PP
or c'est là précisément (§ 173) la valeur du rayon ds de la troisième cloison.
De tout cela il résulte donc, comme nous nous étions proposé de le démontrer, que les centres des trois cloisons sont en ligne droite, que les bases de ces trois cloisons aboutissent à un même point, enfin que les rayons de ces bases partant du point dont il s'agit font entre eux
des angles de 60% et qu ainsi ces mêmes bases se joignent sous des angles de 120'.
Maintenant, pour que nous puissions considérer les trois cloisons comme constituant réellement des portions de sphères, il reste encore à établir que ces trois portions se coupent suivant un arc unique , or c est ce qui suit évidemment de ce que les centres /J rf, y de ces trois sphères sont en ligne droite, et de ce que ces mêmes sphères ont un point commun en o.
Ainsi toutes les conditions théoriques sont satisfaites par trois cloisons de courbure sphérique disposées, avec les trois calottes, de manière à former un système ayant pour base celle que Ion trace par la construction du paragraphe précédent; on doit donc regarder comme extrêmement probable que le système prendra réellement cette forme.
§ 179. Cest, en effet, ce que j'ai vérifié par lexpérience, en employant le moyen décrit plus haut (§ 175), c'est-à-dire que Ion a tracé en traits larges sur un papier, par la méthode indiquée, la base d'un système de trois hémisphères avec leurs cloisons, puis que Ion a placé par-dessus la plaque de verre humectée de liquide glycérique, et enfin que Ton a déposé sur celle-ci, au-dessus des trois portions de circonférences, trois bulles d'abord un peu trop petites, qu'on a successivement augmentées par la petite manœuvre mentionnée, en faisant en même temps glisser, quand cela était nécessaire, la plaque de verre sur le papier. Or la base du système laminaire ainsi réalisé s'est encore superposée parfaitement au dessin.
Les constructions graphiques que j'ai données dans ce qui précède pour les bases des systèmes de calottes sphériques supposent implicitement la loi de la raison
inverse de la pression au diamètre ; la coïncidence exacte des bases des systèmes réalises avec les bases tracées fournit donc une vérification nouvelle de cette loi, à ajouter à la vérification directe obtenue dans le § 121. C'est aux expériences actuelles que j'ai fait allusion dans le paragraphe que je viens de citer. Ces mêmes expériences confirment également, du moins à l'égard des lames de courbure sphérique, l'indépendance entre la tension et la courbure (§ 159).
§ 180. Si l'on imagine qu'une quatrième calotte sphérique vienne s'accoler au système des trois précédentes, on pourra concevoir deux dispositions différentes de l'ensemble, à part, bien entendu, celle où la quatrième calotte se placerait de manière à ne s'unir qu'à une seule
Fig. 68.
des autres. L'une de ces dispositions contiendrait quatre cloisons se joignant par une seule arête, et l'autre en contiendrait cinq se joignant par deux arêtes. Pour simplifier la question et les constructions graphiques, je
supposerai les quatre calottes égales en diamètre, auquel cas toutes les cloisons seront évidemment planes.
Alors, on peut admettre, en premier lieu, que les quatre calottes s'unissent de façon que leurs centres soient placés comme les quatre sommets d un carré, ce qui donnera le système dont la base est représentée ^.68, où il y a quatre cloisons aboutissant à une même arête sous des angles droits; ce système est évidemment un système d'équilibre, puisque tout y est symétrique.
On peut admettre, en second lieu, que, trois calottes s étant d'abord unies, la quatrième s'unisse à deux d'entre elles; dans cet arrangement, les quatre centres seront aux sommets d'un losange, et l'on aura le système dont la base est représentée fig, 69, où il y a cinq cloisons.
Fig. 69.
Ce système est évidemment aussi, à cause de sa symétrie, un système d'équilibre; mais ici, à une même arête liquide n'aboutissent plus que trois cloisons, faisant entre elles des angles de 120.
Or si Ton essaie de réaliser sur la plaque de verre le premier de ces deux systèmes, on n'y parvient pas, ou, s'il se produit, ce n'est que pendant un instant inappréciable, et pour passer rapidement au second. Quant à ce dernier, on l'obtient directement sans aucune difficulté, et il persiste.
On doit conclure de là que, dans le premier système, l'équilibre est instable, et ainsi il devient probable que quatre cloisons aboutissant à une même arête ne peuvent coexister.
Remarquons d'ailleurs que, dans l'assemblage laminaire de la fg. 61, l'arête liquide semi-circulaire qui unit les deux calottes sphériques n'est commune qu'à trois lames, savoir à ces deux calottes et à la cloison, et, nous le savons, ces trois lames font entre elles des angles égaux; de même dans l'assemblage de la^. 66, chacune des arêtes liquides qui unissent deux à deux les calottes n'est, comme celle qui unit les trois cloisons, commune qu'à trois lames faisant entre elles des angles égaux; enfin c'est ce qui a encore lieu évidemment dans l'assemblage de la^. 69.
