CHAPITRE III
ÉQUATION aX2 + bY? + cZ2 + dT? = 0.
Comme précédemment nous partirons d’une solution particulière connue et nous nous proposons d’en déduire la solution générale.
Soit donc Ë, », &, t la solution connue. La méthode déjà employée donne la solution
X — EC — 2uD, Y = nC — 26D, (S) rte ane avec (u,v,s) = 1, PF rC en posant C = au? + by? + cw?, D = aëu + bns + céw.
THéorèME I. — Les facteurs premiers de (X, Y, Z, T) sont les
mêmes que ceux de (C, 2D).
1) Soit p un facteur premier de (C, 2D). Alors p divise X, Y. Zet T.
2) Soit maintenant p en facteur premier de (X, Y, Z, T) supposé non diviseur de (C,2D). Les seules hypothèses à faire sont:
19 b C et #2D. — On doit nécessairement avoir p/u,v,w à la fois, ce qui n’est pas car (u, ?, w) — 1.
20 p/2D et C. — On doit avoir pEn,6,r alla tois,
ce qui est impossible puisque (E, », 6, tr) — 1.
ÉTUDE ARITHMÉTIQUE 43 30 p{2DC. — Alors p divisant T divise + et l'équation
ak + bn? + ©? + dé — s'écrit i (4) at? + br? + ct = 0 (mod p).
Les congruences
donnent
(2) | So
et en reportant dans la congruence (1) on a
HE bo? + ew2 = C=0, au + bnp + w—= D=0.
Cette contradiction démontre le théorème.
Pour être rigoureux remarquons que les congruences (2) ont une forme illusoire, par exemple pour pJ£. Le résultat énoncé est
encore valable.
En effet l'hypothèse p / 2D conduit à p/u pour que p]X. C et D se réduisent à
bo? + cs?
bn + btw | =0 (mod bp),
et les congruences (2) aux suivantes
Les autres cas p/n et € par exemple ou pJ£, n et & se traitent
de façon analogue.
Le théorème I est donc tout à fait général.
Tuéorème II. —- Tout facteur premier de (C, 2D) admet abcd pour reste quadratique.
Comme (u, », w) = 1, l’un au moins des 3 nombres u, #, w est
premier avec pP ; soit w tel que
PTrw.
Nous pouvons poser
et les congruences.
C = au? + by? + cu?
D = aëu + bne + céw np deviennent was? + 82 + c) 0 w(aba + bn8 + ct) # ou () a + bB2+c en
aëx + bôn + ct puisque p Tr W.
L’élimination de x entre ces deux congruences (1) donne
(B) b(aË + bn?)8? + 2bentp + c{aë? + bn?) = 0 (mod p),
Cette congruence (B) du second degré n’est possible que si son discriminant À
A = — habc(at? + bn? + ct2)e,
est reste quadratique de p (voir CAHEN, Théorie des Nombres, IT, 93).
Ce À s'écrit, en utilisant la solution fondamentale
aë2 + bn? + ce + de — 0, A — habcdE?r?,
Comme 4, E, r? sont restes et que le quotient de deux restes est encore reste, il en résulte que abcd est reste de p.
Le théorème II admet une réciproque. En effet, la condition — À reste de p — est nécessaire pour qu’une congruence du second degré soit possible ; elle est d’ailleurs suffisante sous certaines conditions qu’il nous faut préciser.
THÉORÈME. — Soit p un facteur premier admettant abcd pour reste. Nous pouvons toujours déterminer u, v, w de telle sorte que P/(X, Y, ZT)
la condition (u, », ) = 1 étant remplie.
Rappelons d’abord que la congruence
(1) A + 9Ba + C —=0 (mod p), donne
A(A@ + 2Ba + C) = 0, ou (2) (Aa + BE — 4 =0,
et que la congruence (2) entraîne la congruence (1) certainement si A Æ 0.
Il y a simplement une discussion à faire si RE,
Cela posé, le fait que abcd est reste de p entraîne la possibilité de la congruence (B)
(B) bat? + bn2)82 + 2bont® + c(aë? + bn?) = 0,
sauf peut être si p | b(at + bn?).
. 4er Cas: p}b(aë + pr). — Soit B l’une des 2 racines de la congruence (B).
Déterminons + de telle sorte que l’on ait
D' = aëa + bn8 + ct =0 (mod p.),
ce qui est toujours possible si pJaë.
En posant C' = ao + b +, on a
aë2C' + D'2 — 2aksD' = B.
11) p4aë. — Par suite p Hal et l’on a bien pic: Done p/C et D.
12) pla. — Nous allons étudier ce cas.
