THÉORIE D'UN AUTRE PHÉNOMÈNE

§ 430. Dans le Mémoire résumé au § 167, M. Van der Mensbrugghe tire de notre principe de la transformation spontanée des figures liquides allongées, l'explication d'un fait qui se montre dans certains cas d'étalement d'un liquide sur un autre : par exemple, comme l'a

ture de la bulle pendant que celle-ci est exposée à Péclairement intermittent des étincelles d'un appareil de Ruhmkorff. Loi*sque plusieurs bulles sont successivement soumises à Pexpérience, il arrive, on le comprend, que, pour l'une ou l'autre d'entre elles, une étincelle jaillit pendant la courte durée de la destruction de la lame ; la persistance, bien que trèsminime, de l'impression sur la rétine permet donc d'observer la bulle dans une phase du phénomène de sa rupture.

Les auteurs ont constaté ainsi, en premier lieu, que lorsqu'une bulle éclate en un point, il s'y forme simplement une ouverture, qui grandit rapidement Jusqu'à s'étendre à toute la lame ; en second lieu, que le bord de cette ouverture est garni d'un bourrelet dentelé, analogue à celui des lames de Savart, et que l'angle saillant de chaque dentelure se pi*olong6 en un âlet incurvé vers l'extérieur.

Jusqu'ici tout est parfaitement d'accord avec ma théorie et avec mon expérience : les sphérules dans lesquelles se convei*tit le bourrelet, sphérules chassées à l'extérieur par le mouvement de l'air, étirent le bourrelet, et y produisent les angles saillants, dont elles se détachent avec des effllements. Mais les auteurs ajoutent que les filets sont terminés par des ramifications, lesquelles se résolvent en gouttelettes extrêmement minimes.

Si ces ramifications étaient réelles, si les auteura n'ont pas été trompés par quelque illusion due à l'instantanéité de l'observation, le fait s'expliquerait bien difficilement ; en effet, le bourrelet ne peut, semble-t-il, présenter ainsi, en différents points de sa longueur, des angles saillants se prolongeant en filets, que s'il est étiré par de petites masses, ou sphérules, projetées à l'extérieur ; et il n'est guère admissible que ce soit chacune de ces sphérules qui se subdivise ainsi pour donner lieu aux ramifications dont il s'agit. Je suis porté à croire qu'au moment de l'observation, les sphérules étaient déjà détachées et éloignées de la bulle, et que les auteurs poi'tant surtout leur attention sur les dentelures et les filets, n'ont pas remai*qué les sphérules disséminées dans l'air. Comme, après la projection des sphéiniles, les filets qu'elles laissent derrière elles doivent se convertir eux-mêmes en sphérules excessivement petites, c'est peut-être ce dernier phénomène que les auteurs ont pris pour des ramifications qui se transforment.

Je dois dire, cependant, que les auteurs ont répété un gi*and nombre de fois l'expérîence, et qu'ils ne mentionnent d'autre variation dans l'aspect du phénomène, que celle de l'étendue de la portion de lame qui subsiste encoi*e à l'instant de l'observation.

observé M. Tomlinson (^) , une gouttelette d'huile de lavande déposée sur Teau distillée s'étale d'abord en une lame vivement colorée, puis, après quelques secondes, cette lame se subdivise en un grand nombre de filaments déliés, qui dessinent de petits polygones curvilignes dont l'ensemble rappelle l'aspect d'une fine dentelle ; or ces filaments ne tardent pas à se résoudre en séries de petites lentilles.

§431. Nos principes expliquent de même complètement un autre phénomène, savoir la constitution des veines liquides lancées par des orifices circulaires, constitution que Savart a si admirablement étudiée au point de vue expérimental. Nous allons exposer notre théorie avec détail, en la mettant constamment en parallèle avec les observations de l'illustre physicien.

Considérons une veine liquide s'écoulant librement sous l'action de la pesanteur par un orifice circulaire percé en mince paroi dans le fond horizontal d'un vase. Les molécules du liquide intérieur au vase, qui affluent de tous les côtés vers l'orifice, conservent encore, comme on sait, immédiatement après leur sortie, des directions obliques au plan de cet orifice, d'où résulte un rétrécissement rapide de la veine à partir de l'orifice jusqu'à une section horizontale que Ton désigne improprement sous le nom de section contractée. Arrivées à cette section, qui est peu éloignée de l'orifice, les molécules tendent à prendre toutes une direction verticale commune, avec la vitesse correspondante à la hauteur du liquide dans le vase, et elles sont, en outre, sollicitées dans cette même direction verticale par leur pesanteur individuelle. 11 résulte de là que, l'orifice étant supposé

(1) On the eohesion-Jlgures qf liquidé (Philos. Maoaz. A^^ Série, 1861, t. XXII, p. 249).

circulaire, la veine tend à constituer, à partir de la section contractée, un cylindre sensiblement parfait et d'une longueur quelconque ; mais cette forme est modifiée, comme on le sait encore, par l'accélération que la pesanteur imprime à la vitesse du liquide, et le diamètre de la veine, au lieu d être partout le même, va en décroissant plus ou moins à mesure qu on s éloigne de la section contractée.