§ 181. Remarquons, d'autre part, que, dans les systèmes des /^. 66 et 69, il y a quatre arêtes aboutissant à un même point, savoir les trois qui unissent les calottes deux à deux, et celle qui unit les trois cloisons ; or, de l'égalité des angles que forment entre elles les trois lames unies par une même arête, on déduit sans peine que les quatre arêtes qui aboutissent à un même point font aussi entre elles, en ce point, des angles égaux. En etfet, en supposant d'abord les lames planes et, par suite, les arêtes rectilignes, le système constitue évidemment lensemble de quatre angles trièdres dans chacun desquels les trois angles dièdres sont égaux; or, en vertu
d'un théorème connu, cette égalité entraîne, pour l'un quelconque de ces angles trièdres, celle des angles plans; mais, chacun de ces derniers étant commun à deux des angles trièdres, il s'ensuit que, dans le système, tous les angles plans, c'est-à-dire les angles que font entre elles les quatre arêtes, sont égaux. Dans nos systèmes de calottes et de cloisons, les lames, ou au moins une partie d'entre elles, sont courbes, et conséquemment il en est de même des arêtes ; mais on peut évidemment, au point commun à celles-ci, remplacer les lames courbes par leurs plans tangents, et les arêtes courbes par leurs tangentes qui seront les intersections de ces plans.
Réciproquement, si les quatre arêtes font entre elles, au point qui leur est commun, des angles égaux, il
résulte de la symétrie de l'ensemble que les lames doivent aussi faire entre elles, à leurs arêtes communes, des angles égaux. Ainsi, dans tous les cas, l'égalité des angles sous lesquels quatre arêtes aboutissent à un point commun et l'égalité des angles sous lesquels trois lames s'unissent à une même arête sont, du moins au voisinage immédiat du point dont il s'agit, des conséquences nécessaires l'une de l'autre.
Cherchons actuellement la valeur commune des angles entre les arêtes. D'après ce que nous venons de dire, il suffit de se figurer quatre droites aboutissant à un même point sous des angles égaux. Cela étant, pour suivre la voie la plus simple, considérons un tétraèdre régulier
bL^
Fig. 70.
LKTR DBVELOPPSyfiNT. USUR^ U>tS. :«;
abrd xâg. TO. Soit o le centre de ce têtraè^lre. Menons les draites on, nj, oc^ od aux quatre sommets : ces di\>îtes feront éridemment entre elles des angles êgaux^ dont la valeur sera, par conséquent, celle qu*îl s*agit d obtenir- Cela posé, prolongeons la droite ao jusqu en p^ où elle atteint la base, et joignons pd ; le triangle opd sera rectangle en p. Maintenant remarquons que le point o est le centre de gravité du tétraèdre, et que le point p est le centre de gravité de la base bcd\ or on sait que si, dans une pyramide quelconque, on joint le sommet au centre de gravité de la base, le centre de gravité de la pjTamide est situé sur cette droite, aux trois quarts de sa longueur à partir du sommet; op est donc le tiers de on, et comme le point o est à égale distance des quatre sommets, op est également le tiers de ùd. Dans le triangle rectangle opâ^ on a conséquemment
cos dop = -T ; d'où résulte enfin
cos doa = — - •
Ainsi lorsque quatre droites aboutissent à un mémo point sous des angles égaux, chacun de ces angles est
celui qui a pour cosinus — ôî on trouve, d'après cola,
que cet angle est de lOQ'* 28' 16", c est-à-dire à fort pou près de 109 degrés et demi.
Telle est donc la valeur des angles sous lesquels, dans les assemblages laminaires que nous avons étudiés jusqu'ici, les arêtes liquides aboutissent à un mémo point.
§ 182. Ces systèmes étaient simplement ceux qui résultent de Taccolement des calottes sphériquos entre elles; mais on peut en produire de bien plus curieux :
nous avons vu, dans les chapitres III et IV, avec quelle facilité on développe des lames de liquide glycérique s appuyant sur des contours en fil de fer; si donc nous prenons lune quelconque des charpentes polyédriques qui nous ont servi à la réalisation des polyèdres d'huile (5j29), quelle soit légèrement oxydée, que nous la plongions dans le liquide glycérique, et qu'après l'y
avoir laissée pendant quelques secondes pour la bien mouiller, nous l'en retirions, nous devrons la trouver, et nous la trouverons, en effet, occupée par un système de lames; or ce système, qu'on s'attendrait à voir constitué irrégulièrement suivant le hasard des mouvements qu'on a imprimés à la charpente en la sortant du liquide , présente , au contraire , toujours une disposition parfaitement régulière et symétrique. Cette disposition varie avec la forme de la charpente; mais, en général, elle se reproduit constamment la même dans la charpente d'un même polyèdre.
