PE + Q

et que à e 12P8 et 2Qr°.

Ceci posé soient

R — ro hot")

LG a EN PEN PI de Me pp x h, les } étant seuls communs à R et & d’où

1 2 RE = re NAT Mdr

31) Si nous posons vë— un = 0 (mod p2)

ot — un +0 (mod pi +3) tés

(311) nous aurons

al [X et Y car PT | (6ë — un}? et PE + Qn?, eT/Z car pr] & ét 9e — ur.

De plus el | PE + Qn? et JL (PE — un}.

Donc pr+11X Y (X, Ÿ, Z) = pe...

312) Si y — « on atteint la limite supérieure 24 pour l’exposant . de p et l’on a encore (X Y,2 = 7.

Il n’est pas inutile de montrer directement que p ne peut avoir un exposant supérieur à 2x. En effet ErZ contient p à l’exposant 2« pour la partie E(nu — vé)

(P£u — Qne) et à l’exposant à + 2 « pour la partie £us (PE + Qw°) donc seulement à l’exposant 2x. /

313) Si y>« EX a une partie divisible par p?* et l’autre seulement par p?* donc

(X, Y, 2) = pt...

ce qui est en accord avec la limite supérieure donnée par le théorème II.

32) Si nous posons de même

ot — un = 0 (mod X)

(312) ee vé — up Æ 0 (mod À a )

l’exposant de À sera 29 dans (X, Y, Z).

DEN AS SRE 313) Si l’on fait pt.

on trouve immédiatement (X, Ÿ, 2) = PÊFT...

ce qui est encore en accord avec la limite supérieure.

33) Les r ne figurant qu'avec l’exposant 1 il n’y a aucun doute 4) La discussion relative au facteur 2 se conduit de façon analogue, mais elle est beaucoup plus délicate.

41) 21PQ(PEÆ + Qr?). — Alors 2 n'entre, dans D qu'à la

puissance 1, il n’y a aucun doute. ; 42) 2/P. — On a par suite (voir lemme).

D'= 722... Pram2he P' impair,

et nous devons poser » = 28.

On a alors

— n(P'u? + 2Qs?) — 4s(P'Ew + Qns).

Comme uw est impair puisque (u, ») = 1, 27 car n et P' sont

impairs.

RS Aie

43) 2/Q. — La conclusion est analogue.

34 SOLUTIONS ENTIÈRES DES ÉQUATIONS DU GENRE O 44) 2/RE. — Rappelons que 2 PQënus et que nous devons poser pt — un =0 (mod 2).

Mais icion a Ptu — Qns = 0 (mod 2), tandis que dans le cas 3 analogue on avait Piu — Qns Æ (mod p).

La discussion est plus délicate à cause de l’exposant inconnu a priori y de 2 dans Pêu — Qw.

Nous nous reportons au système (E) que nous récrivons

EX = Q(au — ot}? — u(PE + Qn?), (E) nY = P(nu — ot}? — PAPE — Qn), EnZ — E(nu — vE) (Pêu — Que) + Euv(PE + Qn?).

BH) 2 2 RE 2R, R' impair.

Alors LIPE+Qn. et 4 [ (CE — un}.

Donc (X, Y,Z) = 2.

449) t = 28. 24FR. — D'où 2 RE = 2; Posons ee 8 (4491) un = 0 (mod 2) (B <a),

Ve Sue 0 (node 71)

EX contient 2 avec l’exposant 26 dans le terme Q(PE — un) et 9x dans le terme PE? + Qr° donc seulement avec l’exposant 28 car B <a. | nY:-.e ; EnZ contient 2 avec l’exposant à + B + y dans le 1% terme et 3œ dans le 2€, donc avec l’exposant 28 au moins

4422) Soit maintenant B = à.

(nu — vE)? et PE + Qr ont 2 avec l’exposant 2a ; Q et u? sont impairs. Donc £X a 2 avec un exposant au moins égal à 2a + 1.

Il en est de même pour »YŸ et de même pour »ëZ. Comme l’exposant de 2 ne peut dépasser 24 + 1 d’après le théorème II

> on a bien