CHAPITRE II
ÉQUATION RÉDUITE PX? + QY? + RZ?— 0.
L'application de la méthode générale n’offre aucune difficulté. Aussi, la modifions-nous afin de donner une solution indépendante des théories générales précédentes.
En coupant la conique précédente par une droite rationnelle pivotant autour d’un point rationnel Ë, », € on obtiendra 1 seul point mobile, donc rationnel.
À une droite rationnelle (de paramètre = rationnel) correspond 1 seul point rationnel et inversement. D'ailleurs, si l’on change de = Là ] u # 4 S point de départ, le paramètre 5, sera changé en un paramètre +
en correspondance homographique avec le premier. La méthode indiquée conduit donc à toutes les solutions et cela quelle que soit la solution première supposée connue.
Soit Ë, », 6 une solution connue avec
(Enr Ce Posons X = E + lu, (T) Y = n + dv, | AA
6 étant prise comme variable d’homogénéité.
Nous obtenons alors + 2XD — 0, avec C = Pu? + Qs2, D = Puë + Qon,
et en reportant ces valeurs dans lé système (T) après avoir chassé les dénominateurs, nous obtenons la solution
X — EC — 2uD (S) Y = nC — 2°D (QT ES D 4 = tC
Signalons de suite le lemme suivant que nous utiliserons fréquemment.
Lemme. — Les 3 nombres PE, Qn, Ré sont premiers deux à deux.
Rappelons que d’après la définition de la forme réduite P,QR sont premiers 2 à 2 et sans diviseurs carrés.
4) Éet x par exemple, sont premiers entre eux, car sil’on avait
\ : à — (Ë, n), on aurait & | RE, ce qui n’est pas car R est sans diviseur carré et (d,£) — 1 d’après la condition (En, &) = 1. | 2) P et & par exemple, sont premiers entre eux car l'hypothèse (P,9 = d, entraîne d | Qr?,
ce qui est impossible puisque (PeQP= 1e et nt
Ce lemme établi, les formes C et D semblent devoir jouer un rôle important, que nous allons indiquer.
Taéorème I. — Les facteurs premiers de (X, Y, Z) sont les mêmes
que ceux de (C, 2D).
En se reportant au système (S) on voit de suite que tout nombre divisant C et 2D divise X, Y, Z.
Réciproquement soit p un facteur premier de (X, Y, Z) supposé ne pas diviser (C, 2D). Les seules hypothèses à faire sont :
1) p/2D et p }C. — Ce qui entraîne P | ë, neté,
divisibilité impossible car (£, », &) = 1.
28 SOLUTIONS ENTIÈRES DES ÉQUATIONS DU GENRE O 2) p/C et !2D. — D'où l’on déduit pluetp, ce qui n’est pas car (u, v} — 1.
3) pC et 2D. — Comme p/Z on a p/6 et par suite (1) PE + Qn2 = 0 (mod p).
Le système
EC — 2uD = d p), Re Au ui donne LEE) 0 (mod p),
c’est-à-dire C= D=0 (mod p).
Cette troisième hypothèse est encore inadmissible, ce qui démontre le théorème.
Taéorème II. — Lorsque le couple u, v varie de façon arbitraire sous la condition (u, ) = 1, le p. g. c. d. de X, Y, Z, est un diviseur
de 2PQ(PE + Qn?) = D.
Le système (S) admet la combinaison entière nX + EY = — Qup(PE + Qn?).
Considérons un couple particulier arbitraire w, # et soit pt: le diviseur maximum de w divisant BR AT En se reportant au système (S) on voit que
p® l Q6e?, Qn ve Q&e?.
Or pv car (u, ») = 1.
De plus p À Ë, n, & à la fois.
Donc
Le même raisonnement s'applique à tout diviseur premier r de # et à tout diviseur premier de w ou de » pour un couple quelconque u, ».
On a donc
mio, rh... |P,
et comme (u, ») — 1, les p et les r sont différents et l’on a bien
p*...r° | QP,
maxima
et par suite (X, Y, Z)/2PQ(PE + Qr?).