Par exemple, la charpente cubique donne invariablement le système que je représente ici [fig, 71) : il se compose, on le voit, de douze lames partant respectivement des douze arêtes solides et aboutissant toutes à une lamelle unique quadrangulaire placée au milieu de l'ensemble . Les côtés de cette lamelle sont légèrement courbes ainsi que toutes les autres arêtes liquides, et conséquemment toutes les lames, à l'exception de la
Fig. 71.
LEUR DÉVKLOPPKMKXT, LBURS LOIS.
lamelle centrale, ont de faibles courbures. Les courbures ries arêtes liquides qui partent des sommets de la charpente sont trop peu prononcées pour quon ait pu les indiquer dans le dessin. Quand on effectue Texpérience, il faut avoir soin de ne pas plonger dans le liquide la totalité de la fourche qui soutient la charpente, car, si on le faisait, il se développerait aussi une lame dans cette fourche, lame qui modifierait le système des autres. Je rappellerai que ma charpente cubique a 7 centimètres de coté.
§ 183. Les systèmes laminaires ainsi développés dans les charpentes, ont excité l'admiration de toutes les personnes à qui je les ai fait voir : ils sont, comme je lai dit, d'une régularité parfaite, leurs arêtes liquides ont une finesse extrême, et leurs lames étalent après quelque temps les plus riches couleurs.
Pour observer commodément, et sans lui communiquer d'agitation, l'un quelconque d'entre eux, on pose la charpente qui le contient sur un petit bâti en fil de fer semblable à celui qui est représenté en perspective dans la iig, 72 ; les bâtis dont je me sers ont quatre centimètres de largeur, douze de longueur et deux et demi de hauteur.
Après chaque série d'expériences, on lave les charpentes en les passant dans de l'eau de pluie, puis on les dépose sur du papier à filtre, et on les laisse sécher.
Disons ici que, pour la réalisation de ces systèmes laminaires, on peut, à la rigueur, remplacer le liquide glycérique par une simple solution do savon. On aura alors des figures très-peu durables, mais on sera toujours
Fig. 7».
maître de replonger la charpente aussi souvent qu'on le voudra, et de renouveler ainsi l'observation.
§ 184. Maintenant, quel que soit le polyèdre dont les arêtes forment la charpente quon emploie, si l'on examine attentivement le système laminaire produit, on reconnaîtra que toujours à une même arête liquide aboutissent trois lames, et que les arêtes liquides aboutissant à un même point liquide sont toujours au nombre de quatre; ainsi ces nombres, que nous avions déjà constatés dans les systèmes de calottes, se retrouvent dans tous les systèmes laminaires, de sorte que leur invariabilité constitue deux lois. En outre, ici, comme à l'égard des calottes, il résulte de l'égalité des tensions que les trois lames unies par une arête liquide font nécessairement entre elles, à cette arête, des angles égaux, et que, par suite, les quatre arêtes concourant en un même point liquide font aussi entre elles, à ce point, des angles égaux, ce qui constitue deux autres lois générales.
§ 185. Parmi les charpentes que j'ai soumises à l'expérience, trois, savoir celles du tétraèdre régulier, du prisme triangulaire droit équilatéral, et de l'octaèdre régulier, fournissent des systèmes composés de lames planes ; or ceux-ci permettent de constater Tégalité des angles entre les arêtes liquides, car on peut leur appliquer des mesures; ils permettent conséquemment aussi de vérifier l'égalité des angles entre les lames.
Je reproduis ici \iig, 73, 74 et 75) les dessins de ces trois systèmes ; on ne doit pas oublier, pour l'intelligence de ces dessins et de la plupart de ceux qui suivront, que de chacune des arêtes solides part une lame se dirigeant vers l'intérieur de la charpente, et rattachée aux autres lames par les arêtes liquides, que les dessins
figurent en traits fins. Le système du tétraèdre, on le voit, est simplement formé de six lames qui se joignent suivant quatre arêtes liquides aboutissant toutes au centre de la figure ; celui du prisme triangulaire présente deux
pyramides s'appuyant sur les bases de la charpente et dont les sommets met n sont aux extrémités d'une arête liquide parallèle aux côtés du prisme ; enfis celui de l'octaèdre , l'un des plus beaux qu'on puisse obtenir , contient, outre les douze lames partant des arêtes solides, six quadrilatères allongés dans le sens d'un de leurs angles, ayant chacun le sommet de cet angle à l'un de ceux de la charpente, et le sommet opposé au centre de la figure; ces quadrilatères sont disposés de manière. que, dans chaque couple aboutissant à deux sommets opposés de la charpente, leurs plans sont à angle droit
lun sur lautre. Avertissons ici que, dans la charpente octaédrique, d'autres systèmes peuvent se former; nous en parlerons plus loin.
