PREMIÈRE PARTIE
THéoRÈME |. — Touie courbe de genre O admet une représentation uniforme qui est rationnelle.
Cette représentation rationnelle est unique, à une substitution homographique près, portant sur le paramètre.
À une valeur du paramètre correspond un seul point de la courbe et inversement.
Soit une courbe de degré n, de genre O, d’équation
(1) Îæ, y) = 0.
19 Pour exprimer x et y en fonction uniforme d’un paramètre t, on peut prendre pour { soit une intégrale abélienne normale de 2€ espèce, soit une de 3° espèce attachées à la courbe (1). Dans le 1T cas x et y sont fonctions rationnelles de + et il y a correspondance univoque entre t et le point x, y. Dans le cas x et y sont fonctions de et et l’on peut aussi établir une correspondance univoque entre t et le point x, y.
D’après APPEL et GoursAT, Théorie des Fonctions algébriques d’une variable, p. 440.
20 Soient { x = f(t) (M Uy= g(0 et (ia:= }{s) 8) y = Ü(s)
deux représentations distinctes de la courbe (1).
La correspondance entre s et £ est biunivoque, et étant algébrique, est nécessairement homographique.
D’après Prcarp, Traité d'Analyse, t. IT, p. 552.
Tuéorèms II. — Réciproquement soit in) (T) F7 &ÿ a) 7 EU)
une représentation rationnelle où f, get h sont 3 polynômes premiers dans leur ensemble, n étant le degré maximum pour les 3 ploynômes et le degré effectif de l’un d’eux. Cette représentation définit une courbe de degré n, de genre O.
La courbe est algébrique, car son équation s'obtient en éliminant t entre x et y.
Elle est de degré n car la droite
ax + by + c= 0.
la rencontre aux n points d’intersection correspondants aux n valeurs de { racines de l’équation
af(e) + bR(E) + eg(t) = 0.
Elle est de genre O car une intégrale abélienne de 17e espèce supposée attachée à cette courbe porterait une fraction rationnelle de t et ne saurait rester finie, ce qui est contradictoire.
On peut aussi consulter à ce propos le Mémoire de CLEBSCH, Journal de Crelle, t. 64, p. 45, où l’on trouve le calcul du nombre des points doubles.
Pour obtenir la représentation il est commode d'employer un faisceau d’adjointes rencontrant la courbe en un seul point mobile, donc à coordonnées, fonctions rationnelles du paramètre.
Lemmes I. — Îl n’y a pas d’adjointes d'ordre n — 3.
En effet une courbe de degré n —3 est déterminée par LAS)
points. Etant adjointe elle doit passer par les
points doubles, ce qui est contradictoire, car n(n — 3) <(n —1)(n —2) — n(n — 3) + 2.
Ce raisonnement très simple soulève une objection. En effet, nous avons dénombré les points doubles comme s'ils étaient indépendants les uns des autres ; en réalité, ils sont considérés dans leur ensemble et il se pourrait que leur ensemble n’équivaille qu’à
(n — 1) (n — 2) nn Lip
points indépendants. Autrement dit, en employant le langage de la Géométrie algébrique, le groupe de tous les points doubles pourrait être un groupe spécial conduisant à des systèmes surabondants.
Il n’en est rien, car dans ce cas on aurait
ur
et il existerait au moins une adjointe d'ordre n — 3 et par suite une intégrale abélienne de 1'e espèce, ce qui n’est pas. Nous rappelons qu’une intégrale de 17e espèce attachée à la courbe
f(x, y) = 0 est de la forme | © Qe, pds l'y
Q (x,y) étant un polynôme adjoint d'ordre n — à.
La démonstration basée sur la non-existence d’une intégrale abélienne suffit pour démontrer le lemme ; mais la 17€ démonstration quoique insuffisante est intéressante par sa simplicité et la comparaison des deux montre que le groupe des points doubles est non spécial, propriété dont nous aurons besoin dans le théorème
suivant, théorème IIT.
TaéoremEe III — llya deux faisceaux d’adjointes possibles :
4er Faisceau. — Adjointes d'ordre n — 1 passant par 2n — 3 points fixes de la courbe.
2e Faisceau. — Adjointes d'ordre n — 2 passant par n — 3
points fixés de la courbe.
Soient h le degré du faisceau et k le nombre de points fixes de la courbe autres que les points doubles par où passe le faisceau.
En exprimant que le faisceau est déterminé par ces points on a
ne Diner
(1) MES) 4 2x
En exprimant que le faisceau rencontre la courbe en 1 seul point mobile on a
(2) hn—1=k+{(n—1)(n —2.
La résolution de ces deux équations donne
h =n—2 et k=-n—3.
Ce résultat est mentionné dans le mémoire déjà cité de Clebsch.
Le raisonnement précédent ne prête pas à objection : En effet, la seule critique serait que l’ensemble des points doubles n’équivaille qu'à un nombre de points doubles supposés pris
DAT PAU . (n—1)(n —2 :
ol mot intérieur à : 2 et nous avons vu qu'il n’en
était rien.
Nous ne parlons que de représentation propre, ce qui ne restreint pas la généralité, car une représentation impropre se ramène à la précédente par un changement de paramètre (!).
(*) Pour l’étude de la rationnalité des points multiples, on se reportera à la note placée à la fin de ce travail.
