QUADRATURE DE FIGURES ELLIPTIQUES

La quadralure des figures correspondantes pour l'ellipse sera aussi facile et aussi exacte.

En eiïel si sur l'axe majeur comme diamètre noiis décrivons un « cercle auxiliaire », les figures elliptiques peuvent être conçues comme formées des figures correfi pondante fi de ce cercle, par la diminution des ordonnées (parallèles à l'axe mineu'-) de ces dernières dans le rapport de l'axe mineur à l'axe majeur; d'où il suit que le rapport des aires des figures correspondantes est le même que celui des axes. Cette propriété nous conduit à la construction suivante :

Quel que soit le cas de quadralure traité ci-dessus qu'on veuille appli(|uer à l'ellipse, rectifiez l'arc correspondant du cercle auxiliaire (c'est-à-dire l'arc qui est compris entre les mômes ordonnées que l'arc elliptique) d'après notre mélhode; sur l'axe mineur comme diamètre décrivez un cercle. Soit D F D (voyez la figure) ce cercle; prenez D E égal à l'arc rectifié du cercle auxiliaire (ou à la ligne correspondant à R T, si c'est d'un segment qu'il s'agit), et achevez la construction comme précédemment; f) G sera le côté du quarré cherché. Car, D E demeurant constant, D G^ varie comme D B; et lorsque D B est égal à l'axe majeur, D G^ est l'aire de la figure relative au cercle auxiliaire; donc lorsque /) 5 est égal à l'axe mineur, D G^ est l'aire de la figure eUiplique.

De cette manière on ohtiendra, soit l'aire d'un secteur, soit celle d'un segment, soit celle de l'ellipse entière, au même degré d'approximation (par rapport à l'aire elliptique) que celui que l'on ohtiendrait, pour la figure relative au cercle auxiliaire, avec la mènie valeur de D E: car D B étant une constante, chacune de ces aires est proportionnelle h D E.

Lorsque l'arc rectifié sera plus grand que l'axe mineur, on

1 1 pourra prendre D E (l'gal à ^ ou g etc. de l'arc reclilié, d'où

il suivra que 2 Z) G (ou D F) ou 3 D G clc. sera le côlé du

quarrc cherché. Ou bien, si l'axe mineur est très-petit, on

pourra prentlre D B égal à k fois, 9 fois, elc. l'axe mineur;

et, si l'on prend D E égal à l'arc rectifié (ou à la ligne cor-

respondaiil au cas d'un segment), - D G ou ,, D G etc. sera

le côlé du (juarré cherché. Ou bien encore on pourra combiner ces deux modifications. Si par exemple on prend D B égal à

k fois l'axe mineur et D E égal à . de l'arc rectifié (ou ligne

correspondante pour un segment) ; D G sera le côté du quarré cherché.

Il est clair que ces diverses modifications de construction n'affectent pas le degré d'approximation des résultats.