Dans le système du tétraèdre [fig- 73), légalité des angles est évidente, tout étant parfaitement symétrique dans tous les sens ; on voit d'ailleurs que les quatre arêtes liquides occupent précisément les positions des droites oa^ ob, oc, od de la fig. 70. Dans celui du prisme triangulaire [Jig. 74), langle entre larête verticale mn
et l'arête oblique np, par exemple, devant avoir — ^
pour cosinus, il s'ensuit que la hauteur verticale du point n au-dessus du plan de la base est le tiers de np ;
d'où l'on déduit aisément qu'en désignant par a l'arête
a m de la base, cette hauteur verticale est éffale à — 71. ^^ ^ 2/6
D'après cela, si h désigne l'arête latérale pr de la charpente, on a
Dans la charpente que j'ai employée, l'arête h était de 70mm 70^ et l'arête a de 69'"™,23(i); en substituant
(l) n est nécessaire d'expliquer ici de quelle manière ces évaluations ont été obtenues. Une charpente en fil de fer ne pouvant être géométriquement parfaite, on a mesuré séparément chacune des arêtes latérales, et Pon a pris la moyenne des résultats, puis on a agi de même à l'égard des arêtes des hases ; mais ces mesures n'ont pas été effectuées directement sur les arêtes, parce que les terminaisons de celles-ci étaient plus ou moins masquées par les soudures; voici comment on a procédé : la charpente étant placée verticalement, et l'une de ses faces latérales en regard du cathétomètre, on a déterminé, en visant aussi près de l'arête verticale de droite que le permettaient les soudures, la distance comprise entre les deux arêtes horizontales, puis on a fait la même chose près de l'arête verticale de gauche ; ensuite on a tourné le prisme sur son axe de façon à présenter successivement au cathétomètre les deux autres faces latérales, et l'on a répété sur chacune d*elles les mêmes opérations ; on a eu ainsi, pour la longueur des arêtes
ces nombres dans la formule ci-dessus, on trouve mn = 42'"'", 44 ; or la mesure au cathétomètre a donné mn = 42"*'",37, valeur qui ne diffère de la précédente que de 0'"'",07, c est-à-dire de moins que les deux millièmes de lune ou de l'autre .
Quant au système de loctaèdre ['jig. 75), il présente, dans chacun des quadrilatères dont j*ai parlé, une dimension facile à mesurer au cathétomètre : cest la distance comprise entre les sommets t^iu des deux angles obtus opposés. D un autre coté, en partant du principe que ces deux angles ainsi que celui dont le sommet est ati
centre de la figure, doivent avoir — - pour cosinus,
on arrive aisément à démontrer que cette distance tu
latérales, six valeurs peu différentes, dont la moyenne s'est trouvée de 69"",83.
Cela fait, on a disposé la charpente horizontalement sur des supports convenables de telle manière que, l'une de ses faces latérales regardant encore le cathétomètre, les deux arêtes des bases qui la limitaient à droite et à gauche fussent verticales, et Pon a opéré à l'égard de celles-ci comme à l'égard des précédentes, puis, tournant le prisme sur son axe, on a passé de même aux deux autres faces, de sorte qu'on a eu aussi, pour les arêtes des bases, six valeurs, dont la moyenne était 68"°>,36.
Mais ces deux moyennes devaient subir une petite correction ; en effet, les lames liquides n'aboutissent point aux fils solides suivant les génératrices de ceux-ci dont on a mesuré les distances, mais suivant d'autres génératrices situées plus en dedans de la charpente, d'où il suit que les deux nombres ci-dessus sont un peu trop petits. Pour arriver à la correction d'une manière simple, remarquons qu'en vertu de la tension, le plan de chacune de nos lames doit passer par l'axe du fil solide cylindrique sur lequel la lame s'appuie, et que, par conséquent, les arêtes liquides prolongées iront aboutir aux points où ces axes se coupent ; nous pouvons donc, sans altérer en aucune manière le système laminaire et, par suite, la longueur de l'arête liquide mit, substituer, par la pensée, à notre charpente, l'ensemble des axes des fils solides qui la composent, ce qui revient évidemment à ajouter à chacun de nos deux nombres le diamètre de ces fils; or ce diamètre, déterminé encore au moyen du cathétomètre, a été trouvé, comme moyenne de dix mesures prises sur les différents fils, égal à 0"°*,87; c'est par l'addition de cette quantité à nos deux nombres, que l'on a obtenu enfin les valeurs de 6 et de données dans le texte.
doit être exactement le tiers de la longueur des arêtes de loctaèdre. Pour le faire voir, soit stou (Jig, 76) l'un
des quadrilatères; menons les deux diagonales tu et os^ qui se couperont à angle droit en m; désignons par d la distance tUy par a la valeur commune des trois angles obtus, et par a la longueur de larête de loctaèdre.
Dans le triangle otSy langle en t étant
a, et langle en o étant - a, langle
en s sera 180 — -a ; d après cela, les
deux triangles rectangles tymt et smt
donneront om =
et 7?^^ =
tang-a
lang (180° - - a)
Remarquons maintenant que la diagonale 05, ou la somme des deux longueurs om eX ms y est la demihauteur de loctaèdre, et conséquemment, comme on
le verra sans peine , est égale à —jz. ; on aura donc
\ = -^ . Mais , sachant
tang - a tang (ISO- - g «) ( ^^
que le cosinus de langle a est — ô^^^ trouvera
tang 2 a = |/2 , et tang M80<> — - « j = ^ ^. Ces
valeurs étant substituées dans la formule ci-dessus, on obtient, comme je lai avancé.