13)/pJE. — Au lieu de partir de la congruence (B), nous partirons de congruences analogues en intervertissant Ë, n ou &, qui nous conduirons au résultat voulu sauf si
plineté à la fois.
Mais un tel p divise X, YŸ, Z et divisera T si
p | au? + be? + be? + cw°?
(p/Tcar (tn, 6,r) =1). , Cette congruence à 3 variables est toujours possible, comme
nous le montrerons à la fin de cette démonstration.
2e Cas : p/b. — Alors C et D se réduisent à
au? + Cw?
aëu + Céw
résolubles par u = # = (mod p).
Si l’on prend # premier avec (u, #) on a bien (u, vo, w) = 1.
Le raisonnement s'étend à p/a ce qui résout le cas 12).
3e Cas: p/aë? + br. — Nous prendrons w = 0.
ce qui entraîne, puisque a + bn = :
les 2 congruences au? + by?
aëu + bne
et par suite C= D =0 (mod p).
On peut toujours prendre.
Il nous reste à montrer que la congruence à 3 variables
(GC) au + bp? + cm2 =0 (mod p) est toujours possible.
1) Si p/b, par exemple, nous nous reporterons au 2€ cas déjà
étudié.
ÉTUDE ARITHMÉTIQUE 47 2) Si — ab, par exemple est reste de p la congruence au? + br? = 0 (mod p)
est possible avec (u, ») Æ 0.
En prenant w = 0 on aura C = 0 et on pourra toujours avoir (us nt.
3) Dans le cas le plus défavorable aucune des hypothèses précédentes n’est vérifiée.
Soit p = 2n +1.
Les n nombres
— au?c, u—=1;2;%.. in
sont non restes quadratiques de p et aucune des congruences
au? + cw? = 0,
% u —=1;2;:><;n, n’est possible.
Soit alors » — 1.
Les n nombres — acu?, u—= 412) "+,n,
forment les n non restes quadrat ques (mod p). Parmi les n nombres — ac — bu —=1,2,.-.,n
il y en a alors qui sont restes.
(Exercice proposé en particulier dans le livre déjà cité de M. Cahen, II, 102).
La congruence
au? + b + cw? = 0 a son discriminant — eau? + b) = — acu? — bc
reste de p pour au moins une valeur de u et comme # = 1 on a bien
(u, 9, w) un 1;
Pour être absolument rigoureux il nous faut considérer le cas de p = 2.
Mais alors u2=u::: (mod 2),
d’après le théorème de Fermat et l’on a
au? + be? + ow? = au + be + cw (mod 2),
forme linéaire qui peut toujours être nulle (mod 2) avec (u, v, w) ÉTA P .
De ce théorème III découle une conséquence très importante.
TaéorèmEe IV. — (X, Y, Z, T) admet avec une infinité de diviseurs lorsqu'on fait varier u, v, w.
En effet, il y a une infinité de nombres premiers admettant abcd pour reste quadratique et a fortiori une infinité de nombres composés (Cahen, t. IT, 366...). É
Dans ce livre on trouvera la démonstration du fait que p appartient à certaines progressions
ps + 4ôx
où 0 — abcd,
æ variant de — © à + æ et p, ayant certaines valeurs déterminées. Comme (p;, 20) — 1 d’après un théorème de Lejeune-Dirichlet, chacune de ces progressions contient une infinité de nombres premiers.
Exemple : Ce théorème IV est complètement différent du théorème relatif à 3 variables ; il n’est donc pas inutile de le vérifier sur un exemple simple.
Soit l’équation
où X, Ÿ, Z, T peuvent représenter les 3 arêtes et la diagonale d’un parallélépipède droit à base rectangle.
Prenons la solution initiale
= ni i0; E=r—i.
Nous obtenons la solution
X = Zuw, Y= 2pw,
(S) 7, = w + p2 + 2 — 2ww, T = u2 + p? + w?,
Ici nous avons
ACT dé
Tr
= LS: “jnbbe
de CAP
Re st
Puisque (C, D) = (u? 4 p?, w),
tout nombre premier p de la forme 4 h + 1 décomposable en une somme de deux carrés peut être diviseur de (C, D) pour u, # convenablement choisis avec
(u, ») Æ 0 (mod p) et æ = 0 (mod p), et (u, »,æ) = 1.
Il y en a bien une infinité (cas particulier très simple du théorème de Lejeune-Dirichlet).
Ceci est bien en accord avec les théorèmes II et IV à savoir abcd ici — À est reste quadratique de tout nombre premier de la forme 4 h + 1 et non reste de tout nombre premier de la forme 4 hk — 1.