Si les causes que nous venons de rappeler agissaient seules, la veine se montrerait donc simplement de plus en plus effilée à mesure qu'on la considérerait plus loin de la section contractée, sans perdre ni sa limpidité ni sa continuité. Mais il résulte de nos expériences et de nos principes, qu'une semblable figure liquide, dont la forme approche de celle d'un cylindre très-allongé, doit se transformer en une série de sphères isolées ayant ieurs centres rangés sur l'axe de la figure. A la vérité, il s'agit ici d'un liquide soumis à l'action de la pesanteur ; mais il est évident que, pendant la chute libre d'un liquide, la pesanteur ne met plus aucun obstacle au jeu des attractions moléculaires, et que celles-ci doivent alors exercer sur la masse les mêmes actions figuratrices que si cette masse était sans pesanteur et à l'état de repos; c'est ainsi, par exemple, que les gouttes de pluie prennent, dans leur chute, la forme sphérique. Seulement, pour que la conclusion précédente fût tout à fait rigoureuse, il faudrait que toutes les parties de la masse fussent animées de la inême vitesse, ce qui n'a pas lieu pour la veine; mais on comprend que, si cette différence peut apporter quelques modifications au phénomène, elle ne saurait empêcher la production de celui-ci.

Le liquide de la veine devra donc nécessairement

arriver par degrés, pendant son mouvement, à constituer une série de sphères isolées.

Mais ce liquide se renouvelant continuellement, le phénomène de la transformation doit aller aussi en se renouvelant toujours. En second lieu, chaque portion du liquide commençant à être soumise aux forces figuratrices dès qu elle fait partie du cylindre imparfait que tend à constituer la veine, c est-à-dire dès Tinstant où elle franchit la section contractée, et demeurant ensuite, pendant son trajet, sous Taction continue de ces forces, on voit que chacune des divisions de la veine doit commencer à se dessiner à partir de la section contractée, et descendre, emportée par le mouvement de translation du liquide, en se modifiant par degrés pour arriver à rétat de sphère isolée. Or il suit de là qu'à un instant donné, les divisions de la veine doivent se trouver dans une phase d'autant plus avancée de la transformation qu'on les considère à une distance plus grande de la section contractée, du moins jusqu'à celle où la transformation en sphères est complètement effectuée. De l'orifice à la distance où a lieu la séparation des masses, la veine doit évidemment être continue; mais à une distance plus grande, les portions de liquide qui passent, doivent être isolées les unes des autres.

Si donc les mouvements du liquide, tant celui de translation que celui de transformation, étaient assez lents pour qu'on pût les suivre des yeux, on verrait la veine formée de deux parties distinctes , l'une supérieure continue, l'autre inférieure discontinue. La surface de la première présenterait une suite de renflements et d'étranglements qui descendraient avec le liquide, en se renouvelant continuellement, et qui, imperceptibles à leur origine et jusqu'à une certaine distance de la section

contractée, se prononceraient de plus en plus pendant leur mouvement de translation , les renflements devenant plus saillants et les étranglements plus profonds; enfin, ces divisions de la veine arrivant Tune après l'autre, dans leur plus grand développement, à l'extrémité inférieure de la partie continue, on les verrait sen détacher, et tendre ensuite vers la forme sphérique. Or on sait, depuis les belles observations de Savart(i), que telle est, en effet, la constitution réelle de la veine.

Ajoutons que, dans la même hypothèse du ralentissement des mouvements, on verrait la séparation de chacune des masses précédée de la formation d'un filet qui se résoudrait en masses plus petites. Si les choses se passaient exactement comme dans les cylindres, ces petites masses seraient des sphérules inégales, de sorte que chaque sphère isolée serait suivie de semblables sphérules; la partie discontinue de la veine se montrerait donc composée de sphères isolées de même volume et de sphérules inégales rangées dans les intervalles des premières, les unes et les autres étant emportées par le mouvement de translation, et se renouvelant sans cesse à l'extrémité de la partie continue. Mais l'accélération de la descente allonge les divisions et, par suite, les étranglements, pendant leur trajet; dès lors, en vertu de ce qui a été exposé au § 383, les filets doivent, en génér^il, être assez épais, et les plus grosses des masses dans lesquelles ils se résolvent peuvent ne pas être trèsinférieures en diamètre aux masses principales, auquel cas la dénomination de sphérules ne leur est pas appli-

(1) Mémoire sur la constitution des veines liquides lancées par des orifees circulaires en mince paroi (Ann. de chim. et de phys. de Paris, 1833, tome LUI, page 3b7).

cable. C'est effectivement, ainsi qu'on le verra (§478), ce que l'expérience a constaté.

§ 432. Maintenant, le mouvement de translation étant trop rapide pour que les phénomènes qui se produisent dans la veine soient saisissables par l'observation directe, il doit résulter de là certaines apparences particulières. Rappelons ici que lorsqu'un cylindre liquide se résout en sphères, la vitesse avec laquelle la transformation s'effectue est accélérée, et commence par être extrêmement petite. A cause donc de cette petitesse originaire, et de la rapidité du mouvement de translation dans la veine, les effets de la transformation graduelle ne pourront devenir perceptibles qu'à une distance plus ou moins grande de la section contractée. Jusqu'à cette distance, le passage rapide des renflements et des étranglements devant l'œil ne pourra donner lieu à aucun effet sensible ; de sorte que cette portion de la veine se montrera sous la forme qu'elle affecterait si elle n'avait aucune tendance à se diviser. A partir de cette même distance, les renflements commençant à prendre un développement notable, la veine paraîtra aller en s'élargissant, jusqu'à une autre distance au delà de laquelle le diamètre se montrera à peu près constant.

Telle est, en effet, comme l'ont encore montré les observations de Savart, la forme que présente à l'observation directe une veine soustraite à toute influence étrangère.