Dans ma charpente, les mesures ont donné(l) pour a la valeur 69'""^,49, dont le tiers est 23"*"*, 16; et pour la distance d, la valeur 23'"'", 14. La différence 0™"*,02 entre la valeur calculée et la valeur mesurée est, on le voit, plus insignifiante encore que dans le cas précédent.
§ 186. Les systèmes laminaires des autres charpentes, cest-à-dire ceux qui contiennent des lames courbes et conséquemment des arêtes liquides courbes, vérifient encore, et d'une manière bien curieuse, quoiqu'un peu moins précise, Tégalité des angles sous lesquels ces arêtes aboutissent à un même point* liquide; ils vérifient ainsi également, du moins dans le voisinage immédiat de celui-ci (§ 181), légalité des angles entre les trois lames qui se joignent suivant chacune de ces mêmes arêtes.
Prenons comme premier exemple le système laminaire de la charpente cubique, système dont la iig, 71 reproduit le dessin. Chacun des angles de la lamelle quadrangulaire centrale devant être de 109 degrés et demi, et conséquemment supérieur à un droit, il en résulte que les côtés de cette lamelle ne peuvent être rectilignes et
(1) Une charpente octaédrique régulière pouvant être considérée comme formée de l'ensemble de trois carrés en fils de fer dont les plans se coupent suivant les diagonales, la charpente a été placée de manière que ces carrés se présentassent l'un après Pautre en face du cathétomètre avec deux de leurs côtés dirigés verticalement, et, dans les trois positions de la charpente, on a mesuré, aussi près que possible de chacun de ces fils veHicaux, la distance comprise entre les deux fils horizontaux. On a obtenu ainsi douze valeurs, dont la moyenne était ôS^^jSO; on a pris, en outre, sur les différents fils, huit mesures du diamètre de ceux-ci, mesures qui ont donné pour moyenne 0'"'",90. D'après les considérations exposées dans la note précédente, on a ajouté ce diamètre au nombre ci-dessus, et c'est ainsi qu'on a trouvé la valeur de a indiquée dans le texte.
Quant à la valeur de à^ comme les petites iiTégulaiités de la charpente devaient introduire de légères différences entre les six quadrilatères, on a mesuré cette distance dans chacun d'eux, et la valeur de d donnée dans le texte est la moyenne de ces six mesures.
doivent constituer des arcs légèrement convexes vers Textérieur ; or c'est, en effet, ce que montre le système réalisé. J ai représenté dans la fig. 74 le système laminaire du prisme triangulaire équilatéral, et j ai dit qu'en désignant par a la longueur des arêtes des bases, la hauteur
de chacune des pyramides laminaires qui s appuient sur
a ces bases est égale à — -p ; mais on comprend que si
la hauteur du prisme est moindre que le double de cette quantité, ou, en d'autres termes, moindre que les 0,4 des cotés des bases, le système en question ne saurait se produire. Dans ce cas, l'analogie avec d'autres systèmes dont je parlerai ci-après m'avait conduit à prévoir que le système se composerait d'une lame triangulaire équilatérale parallèle aux bases, placée à égales distances de ces dernières, et rattachée par d'autres lames à toutes les arêtes solides ; mais comme les angles de ce triangle laminaire devaient être de 109 degrés et demi, et que les angles d'un triangle équilatéral à cotés rectilignes ne sont que de 60"*, il fallait nécessairement que les cotés de notre triangle laminaire fussent convexes vers l'extérieur, comme ceux de la lamelle du système du cube, mais que leurs courbures fussent beaucoup plus prononcées ; or c'est ce que lexpérience
a pleinement vérifié ; seulement les courbures ne se sont montrées trèsfortes que dans le voisinage des sommets. La hauteur de ma charpente était environ le tiers de la longueur des côtés des bases ; la ^. 77 représente le système vu par-dessus ; '»K- " ce système constitue donc un second
exemple à l'appui de la proposition dont il s'agit.
