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NE | dedtus u INTRODUCTION

Soit RAT) 0

une équation homogène, de degré n, de genre O, à coefficients entiers. Nous nous proposons d’en trouver toutes les solutions entières.

L'idée fondamentale consiste à utiliser une représentation entière qu’admet cette courbe qui, si elle est à coefficients entiers, donne une infinité de points entiers.

Relativement au problème qui nous occupe on connaît les résultats suivants.

19 On sait reconnaître si l’équation admet une infinité de points entiers et dans ce cas trouver une représentation entière.

a glu, ”),

N ré x

= hu, »), de degré n, à coefficients entiers où uw et » sont les deux termes

premiers entre eux du paramètre t{ figurant dans la représentation non homogène, les coordonnées étant

à d' es Ro Lébes;/ 0

H y a correspondance biunivoque entre un point entier et le couple u, » et le système (S) donne tous les points entiers. 2° À un point entier peuvent correspondre plusieurs solutions

entières. Soit en effet d un diviseur commun à X, Ÿ, Z correspondant à un couple u, ». La solution

d’ AD

IN

est entière et n’est pas donnée par le système (S) qui doit être remplacé par le suivant

où D représente le p. g. c. d. de X, Y, Z variable avec le couple w, ». Le calcul de D en fonction de u et # s’impose donc : Nous nous proposons de faire ce caleul qui jusqu'à présent n’a été fait que dans des cas particuliers.

Il nous semble indispensable de préciser la remarque fondamentale, ce qui nous fait adopter le plan suivant :

17e ParrTie. — Etude analytique :

Toute courbe de genre O admet une représentation propre, uniforme, qui est rationnelle. — Réciproque. — Emploi des adjointes.

2e ParrTie. — Etude algébrique :

Conditions pour qu’il y ait une infinité de points entiers. Représentation entière à coefficients entiers.

3e ParTiE. — Etude arithmétique : -