Enfin on sait qu'à partir de l'orifice jusqu'au point où elle commence à paraître s'élargir, la veine se montre limpide, tandis qu'au delà elle paraît plus ou moins trouble; et Savart a parfaitement expliqué ces deux aspects différents, ainsi que d'autres apparences curieuses que présente la partie trouble quand on n'a pas

écarte les influences étrangères : la limpidité de la portion supérieure est due au peu de développement des renflements et des étranglements qui s y propagent, et le trouble ainsi que les autres apparences du reste de la veine, résultent du passage rapide devant Tœil, d'abord des renflements et des étranglements devenus plus prononcés, puis, plus bas, des sphères isolées et des masses plus petites interposées.

§ 433. Mais nous pouvons aller plus loin. Deux conséquences découlent immédiatement de notre explication de la constitution de la veine. En premier lieu, les divisions se transformant pendant leur descente, il est clair que l'espace parcouru par une division pendant le temps qu'elle met à effectuer une partie donnée de sa transformation, sera d'autant plus grand qu'elle descendra plus vite, ou, en d'autres termes, que la charge, c'est-à-dire la hauteur du liquide dans le vase, sera plus considérable; d'où il suit évidemment que, pour un même orifice, la longueur de la partie continue de la veine doit croître avec la charge. Or c'est ce que confirment les observations de Savart.

En second lieu, puisque la transformation d'un cylindre est d'autant plus lente que le cylindre a un plus grand diamètre, le temps qu'emploiera une division de la veine pour effectuer une même partie de sa transformation, sera d'autant plus long que la veine aura plus d'épaisseur ; d'où il suit que, si la vitesse d'écoulement ne change pas, l'espace que parcourra la division pendant ce temps, sera d'autant plus considérable que le diamètre de l'orifice sera plus grand ; par conséquent, pour une même charge, la longueur de la partie continue doit croître avec le diamètre de l'orifica, et c'est encore ce que vérifient les observations rapportées dans le Mémoire cité.

Quant aux lois qui régissent ces variations de la longueur de la partie continue, Savart déduit de ses observations, qui ont été faites en employant des veines d eau, que, pour un même orifice, cette longueur est a peu près proporti^onnelle à la racine carrée de la charge, et que, pour une même charge, elle est à peu près proportionnelle au diamètre de l'orifice.

Nous allons examiner si ces deux lois elles-mêmes découlent aussi de notre explication.

§ 434. Imaginons, pour un instant, que la pesanteur cesse d'agir sur le liquide dès que celui-ci franchit la section contractée. Alors, à partir de cette section, la vitesse de translation sera simplement celle qui est due à la charge, et qui a, comme on sait, pour valeur [/^, g désignant la pesanteur, et h la charge. Cette vitesse sera uniforme, et, par conséquent, si la veine n avait pas de tendance à se diviser, elle demeurerait exactement cylindrique sur une étendue quelconque (§ 431). Maintenant, toutes les "parties du liquide étant animées de' la même vitesse de translation, ce mouvement commun ne pourra influer sur leffet des actions figuratrices ; de sorte que, par exemple, les modifications graduelles que subira chacun des étranglements, et le temps qu'il mettra à les accomplir, seront indépendants de la vitesse de translation.

Cela posé, considérons la tranche liquide infiniment mince qui doit constituer le cercle de gorge d un étranglement, à partir de Tinstant où elle quitte la section contractée. Cette tranche descendra avec une vitesse constante, et, en même temps, son diamètre ira en diminuant, jusqu'à ce que l'étranglement auquel elle appartient se transforme en filet, et alors la tranche dont il s'agit occupera le milieu de ce filet; puis le filet se désunira

pour se convertir en sphérules. Comme nous lavons fait voir ci-dessus, le temps employé à laccomplissement de ces phénomènes, et pendant lequel la tranche liquide que nous avons considérée a parcouru la distance comprise entre la section contractée et le lieu qu'occupe le milieu du filet à Tinstant précis de la rupture, est indépendant de la vitesse de translation, et, par conséquent, si le diamètre de lorifice ne change pas, ce temps sera constant quelle que soit la charge. Or, dans un mouvement uniforme, l'espace parcouru pendant un temps déterminé étant proportionnel à la vitesse, la distance ci-dessus sera proportionnelle à i/2çh, et, par suite, à ^h. Comme nous aurons souvent à faire usage de cette même distance, nous la représenterons, pour abréger, par D. Maintenant, il est aisé de comprendre que, dans notre veine, la longueur de la partie continue ne diffère pas sensiblement de la distance D. En eifet, la partie continue se termine à l'endroit précis où vient se produire, dans chaque filet, le plus élevé des points de rupture de celui-ci : car, à l'instant où la rupture s'effectue, tout ce qail y a au-dessus du point dont il s'agit se trouve dans des phases moins avancées de la transformation (§ 431), et possède, par conséquent, encore la continuité, tandis que tout ce qu'il y a au-dessous de ce même point est nécessairement déjà discontinu. Ainsi, d'une part, la partie continue de la veine commence à l'orifice et se termine à l'endroit où vient se produire le point de rupture le plus élevé de chaque filet; et, d'autre part, la distance D commence à la section contractée et se termine au point correspondant au milieu de la longueur de chacun des filets à l'instant de leur rupture. La partie continue prend donc son origine un peu plus haut, mais aussi se termine un peu moins bas, que la distance D ;

la différence des origines de ces deux grandeurs et celle de leurs terminaisons doivent, par conséquent, se compenser en partie; et comme ces différences sont toutes deux fort petites, l'excès de Tune sur l'autre sera, à plus forte raison, très-minime, de sorte que les deux grandeurs auxquelles elles se rapportent pourront, ainsi que je l'ai dit, être regardées sans erreur sensible comme égales entre elles.