En troisième lieu, si Ton prend pour charpente celle d'un prisme pentagonal régulier dont la hauteur ne soit pas trop grande relativement aux dimensions des bases, le système laminaire présente, au milieu de sa hauteur, une lame pentagonale parallèle aux bases, et à laquelle viennent se rattacher, comme à la lame triangulaire du système précédent, toutes les lames partant des arêtes solides ; or langle de deux côtés contigus d'un pentagone régulier étant de 108*% c est-à-dire très- voisin de notre angle
de 109''^ , il s ensuit que les côtés de la lame pentagonale
doivent être sensiblement droits, et c est encore ce que lexpérience confirme : dans la charpente que j ai employée, la longueur des arêtes des bases est de 5 centimètres, et la hauteur du prisme de 6 centimètres ; les côtés de la lame pentagonale ont environ 2 centimètres, et Tœil ne peut y distinguer aucune courbure. Dans ce système, les lames qui partent des arêtes solides des bases et vont se rattacher aux côtés du pentagone central , paraissent planes, et cela doit être, puisquelles sappuient d'une part sur les arêtes rectilignes des bases et d'autre part sur les côtés sensiblement droits de la lame centrale ; il suit de là que les arêtes liquides obliques qui voni fî». 78.
des sommets des bases à ceux du pentagone central, semblent droites. Quant aux lames triangulaires qui partent des arêtes verticales solides, elles sont riffou-
reusement planes par suite de la symétrie de leur position. Le système dont il s agit est représentée^. 78.
En quatrième lieu enfin, si la charpente est celle d un prisme hexagonal régulier, le système laminaire est analogue au précédent dans sa disposition générale, la lame centrale étant, bien entendu, hexagonale; mais comme l'angle de deux côtés contigus d'un hexagone régulier est de 120^ , c est-à-dire notablement supérieur
à notre angle de 109^^ , les côtés de la lame en ques-
tion doivent être sensiblement courbés vers l'intérieur, et c'est également ce que montre le système réalisé. La hauteur de la charpente que j'ai employée est à la distance de deux côtés opposés de la base, ou, en d'autres termes, au diamètre du cercle que l'on inscrirait à cette base, comme 7 à 6.
§ ISô**". Du reste, on peut former un système à arêtes liquides courbes, dans lequel l'angle entre ces arêtes est susceptible d'une vérification directe et précise : dans
un grand anneau en fil de fer muni de trois pieds, on réalise une lame plane de liquide glycérique, puis on dépose sur cette lame, et l'une près de l'autre, deux petites bulles du même liquide sensiblement égales en diamètre. Chacune d'elles tend à se transformer en une Fig 7sbit. lentille laminaire bi-con-
vexe, enchâssée par son bord dans la lame plane; mais, à cause de leur contact, ces deux lentilles
s'accolent avec une cloison. A moins d'un hasard particulier, elles ne seront pas tout à fait de même diamètre, mais on fera disparaître la différence en aspirant une petite portion de l'air contenu dans la plus grande, au moyen d'un tube effilé dont la pointe a été préalablement mouillée de liquide glycérique (note du § 175); alors la cloison est plane, et le système, vu par-dessus, présente l'aspect de la Jig, 78^" ; ab est la projection de la cloison.
L anneau dont j'ai fait usage a un diamètre de 20 centimètres ; il est formé d'un fil de fer de 3 millimètres d'épaisseur, et les pieds ont 8 centimètres de hauteur. Pour effectuer la vérification expérimentale annoncée, on a tracé sur un papier, en partant de la valeur théorique de l'angle en a^ la projection du système, ce qui est fort simple : l'angle des deux tangentes en a doit avoir,
nous le savons, pour cosinus — ô , et celui des deux
rayons qui joindraient le point a aux centres des deux lentilles, en est le supplément ; on a construit ce dernier angle, et l'on a porté, à partir de ay sur chacun de ses cotés, une longueur de 4 centimètres; puis, prenant comme centres les deux points ainsi déterminés, on a tracé deux portions de circonférences se terminant aux points a etb; enfin on a mené la droite ab.
On conçoit que si, après avoir réalisé dans l'anneau un système un peu plus petit que ce dessin, on pose ce même dessin entre les pieds de l'anneau, et que, fermant un œil, on tienne l'autre à une hauteur convenable au-dessus de l'ensemble, on poui*ra s assurer s'il est possible d'amener l'assemblage des lentilles à se projeter exactement sur le tracé. Cependant l'expérience faite de cette manière offrirait de la difficulté, parce que
l'assemblage des lentilles, obéissant aux petites agitations de lair ambiant, change incessamment de place. Pour écarter cet inconvénient, on a tendu préalablement, en travers de l'anneau suivant un diamètre, un fil fin, lequel, après la réalisation de la lame plane, se trouvait nécessairement engagé dans celle-ci, et l'on a déposé les deux bulles de telle façon que le fl fût engagé aussi dans la cloison ; le système perd ainsi sa mobilité.
Pour procéder à lexpérience, on a recouvert le dessin d'une plaque de verre mince afin de le maintenir, puis, après avoir développé la lame plane, on a posé l'anneau par ses pieds sur cette plaque, et l'on a fait en sorte que, pour l'œil placé bien au-dessus, le fil se projetât sur la droite ab du dessin, droite qu'on avait d'ailleurs prolongée des deux cotés ; on a déposé ensuite les deux bulles, et l'on a égalisé avec grand soin les deux lentilles. Alors l'œil convenablement placé voyait effectivement le contour de l'assemblage des lentilles réelles se projeter exactement sur le contour dessiné.
