule [^) que D F* dilTèrera en déiaul de l'aire totale du cercle d'une fraction de cette aire

^ 4-80. 2<. G* ^" "^ 102180- Celte manière d'obtenir la quadrature définie est digne

* Une niitro manière de trouver Texpani^ion de cette expression se trouve dans le « Differenlial and Intei^riil Calculus » de de .^Iorgan, p. 'IkO. On l'ob-

Uendrait aussi en éliminanl o^ des formules exprimant r sin - et r sm en puissances de 6.

d'ôlre spécialement remarquée, à cause de la facilité de la construction géométrique et de la très-grande approximation obtenue. On doit noter en mémo temps (pie r (8 corde 15° — corde 30°) représente le quart de la circonférence à moins de un 102180"'" près.

JNlais il faut se rappeler que ce procédé n'est qu'un cas particulier de la méthode générale, et qu'il ne donne qu'un résultat unique, tandis que la méthode générale peut à juste titre être appelée « méthode » et « méthode progressive», parce qu'elle peut conduire progressivement à des résultats de plus en plus approchés de l'exactitude, *

Eu dernier lieu l'interprétation géométrique des formules

QV^^Tr sin ^ Pî7„=2Vtang!-

arc i4 J5 = lim P U„ pour n = oo mérite d'être notée.

Quel que soit l'angle donné, on pourra au besoin, pour plus de commodité, appliquer la construction à la moitié, ou au quart, ou au huitième, etc., de cet angle.

* La méthode d'approximation que nous avons donnée pour la trisection de l'angle peut au même titre être appelée une « méiliode progressive ».

On connaît diverses approximations à résultat unique pour la quaJraluro du cercle. Il n'est pas besoin de signjler l'avantage (principalement théorique) d'une « mélliode progressive » sur de telles approximations.