Les deux théorèmes précédents indiquent seulement les diviseurs logiquement possibles de (X, Y, Z) pour l’ensemble des couples w, ». Ils indiquent des conditions nécessaires mais non obligatoirement suffisantes pour obtenir un diviseur du nombre (X, Y, Z) correspondant à un couple déterminé (u, »). Il nous faut maintenant considérer un couple u, donné et déterminer les facteurs premiers de (X, Y, Z) et leurs exposants.
Nous classerons ces facteurs premiers en 4 groupes :
14 groupe, ceux de P ;
2e groupe, ceux de Q ;
3e groupe, ceux de PE + Qr = — RE,
En excluant chaque fois le facteur 2 s’il s’y trouve ;
4e groupe, le facteur 2.
Une première réponse nous est fournie par le théorème suivant.
Tuéorème III — Pour qu'un facteur premier p de D divise (X, Y, Z) il faut et il suffit que
ps PRE NN 16 (po = 2 compris) efu RS. »
ploë—un si p ÊPEE + Qn »
et enfin quand — 2 PQ(PE + Qn?), que 2/u +».
1) Pour qu’un facteur premier p de P divise (X, Y, 2) il faut et il suffit que p}»,
car il faut et 1l suffit que
QËv2 — 2Qnur, P / 22 Qns?,
OrplQet pic.
Donc p/v° et par suite p/v.
3) Pour qu’un facteur premier p de PE + Qw° divise (X, Y, Z). il faut et 1l suffit que
(1) po [PE — un.
On pourrait prendre la condition (2) p / D = Péu + Que
mais la précédente est plus simple.
31) La condition est nécessaire. — En effet les deux formes (1) et (2) sont équivalentes (mod p) car leur résultant est PE + Qr? qui est nul (mod p).
On peut aussi remarquer que l’on a
(PE + Qn?) — É(PEu + Qne) = Q(un — ##),
p doit donc diviser Qn (un — vË) et comme il est premier avec Q» (voir lemme), on a nécessairement
p/9E — un.
32) La condition est suffisante. —- En effet posons u = a (mod p), la condition (1) donne a = É (mod p), et l’on a bien
C= {Par + Q) = #(PÈ + Qu?) D= p(Pla + Qn) = v(PE + Qné)
4) Pour que 2/(X, Y, Z) il faut et il suffit que 2/C = Pu + Qr?, car 2/6, n, € à la fois.
= 0 (mod p).
ÉTUDE ARITHMÉTIQUE 31 Cette divisibilité se simplifie 41) Si 2/Q elle est quivalente à 2/u.
42) Si 2/P elle est équivalente à 2/v.
43) Si 2/PQ, on a P=Q=1 (mod p), et Pu? + Qu = u? + v?, et d’après le théorème de Format u? + pu + y.
44) Si 2/PE + Qr = — R°?.
Ë et » sont impairs (voir lemme) et les deux conditions
2[u +e ) 2/68 + un!
sont équivalentes.
Ainsi le facteur 2 s’il entre dans les trois premiers groupes joue le même rôle que les autres facteurs, ce qui justifie l'addition «p —= 2 compris ».
Taéorème IV. — L’exposant d’un facteur premier de (X, Y, 2) se détermine à l’aide du système (E).
EX = Q(nu — #6)? — u(PE + Qn?), (E) nY = P{nu — 06) — v(PE Qi), EnZ = E(nu — sé) (Pêu — Que) + Cuv(PE + Qn?).
1) et 2) Les facteurs premiers de P et Q ayant seulement l’exposant 1, il n’y a aucun doute.
3) L’utilité du système (E) est de mettre en évidence la forme pE — uy. Remarquons qu’un diviseur du 3€ groupe ne divise pas En. Donc s’il divise £X, nY, EnZ il divisera (X, Y, Z). De plus on a
(1) Pêu — Qns Æ 0 (mod p),
car de p£ — un = 0 (mod bp) en déduit