§ 187. — Le fait dont j'ai parlé (§ 180) pour montrer qu'un système dans lequel plus de trois lames aboutissent sous des angles égaux à une même arête liquide est à l'état d'équilibre instable, se rapporte à un système qui offrirait en même temps plus de quatre arêtes aboutissant à un même point liquide. L'instabilité pourrait donc être attribuée également à cette dernière circonstance, et il faut décider si elle appartient exclusivement à l'une ou à l'autre, ou seulement 4 leur réunion.
Pour cela, revenons à l'expérience rapportée dans le § 139, c'est-à-dire prenons comme système solide l'ensemble de deux rectangles qui se coupent à angle droit au milieu de deux de leurs côtés opposés ; seulement, pour rendre l'efiot plus apparent et la charpente plus
commode à manier, donnons aux deux rectangles moins de largeur et plus de hauteur [fy. 79).
Le système laminaire le plus simple que l'on puisse concevoir dans cette charpente, se composerait de quatre lames planes occupant respectivement les quatre moitiés des rectangles et aboutissant à une arête rectiligne unique ah {Jig. 80) , qui joindrait les deux points d'inter-
section de ces mêmes rectangles. Ce système, à cause de sa symétrie, serait évidemment un système d'équilibre, et il ne présenterait aucun point liquide commun à plusieurs arêtes ; mais l'arête ab serait commune à quatre lames. Or, quand on retire cette charpente du liquide glycérique, on ne la trouve jamais occupée par le système que je viens d'indiquer : dans celui qui se réalise, au lieu fie l'arête ab, il y a toujours, comme avec la charpente du § 139, une lame plane {Jîg. 81) terminée par deux arêtes courbes auxquelles viennent se rattacher les lames courbes partant des arêtes solides. Ici, on le voit, chacune
des deux arêtes liquides n'est commune qua trois lames, et il faut conclure de là que Tinstabilité est bien réellement une propriété des systèmes laminaires dans lesquels cette condition ne serait pas remplie.
Ajoutons que Brewster, qui a pris plaisir à reproduire et à varier mes systèmes laminaires, a imaginé (^) une modification fort curieuse de lexpérience ci-dessus : il a rendu les deux rectangles mobiles autour de leurs points d'intersection, de manière à faire varier les angles dièdres, et alors, en augmentant graduellement ceux de ces angles dont le plan de la lame ovale est bissecteur, il a vu cette lame se rétrécir au fur et à mesure, de telle façon que, lorsque les angles dont il s agit sont devenus de ISS"", la lame ovale s est réduite à une simple arête liquide droite joignant les deux points d'intersection ; mais, au moment même, le système s est modifié, et une nouvelle lame ovale s'est produite, bissectrice des deux autres angles dièdres. Brewster a donc réussi à réaliser, mais seulement pour un instant inappréciable, un système dans lequel quatre lames sont unies par une même arête liquide, et cette jolie expérience complète la vérification de l'instabilité d'un semblable système.
Quant à la seconde circonstance, je ferai d'abord remarquer que si, dans la charpente cubique, on conçoit un système formé de douze lames planes triangulaires partant respectivement des douze arêtes solides et aboutissant au centre de la charpente [fig 82), ce système, à cause de sa parfaite symétrie , sera nécessairement un système d'équilibre, et l'on voit sans peine qu a chaque arête liquide n'aboutiront que trois lames qui, de plus, feront entre elles des angles égaux ; mais il y aura huit
(1) On the figures of equilibrium in liquid films (Tbansact. of the royal SociBTY OF Edinbubgh, vol. XXIV, 1867).
LEUR DÉVELOPPEMENT, LEURS LOIS. :œ
arêtes liquides aboutissant au point central. Or nous savons qu'avec le liquide glycérique, ce système ne se produit pas, et qu on obtient toujours celui de la jig, 71, dans lequel à chacun des sommets de la lamelle quadrangulaire centrale naboutissent que quatre arêtes liquides. Il est permis de conclure de ce fait que l'instabilité appartient aussi à tout système dans lequel un même point liquide est commun à plus de quatre arêtes.
On peut obtenir dune manière permanente le système de la Hg. 82; mais cest, comme dans le cas d'instabilité du § 138, en introduisant dans ce système une partie solide; il suffit, en effet, de tendre, d'un sommet de la charpente au sommet opposé, un fil de fer très-fin. Cependant, quand on retire du liquide glycérique la charpente ainsi disposée, le système qui l'occupe n'est pas immédiatement celui dont il s agit; il contient encore une lamelle quadrangulaire; seulement celle-ci est beaucoup plus petite que celle de la Jig, 71, et n'est point placée symétriquement par rapport à la charpente : elle s'appuie par lun de ses sommets sur le milieu de la diagonale solide; mais on la voit bientôt diminuer spontanément d'étendue, jusqu'à s annuler complètement, de sorte que le système devient alors celui de la^. 82. Les choses se bornent là, et le système demeure parfaitement stable en cet état, quand le décroissement de la lamelle s'est effectué avec assez de
pig. ».
lenteur; mais souvent ce décroissement est plus rapide, et alors se produit un autre phénomène singulier : à l'instant où la lamelle s annule, on voit s'en reformer une autre beaucoup plus petite encore, située du coté opposé de la diagonale solide, ayant son plan perpendiculaire à celui de la première, et sappuyant, non plus par un sommet, mais par le milieu de l'un de ses, côtés, sur le milieu de la diagonale solide (^); puis cette seconde lamelle décroît et s'annule comme la précédente ; dans ce cas donc, le système n'atteint sa forme définitive que par une espèce d'oscillation .
