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Pour une surface de courbure sphérique convexe, si Ion désiçne par d le diamètre de là sphère à laquelle appartient cette surface, lexpression ci-dessus devient :

et, pour une surface sphérique de courbure concave appartenant à une sphère du même diamètre, on aura :

Ainsi, dans le cas de la surface convexe, la pression totale est la somme de deux forces agissant dans le même sens, forces dont lune désignée par P est la pression

qu exercerait une surface plane, et dont lautre représentée

par — est laction qui dépend de la courbure. Au con-

contraire, dans le cas de la surface concave, la pression totale est la différence entre deux forces agissant en sens opposés, et qui sont encore lune Faction P d'une surface

2A plane, et l'autre -j- qui dépend de la courbure. On voit

(1) Phaos. Magat.t 1845, vol. XXVI, page 541.

par là que la quantité -r qui représente, comme nous

lavons montré ci-dessus, la pression exercée par une lame sphérique sur lair qu elle emprisonne, est égale au double de l'action qui provient de la courbure de Tune ou de lautre surface de la lame.

Maintenant, lorsqu'un liquide s'élève dans un tube capillaire et que le diamètre de celui-ci est suffisamment petit, on sait que la surface qui termine la colonne soulevée ne diffère pas sensiblement d'une demi-sphère concave, dont le diamètre est par conséquent égal à celui du tube. Rappelons, en outre, une partie des raisonnements par lesquels on arrive, dans la théorie de l'action capillaire, à la loi qui lie la hauteur de la colonne soulevée au diamètre du tube. Supposons un canal excessivement délié partant du point le plus bas de la surface hémisphérique dont il s'agit, descendant verticalement jusqu'au-dessous de l'orifice inférieur du tube, se recourbant ensuite horizontalement, et enfin se relevant pour aboutir verticalement à un point de la surface plane du liquide extérieur au tube ; les pressions correspondantes aux deux orifices de ce petit canal

seront, dune part, P, et, de lautre, P — -y, en

désignant par l le diamètre de la demi-sphère concave, ou, ce qui revient au même, celui du tube. Or les deux forces P se détruisant mutuellement, il ne reste

2A que la force -r , qui ayant un signe contraire à

celui de P, agit conséquemment de bas en haut au point inférieur de l'hémisphère concave, et c'est elle qui soutient le poids du filet moléculaire contenu dans la première branche du petit canal entre ce

même point et un point situé à la hauteur du niveau extérieur.

Cela posé, remarquons que la quantité -r- est Faction

qui provient de la courbure de la surface concave. Le

4A double de cette quantité, ou -r-, exprimera donc la pression qu exercerait sur lair contenu une sphère laminaire ou bulle creuse du diamètre 3 et formée du même liquide. Il résulte de là que cette pression constitue une force capable de soutenir le liquide à une hauteur double de celle à laquelle il s élève dans le tube capillaire, et que, par conséquent, elle ferait équilibre à la pression d une colonne du même liquide ayant cette hauteur double. Supposons, pour fixer les idées, i égal à un millimètre, et désignons par 7t la hauteur à laquelle le liquide s arrête dans un tube de ce diamètre ; nous aurons ce nouveau résultat, que la pression exercée, sur l'air contenu, par une bulle creuse formée d'un liquide donné et ayant 1mm ^Q diamètre, ferait équilibre à celle qu'exercerait une colonne de ce liquide d'une hauteur égale à 2h.

Mais, la pression exercée par une bulle étant en raison inverse du diamètre de celle-ci, il s'ensuit que la colonne liquide qui ferait équilibre à la pression exercée par une bulle d'un diamètre quelconque d, aura une hauteur

égale à — •

Il semble d'abord que cette dernière expression devrait s'appliquer également bien aux liquides qui s'abaissent dans les tubes capillaires, h désignant alors cet abaissement, toujours dans un tube de l"""* de diamètre; mais il n'en est pas tout à fait ainsi, car cela exigerait, comme on le voit aisément par la nature des raisonnements qui

précèdent, que la surface qui termine la colonne déprimée dans le tube capillaire fût sensiblement un hémisphère convexe; or on sait que, dans le cas du mercure, cette surface est moins courbe : d après les observations de M. Bède(0, sa hauteur nest qu'environ la moitié du rayon du tube ; d où il suit que l'évaluation de la pression donnée par notre formule serait trop petite à l'égard de semblables liquides. On pourra, du reste, la considérer comme une première approximation.

§ 117. Prenons pour mesure de la pression exercée par une bulle, la hauteur de la colonne d'eau à laquelle elle ferait équilibre. Alors, si p désigne la densité du liquide dont est formée la bulle, celle de l'eau étant 1 , les hauteurs des colonnes d'eau et du liquide dont il s'agit qui feraient équilibre à la même pression seront entre elles dans le rapport inverse des densités, et consé-

quemment, si la hauteur de la seconde est -^ , celle de

la première sera -~ . Ainsi en désignant par jp la

pression exercée par une sphère laminaire sur l'air qu'elle emprisonne, nous obtenons en définitive :

p étant, comme nous l'avons vu, la densité du liquide qui constitue la lame; h la hauteur à laquelle ce liquide s'élève dans un tube capillaire de 1°*°* de diamètre, et d le diamètre de la bulle.

Si, par exemple, la bulle est formée d'eau pure, on a p = 1, et, d'après les mesures prises par les physiciens, on a, à fort peu près, ^=30™"* ; la formule ci-dessus don-

(1) Mémoires de l'Acad, de Belgique^ tome XXV des Mémoires couronnés et des Mémoires des savants étrangers.

nera donc, dans ce cas, ^ =— . Si Ton pouvait former

une bulle deau pure d'un décimètre, ou 100"*™, de diamètre, la pression quelle exercerait serait conséquemment égale à O'^^jô, ou, en d autres termes, ferait équilibre à la pression d'une colonne d eau de O'^^jô de hauteur; la pression qu'exercerait une bulle du même liquide dun centimètre, ou 10"""*, de diamètre, ferait équilibre à celle d'une colonne d'eau de 6"™.

Pour le mercure, on a /? = 13,59, et, d'après le

mémoire de M. Bède, à peu près h = 10"*"*; la formule