En vertu de cette égalité, la longueur de la partie continue de la veine que nous considérons suivra donc sensiblement la même loi que la distance D, c'est-à-dire qu elle sera à fort peu près proportionnelle à j/âT

Ainsi, dans le cas imaginaire d'une vitesse de translation uniforme, nous retrouvons la première des lois données par Savart. Or il est clair que, dans une veine réelle, la vitesse s'écartera d'autant moins de l'uniformité que la charge sera plus considérable; d'où l'on peut inférer que, pour des charges suflBsamment grandes, la longueur de la partie continue de la veine réelle devra encore suivre sensiblement cette loi. C'est d'ailleurs ce que nous allons démontrer d'une manière rigoureuse.

§ 435. Plaçons-nous donc dans le cas réel, c'est-à-dire considérons une veine soumise à l'action de la pesanteur, et dans laquelle, par conséquent, le mouvement de translation est accéléré. Alors, la vitesse que possède, après un temps t quelconque, une tranche horizontale du liquide emportée par le mouvement de translation, aura pour valeur i/2çh -*- çt, le premier terme représentant la

portion de la vitesse due à la charge, le second la portion due à l'action de la pesanteur sur la veine, et i étant

compté à partir du moment où la tranche liquide franchit la section contractée. Rappelons ici qu'en vertu de l'accélération de la vitesse, la veine, si elle ne se divisait

point, irait en samincissant indéfiniment de haut en bas (§ 431).

Cela posé, concevons que, sous la même charge et par un autre orifice de même diamètre, s'écoule, en même temps que la veine réelle dont il s'agit, une autre veine de même liquide placée dans la condition imaginaire du paragraphe précédent. Soit 9 le temps employé dans cette seconde veine à parcourir la distance que nous avons désignée par D, c est-à-dire celui qui se trouve compris entre l'instant où la tranche liquide qui doit constituer le cercle de gorge d'un étranglement passe à la section contractée, et l'instant de la rupture du filet dans lequel cet étranglement s'est transformé. Faisons, dans l'expression de la vitesse relative à la première veine, ^ = 9, ce qui donne, pour cette vitesse après le temps 9, la valeur ^^ h- ^9 ; en d'autres termes, considérons la vitesse d'une tranche liquide appartenant à la veine réelle, après le temps nécessaire pour qu'une tranche appartenant à la veine imaginaire ait parcouru la distance D. D'après ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent, si l'orifice demeure le même, ce temps est constant, quelle que soit la charge, en sorte que, dans l'expression ci-dessus, le terme ^9 reste invariable quand on fait varier A. Nous pourrons donc, quelle que soit la valeur de 9, supposer la charge h assez considérable pour que le terme j/^ soit très-grand relativement au terme ^9, et que ce dernier puisse, par conséquent, être négligé sans erreur sensible. Pour une valeur de h qui réalisera cette condition, et, à plus forte raison, pour toutes les valeurs plus grandes encore, la vitesse d'une tranche de la veine réelle pendant le temps 9 pourra être regardée comme constante et égale à celle d'une tranche de la veine imaginaire ; de sorte que,

dans tout lespace parcouru par la première pendant ce même temps à partir de la section contractée, la veine réelle, si elle ne se divisait pas, diminuerait fort peu en diamètre, et pourrait être regardée comme identique avec la veine imaginaire supposée également sans divisions.

Maintenant, il suit nécessairement de cette quasiidentité, que, pendant le temps 9, tout se passera sensiblement de la même manière dans les deux veines ; par conséquent, le temps 0 sera aussi à fort peu près celui qu'emploiera, dans la veine réelle, la tranche liquide correspondante au cercle de gorge d un étranglement, pour accomplir les modifications que nous avons considérées, et l'espace qu elle parcourra pendant ces modifications, pourra être regardé comme égal à la distance D relative à la veine imaginaire.

Or, puisque la partie continue de la veine réelle se termine un peu moins bas que cet espace, et se trouve, par suite, comprise dans la même portion de la veine, il suit encore de l'identité approchée ci-dessus, que cette partie continue différera à peine en longueur de celle de la veine imaginaire, et que, par conséquent, à partir de la moindre des charges considérées plus haut, les longueurs des parties continues des deux veines devront être régies à fort peu près par la même loi.

Nous arrivons donc enfin à cette conclusion, que, pour un même oririce, et à partir d'une charge inférieure suflBsamment grande, la longueur de la partie continue de la veine réelle doit être sensiblement proportionnelle à la racine carrée de la charge.

En conséquence de la démonstration précédente, la charge inférieure dont il s'agit est celle sous laquelle le mouvement de translation du liquide commence à de-

meurer presque uniforme dans toute la partie continue de la veine réelle.

Ainsi, sous la condition d'une charge inférieure suffisante pour produire cette uniformité approchée, condition toujours réalisable, la loi indiquée par Savart comme établissant la relation entre la longueur de la partie continue et la charge, découle d'une manière nécessaire des propriétés des cylindres liquides.

Pour découvrir si cette loi doit encore être vraie lorsqu'on- emploie des charges plus faibles, il faut partir d'autres considérations; mais nous voyons dès à présent que si, dans ce dernier cas, la loi est différente, elle doit du moins nécessairement converger vers la proportionnalité dont il s'agit à mesure qu'on augmente la charge.

