DEUXIÈME PARTIE
’étude analytique précédente nous donne le moyen d’obtenir tous les points de la courbe unicursale. Il nous faut maintenant chercher s’il existe une infinité de points rationnels ou en: tiers en coordonnées homogènes et les obtenir si cela est.
THéoRème [. — L'ensemble des courbes unicursales admettant une représentation rationnelle à coefficients entiers est identique à l’ensemble des courbes unicursales admettant une infinité de points entiers.
49 Soit X — f(u, v), (S) Y = glu,»), rs hu, »),
la représentation entière homogène. En faisant varier le couple u, », on obtient une infinité de points entiers distincts.
20 Inversement, soient n + 1 points entiers arbitraires de la courbe. Les n + 1 systèmes (S) correspondants aux n + 1 valeurs du couple w, v forment 3n + 3 équations linéaires par rapport aux 3n + 3 coefficients des formes. La solution de ce système est bien rationnelle et on la rend entière en multipliant ces coefficients par le p. g. c. d. de leurs dénominateurs (°).
TaéorèmMEe II. — La condition nécessaire et suffisante pour qu’une courbe unicursale ait une infinité de points entiers est qu’elle en ait au moins un distinct des points multiples.
La condition est évidemment nécessaire, et nous donnerons de sa suffisance deux démonstrations.
(:} Au sujet de cette démonstration, on se reportera à la note placée à la fin de ce travail.
17e Démonstration : Soit À ce point entier. Les 9
points doubles forment un groupe rationnel dont les fonctions symétriques des coordonnées sont rationnelles. Les n — 2 points d’intersection de la tangente en À avec la courbe forment un groupe rationnel ; il en est de même des n — 1 points de rencontre de la courbe et d’une sécante rationnelle issue de A. Cela fait bien 2n —3 points fixes et le faisceau d’ordre n —1 dont nous avons parlé est bien rationnel.
2e Démonstration : Puisque le groupe des points doubles est rationnel on peut obtenir des adjointes d’ordre nr — 2 à coefficients rationnels : elles ont d’ailleurs la multiplicité n — 2.
Soient
P(x, y) ZE 0, Q(x, y) Ps 0, R(z, y) Le 0,
les équations de 3 d’entre elles linéairement distinctes. Effectuons la transformation
ee Q