Remarquons ici que, pour un liquide donné, la charge sous laquelle la veine commence à se trouver dans la condition que nous avons déterminée, doit être d'autant moins considérable que le diamètre de lorifice est plus petit. En effet, puisque, toutes choses égales d'ailleurs, la transformation d'un cylindre liquide s'effectue d'autant plus rapidement que le diamètre du cylindre est moindre, il en résulte que la valeur de 9 diminuera avec le diamètre de l'orifice, et que, par conséquent, plus celui-ci sera petit, moins la valeur de h devra être considérable pour que, dans l'expression |/^a -♦- ^9 posée au commencement de ce paragraphe, le terme ^9 soit négligeable à côté du terme ^2gh^ et, par suite, pour que la veine se trouve dans la condition dont il s'agit.

En outre, comme le temps 9 varie avec la nature du liquide, il en sera nécessairement de même de la charge que nous considérons.

§ 436. Occupons-nous actuellement de la seconde loi, c'est-à-dire de celle qui établit la proportionnalité appro-

chée entre la longueur de la partie continue de la veine et le diamètre de lorifice lorsque la charge demeure la même.

Reprenons, pour un instant, le cas imaginaire d'un mouvement de translation absolument uniforme. Alors la veine constituera, abstraction faite de ses divisions, un cylindre exact à partir de la section contractée, cylindre qui sera formé dans lair, et libre sur toute sa surface convexe ; en outre, le mouvement de translation du liquide étant sans influence sur l'eff^et des actions figuratrices, et aucune cause étrangère ne tendant à modifier la longueur des divisions, celles-ci prendront nécessairement leur longueur normale. On voit donc que, sauf la non-simultanéité de la formation de ses divisions, notre veine imaginaire se trouvera précisément dans les mêmes conditions que les cylindres auxquels se rapportent les lois récapitulées dans le § 384; par conséquent, si nous considérons en particulier l'un des étranglements de cette veine, il devra passer par les mêmes formes, et accomplir ses modifications dans le même temps, que lun quelconque des étranglements qui résulteraient de la transformation ,d un cylindre de même diamètre que la veine, formé du même liquide, et placé dans les conditions dont il s'agit.

Maintenant, le temps compris entre l'origine de la transformation et l'instant de la rupture des filets, est, d'après l'une de nos lois, exactement ou sensiblement proportionnel au diamètre du cylindre; et il est clair que cette loi s'applique tout aussi bien à l'un des étranglements en particulier, ou même simplement à son cercle de gorge, qu'à l'ensemble de la figure. Conséquemment, dans notre veine imaginaire, le temps qu'emploiera le cercle de gorge de chacun des étranglements

pour arriver à Finstant de la rupture du filet, sera exactement ou sensiblement proportionnel au diamètre qu'aurait la veine s il ne s'y produisait pas de divisions, c'est-à-dire à celui de la section contractée. Or la forme cylindrique de la veine supposée sans divisions ne commençant qu'à la section contractée, ce n'est aussi qu'à partir de là que commencent les actions figuratrices provenant de l'instabilité de cette même forme cylindrique. Il faut donc admettre que la tranche liquide qui doit constituer le cercle de gorge d'un étranglement, ne commence à éprouver les modifications qui résultent de la transformation, qu'à partir de l'instant où elle franchit la section contractée; ainsi, le temps que nous considérons prend naissance à ce même instant.

Mais ce temps compris entre l'instant où passe à la section contractée la tranche liquide qui doit constituer le cercle de gorge d'un étranglement et l'instant de la rupture du filet dans lequel cet étranglement se convertit, est celui que nous avons désigné par e, et pendant lequel la tranche liquide parcourt la distance D; dans notre veine imaginaire, le temps 9 sera donc proportionnel au diamètre de la section contractée. D'un autre côté, le mouvement de translation étant supposé uniforme, la distance D sera proportionnelle au temps 0 employé à la parcourir. Donc, en vertu de ces deux lois, la distance D sera proportionnelle au diamètre de la section contractée. Enfin , puisque la distance D ne diffère pas sensiblement de la longueur de la partie continue de la veine, cette longueur sera également proportionnelle au diamètre de la section contractée.

Maintenant on sait que, dans une veine liquide, le diamètre de la section contractée peut être considéré comme proportionnel à celui de l'orifice quand ce dernier

chée entre la longueur de la partie continue de la veine et le diamètre de lorifice lorsque la charge demeure la même.

Reprenons, pour un instant, le cas imaginaire d'un mouvement de translation absolument uniforme. Alors la veine constituera, abstraction faite de ses divisions, un cylindre exact à partir de la section contractée, cylindre qui sera formé dans lair, et libre sur toute sa surface convexe ; en outre, le mouvement de translation du liquide étant sans influence sur l'effet des actions figuratrices, et aucune cause étrangère ne tendant à modifier la longueur des divisions, celles-ci prendront nécessairement leur longueur normale. On voit donc que, sauf la non-simultanéité de la formation de ses divisions, notre veine imaginaire se trouvera précisément dans les mêmes conditions que les cylindres auxquels se rapportent les lois récapitulées dans le § 384 ; par conséquent, si nous considérons en particulier Tun des étranglements de cette veine, il devra passer par les mêmes formes, et accomplir ses modifications dans le même temps, que lun quelconque des étranglements qui résulteraient de la transformation d'un cylindre de même diamètre que la veine, formé du même liquide, et placé dans les conditions dont il s agit.

Maintenant, le temps compris entre l'origine de la transformation et l'instant de la rupture des filets, est, d'après l'une de nos lois, exactement ou sensiblement proportionnel au diamètre du cylindre ; et il est clair que cette loi s'applique tout aussi bien à l'un des étranglements en particulier, ou même simplement à son cercle de gorge, qu'à l'ensemble de la figure. Conséquemment, dans notre veine imaginaire, le temps qu'emploiera le cercle de gorge de chacun des étranglements

pour arriver à Tinstant de la rupture du filet, sera exactement ou sensiblement proportionnel au diamètre qu'aurait la veine s il ne sy produisait pas de divisions, c est-à-dire à celui de la section contractée. Or la forme cylindrique de la veine supposée sans divisions ne commençant qu à la section contractée, ce n est aussi qu'à partir de là que commencent les actions figuratrices provenant de Tinstabilité de cette même forme cylindrique. Il faut donc admettre que la tranche liquide qui doit constituer le cercle de gorge d'un étranglement, ne commence à éprouver les modifications qui résultent de la transformation, qu'à partir de l'instant où elle franchit la section contractée; ainsi, le temps que nous considérons prend naissance à ce même instant.

Mais ce temps compris entre l'instant où passe à la section contractée la tranche liquide qui doit constituer le cercle de gorge d'un étranglement et l'instant de la rupture du filet dans lequel cet étranglement se convertit, est celui que nous avons désigné par e, et pendant lequel la tranche liquide parcourt la distance D; dans notre veine imaginaire, le temps 9 sera donc proportionnel au diamètre de la section contractée. D'un autre côté, le mouvement de translation étant supposé uniforme, la distance D sera proportionnelle au temps 6 employé à la parcourir. Donc, en vertu de ces deux lois, la distance D sera proportionnelle au diamètre de la section contractée. Enfin , puisque la distance D ne difi*ère pas sensiblement de la longueur de la partie continue de la veine, cette longueur sera également proportionnelle au diamètre de la section contractée.

Maintenant on sait que, dans une veine liquide, le diamètre de la section contractée peut être considéré comme proportionnel à celui de l'orifice quand ce dernier

surpasse dix millimètres, et qu'au-dessous de cette limite, la proportionnalité ne s altère dune manière bien notable, que lorsque le diamètre de lorifice devient inférieur à un millimètre! ^). D'ailleurs, comme cette altération est attribuée à Tinfluence qu'exerce l'épaisseur, quoique très-petite, des bords de l'orifice, il est probable qu'on la rendra moindre encore, en employant, ainsi que l'a fait Savart, des orifices évasés extérieurement, orifices qui peuvent être taillés de manière à avoir leurs bords fort tranchants. Ainsi, avec des orifices convenablement travaillés, on pourra sans doute, à partir d'un diamètre égal au plus à un millimètre, admettre, sans erreur notable, que le diamètre de la section contractée est proportionnel à celui de l'orifice.

D'après cela, puisque la longueur de la partie continue de notre veine imaginaire est proportionnelle au diamètre de la section contractée, elle sera également proportionnelle au diamètre de l'orifice, du moins à partir d'une valeur inférieure de ce dernier, qui ne soit pas de beaucoup au-dessous d'un millimètre.

Si actuellement de la veine imaginaire nous passons à la veine réelle, nous n'avons qu'à supposer à la charge constante une valeur assez considérable pour que, dans toute l'étendue que nous assignerons aux variations du diamètre de l'orifice, la condition posée dans le paragraphe précédent soit satisfaite, de manière que, pour chacune des valeurs données à ce diamètre, la partie continue de la veine réelle ait sensiblement la même

(1) En effet, on déduit des résultats obtenus par Hachette (Ann, dechim, et de phys, de Paris ^ t. III, p. 78), que, pour un diamètre d'oriflce égal ou supérieur à 10"", le rapport entre le diamètre de la section contractée et celui de Poriflce est, en moyenne, 0,78; qu'en passant de 10"" à l"", le rapport n'augmente que jusqu'à 0,83; et enfin, que, pour un diamètre égal à 0"",55, le rapport devient 0,88.

longueur que celle de la veine imaginaire correspondante; alors la loi qui régit cette longueur pourra être regardée comme la même dans les deux espèces de veines. D'après la première des doux remarques qui terminent le paragraphe précédent, on voit que si la charge commune remplit la condition dont il s agit à l'égard de la plus grande des valeurs que Ion assigne au diamètre de lorifice, elle la remplira, à plus forte raison, à Tégard de toutes les autres.

Nous sommes donc conduits à cette conclusion définitive : si, pour une même charge, on donne au diamètre de lorifice des valeurs croissantes, depuis une valeur peu inférieure à un millimètre jusqu'à une autre valeur déterminée quelconque, et si la charge commune est suffisamment grande, la longueur de la partie continue de la veine sera proportionnelle au diamètre de lorifice.

Ainsi la seconde des lois données par Savart découle encore, d'une manière nécessaire, des propriétés des cylindres liquides ; et l'on voit, de même, que si, dans le cas d'une charge commune peu considérable, la loi se modifie, elle doit converger vers celle de Savart à mesure qu'on donnera à cette charge une valeur plus grande.

§ 437. Plaçons>-nous maintenant en deçà de la limite à partir de laquelle la veine réelle peut être assimilée, dans sa partie continue, à la veine imaginaire correspondante ; en d'autres termes, supposons la charge assez peu considérable ou le diamètre de l'orifice assez grand, pour que, dans l'étendue de la partie continue de la veine réelle, le mouvement de translation ne soit plus sensiblement uniforme. Alors aussi la veine tendra à s'amincir du haut en bas, et cet amincissement deviendra visible sur la portion limpide. La question des lois

qui doivent, dans ces circonstances, régir la longueur de la partie continue, est assez compliquée; nous allons cependant tâcher de 1 eclaircir.

Considérons une division de la veine à Tinstant où son extrémité supérieure passe à la section contractée. Les deux tranches liquides entre lesquelles la division dont il s'agit se trouve comprise, partent de cette position avec des vitesses différentes : car, dans le petit trajet qua parcouru la tranche inférieure, sa vitesse s est déjà un peu accrue par Faction de la pesanteur. Or il suit de cet excès de vitesse et de laccélération du mouvement, que les deux tranches iront en s éloignant de plus en plus Tune de l'autre à mesure qu elles descendront, ou, en dautres termes, que la portion de liquide comprise entre elles s'allongera graduellement pendant son mouvement de translation. Par conséquent, ainsi que je lai déjà indiqué au § 431, chacune des divisions, emportée avec la vitesse accélérée du liquide, augmentera graduellement en longueur jusqu'à l'instant de la rupture du filet, et conservera pendant sa descente un volume constant.

Dans ce cas, il est aisé de reconnaître deux genres d'influences, agissant en sens opposés sur la loi qui régit la longueur de la partie continue quand on fait varier la charge.

D'abord rappelons-nous que si le mouvement de translation était uniforme, la proportionnalité à la racine carrée de la charge serait toujours satisfaite, même à partir de charges très-faibles (§ 434). Maintenant, si les divisions descendent avec la vitesse accélérée du liquide, et si l'on suppose qu'il ne résulte de là aucun changement dans la durée de leur transformation, elles parcourront pendant cette durée un espace plus considérable.

DBS VEINES LIQUIDES. 3S7

en sorte que la partie continue sera plus longue, que si l'accélération n'existait pas, et l'excès, comparé à la longueur qu'aurait la partie continue dans le cas du mouvement uniforme, sera notable sous une charge faible ou modérée, tandis qu'il sera négligeable sous une charge très-forte, celle-ci rendant le mouvement de translation dans la partie continue sensiblement uniforme. D'après cela, quand on passera de la première de ces deux charges à la seconde, le rapport des longueurs des parties continues qui leur correspondent respectivement sera plus rapproché de l'unité qu'il ne le serait si l'accélération était nulle, c'est-à-dire plus rapproché de l'unité que celui des racines carrées des charges.

Mais, ainsi qu'on l'a vu plus haut, les divisions ne peuvent descendre d'un mouvement accéléré sans s'allonger en même temps, et de là naît, nous le savons (§§381 et 407), une cause de diminution dans la durée de la transformation. Cette deuxième influence, savoir la diminution dans la durée de la transformation, diminution qui doit être d'autant plus prononcée que la vitesse de translation approche moins de l'uniformité, ou que la charge est plus faible, agit évidemment pour rendre la loi plus rapide que la proportionnalité à la racine carrée de la charge, et elle est conséquemment opposée à la première.

§ 438. En résumé donc, pour des charges moins considérables que celles qui rendraient le mouvement de translation du liquide sensiblement uniforme dans la partie continue de la veine, deux genres opposés d'influences agissent sur la loi suivant laquelle la longueur de cette partie continue varie avec la charge, le premier tendant à faire croître cette même longueur moins rapi-

dément que la racine carrée de la charge, et le second tendant, au contraire, à la faire croître plus rapidement. Or, en vertu de leur opposition, ces deux genres d'influences se neutraliseront mutuellement en plus ou moins grande proportion ; mais on doit regarder comme trèspeu vraisemblable que la neutralisation soit complète ; ce qui nous conduit à cette première conclusion, que, sous des charges suflfcamment faibles, la loi dont nous noua occupons s'écartera très-probablement de celle de Savart; seulement il serait impossible de décider a priori dans quel sens.

En deuxième lieu, les influences que nous avons signalées ayant leur cause dans l'accélération du mouvement du liquide, il est clair que l'action de chacune d'elles, considérée isolément, décroît à mesure que l'on augmente la charge, et devient négligeable à partir de la première des charges sous lesquelles le mouvement du liquide devient sensiblement uniforme dans la partie continue. Or ce qui reste de la neutralisation mutuelle des deux actions opposées est nécessairement moindre, et probablement de beaucoup, que chacune d'elles en particulier, d'où il est à croire que cet excès deviendra négligeable à partir d'une charge beaucoup moins grande. Nous arrivons donc à cette seconde conclusion, que la première loi de Savart commencera sans doute à être vraie à partir d'une charge qui laissera encore au mouvement de translation du liquide dans la partie continue une accélération très-notable.

Enfin, ce résultat combiné avec un principe que nous avons établi en terminant le § 435, nous fournit une troisième conclusion, savoir que la cliarge à partir de laquelle la veine commence en réalité à satisfaire à la première loi de Savart, sera d'autant plus faible que

Torifice sera plus petit : car il est évident qu en passant d un orifice à un autre, cette charge doit varier dans le» même sens que celle à partir de laquelle laccélération du mouvement du liquide devient négligeable. Mais je dis, de plus, que la variation dont il sagit aura trèsprobablement lieu dans un rapport beaucoup plus grand que celui des diamètres des orifices. En effet, soit h! la charge sous laquelle commence, pour un orifice et un liquide donnés, l'uniformité approchée du mouvement de translation, et G' la valeur correspondante de 9. La charge K devra être telle, comme nous lavons vu, que ^2gK* soit très-considérable relativement à yG', ou, en

d'autres termes, que le rapport ^, soit très-grand.

Prenons maintenant un orifice d'un diamètre moindre, et désignons par K' la charge qui remplit, à l'égard de ce second orifice, la même condition que h! à l'égard du premier; soit aussi G" ce que devient 9 pour le nouvel orifice. Si nous voulons que, dans la partie continue de la veine qui s'écoule par celui-ci, le mouvement du liquide ait le même degré d'uniformité que dans la partie continue de la précédente, nous devrons évidemment poser

ce qui donne

I/à" 9" et, par conséquent,

h" "^ 9"« • Mais le temps G est proportionnel au diamètre de la section contractée, et, par suite, à celui de l'orifice

(§ 436} ; donc, au rapport r;;^, on peut substituer celui des

carrés des diamètres des deux orifices; doii il résulte qu en passant d'un orifice déterminé à un orifice moindre, la charge que nous considérons décroîtra comme le carré du diamètre de lorifice. Or on doit regarder comme bien probable que la charge beaucoup plus faible à partir de laquelle la loi de Savart commence à se réaliser, décroîtra dune manière analogue, c est-à-dire dans un rapport de beaucoup supérieur à celui des diamètres.

§ 439. Passons à l'autre loi, cest-à-dire à celle qui régit la longueur de la partie continue quand on fait varier le diamètre de lorifice. Je dis, en premier lieu, que cette loi coïncidera avec la seconde de celles de Savart, lorsqu'on donnera à la charge commune la valeur à partir de laquelle la veine sortant par le plus grand des orifices employés commencerait en réalité à satisfaire à la première de ces lois.

En efitet, remarquons d'abord que, sous la charge dont il s'agit, charge que nous désignerons par A,, les veines sortant par tous les orifices moindres se trouveront, à plus forte raison, dans les conditions effectives de la première loi : c'est ce qui résulte de la troisième conclusion du paragraphe précédent. Par conséquent, si nous substituons, pour un instant, à cette charge A, une charge assez considérable pour rendre la vitesse du liquide sensiblement uniforme dans toutes les parties continues, et si nous repassons de cette seconde charge à la précédente, les longueurs respectives des parties continues décroîtront toutes dans un même rapport, savoir dans celui des racines carrées des deux charges. Or, sous la plus grande de celles-ci, les longueurs dont il s'agit étaient ontro ellos comme les diamètres des

orifices correspondants (§ 436) ; donc il en sera encore de même sous la charge A^, et, par conséquent, sous cette charge, la seconde loi de Savart sera satisfaite.

En deuxième lieu, je dis que sous une charge inférieure à A,, il nen sera plus ainsi. Pour le faire voir, soit h^ cette nouvelle charge, et désignons par h^ la charge qui remplit, à 1 égard de la veine sortant par le plus petit orifice, le même rôle que remplit A, à 1 égard de celle qui sort par le plus grand. Rappelons-nous que h^ est inférieure à A,, et supposons A, comprise entre ces deux dernières. Alors, par conséquent, sous les charges h^ et A^, la veine sortant par le plus petit orifice se trouvera encore dans les conditions effectives de la première loi de Savart, tandis que, pour la veine qui sort par le plus grand orifice, ces conditions ne commencent qu'à partir de A, ; si donc nous passons de . h^ à h y la partie continue de la première veine décroîtra dans le rapport des racines carrées de ces deux charges ; mais celle de la dernière veine décroîtra dans un rapport différent. Or, sous la charge A^, ces deux longueurs étaient entre elles comme les diamètres des orifices correspondants ; donc, sous la charge A„ elles se trouveront dans un autre rapport, et, par conséquent, la seconde loi de Savart ne sera plus satisfaite, du moins quant à ces deux veines extrêmes de la série comparées entre elles.

De tout cela résultent ces nouvelles conclusions : sous une charge commune suffisamment faible, la proportionnalité entre la longueur de la partie continue et le diamètre de lorifice n'a plus lieu dans l'étendue totale que l'on assigne aux variations de ce diamètre; mais elle commence à se manifester lorsqu'on donne à la charge commune la valeur pour laquelle la veine sortant par le

plus grand des orifices commence à se trouver dans les conditions effectives de la première loi de Savart.

Or nous allons voir que ces conclusions, ainsi que celles du paragraphe précédent, sont d'accord avec les résultats de lexpérience.

§ 440. Savart a fait, sur des veines d eau soustraites à toute action étrangère, deux séries d'observations, l'une avec un orifice de six millimètres de diamètre, et l'autre avec un orifice de trois millimètres ; les charges successives étaient les mêmes dans les deux séries. Les deux tableaux ci-dessous reproduisent les résultats obtenus, c'est-à-dire les longueurs de la partie continue correspondantes aux charges successives ; ces longueurs ainsi que les charges sont exprimées en centimètres. J'ai placé, dans chaque tableau, une troisième colonne renfermant, en regard de chacune des longueurs de la partie continue, le rapport de celle-ci à la racine carrée de la charge correspondante.

DIAMÈTRB DE L*ORIPICE, 6"»™.

DIAMÈTRE DE L'ORIFICB, 3>^.

CHABGE8.