§ 188. On doit, je pense, regarder maintenant comme bien établies pour tous les assemblages laminaires, les lois que je viens de discuter. Or ces lois nous conduisent à une conséquence fort remarquable : la mousse qui se forme sur certains liquides, par exemple sur le vin de Champagne, sur la bière, sur l'eau de savon que l'on agite, est évidemment un assemblage laminaire, composé d'une foule de lamelles ou cloisons qui s'entrecoupent et emprisonnent entre elles de petites portions de gaz ; conséquemment, bien que tout y semble régi par le hasard, elle doit être soumise à ces mêmes lois ; ainsi ses innombrables cloisons se joignent nécessairement partout trois à trois sous des angles égaux, et toutes ses arêtes se distribuent de manière qu'il y en ait toujours quatre aboutissant à un même point, en y faisant des angles égaux.
J'ai vérifié ces faits par l'expérience suivante : on a plongé au fond d'un vase contenant du liquide glycérique
(1) Ma charpente ayant ét^ accidentellement déformée, puis réparée, la seconde lamelle, quand elle se produisait, ne se plaçait plus tout à fait de la manière indiquée ci-dessus; la différence provenait sans doute d'une petite irrégularité existant dans la charpente, soit avant, soit après la réparation de celle-ci.
la tête d'une pipe tenue un peu obliquement, et Ion a soufflé d une manière continue par le tuyau, de façon à produire une série nombreuse de bulles dair assez grosses qui traversaient le liquide. On a déterminé ainsi, comme le font les enfants avec de leau de savon, la formation d un édifice cloisonné s élevant au-dessus des bords du vase, édifice évidemment de la même constitution que la mousse, mais dont les différentes parties ont des dimensions beaucoup plus grandes; or, aussi loin que l'œil pouvait plonger dans ce système sans s'égarer, on a reconnu que partout une même arête n'était commune qu'à trois cloisons, et qu'il n'y avait jamais que quatre arêtes aboutissant à un même point. Quant à l'égalité des angles entre ces arêtes, il y avait certains endroits où trois de celles qui aboutissaient à un point semblaient être à peu près dans un même plan ; mais, en regardant avec attention, on constatait que ces arêtes s'infléchissaient fortement en approchant de leur point de concours.
On s'explique d'ailleurs aisément la génération d'un semblable édifice, et conséquemment celle de la mousse : les premières bulles de gaz qui arrivent à la surface du liquide, donnent naissance à des calottes sphériques qui s'accolent comme celles dont nous nous sommes occupés précédemment, et bientôt toute la surface du liquide en est couverte ; alors les lames que produisent les bulles gazeuses subséquentes soulèvent nécessairement ce premier assemblage, en déterminant la formation de cloisons inférieures, de manière qu'il y a, en peu de temps, deux systèmes de lames superposés, puis, les bulles gazeuses arrivant toujours, cet ensemble est soulevé à son tour, et ainsi de suite, le tout se disposant avec plus ou moins de symétrie, suivant les différences de volume des bulles
gazeuses, successives et la distribution dçs points où elles atteignent la surface du liquide, et le léger édifice composé de cloisons emprisonnant dans les espaces qu elles séparent tous les volumes de gaz qui constituaient respectivement les bulles, acquiert de plus en plus de hauteur. Si les bulles sont très-minimes, l'édifice cloisonné se composera de parties trop petites pour que Toeil les distingue en général, et Ion aura ainsi de la mousse.
§ 189. Retournons aux systèmes laminaires des charpentes, et complétons-en l'étude. Examinons d'abord la manière dont les lames qui doivent constituer l'un de ces systèmes se disposent pendant qu'on retire la charpente du liquide, et immédiatement après qu'on l'a retirée.
Commençons par le cas d'une charpente prismatique retirée de façon que ses bases soient horizontales. Quand la base supérieure sortira du liquide, chacune des arêtes solides dont elle se compose sera nécessairement suivie d une lame. Cela étant, si l'angle compris entre deux faces latérales adjacentes du prisme est égal ou supérieur à 120°, c'est-à-dire à l'un des angles égaux que forment entre elles trois lames aboutissant à une même arête liquide, les lames, qui partiront, comme je viens de le dire, de toutes les arêtes de la base, devront, on va le voir, demeurer attachées aux arêtes solides verticales, et cela tant que la base inférieure ne sera pas sortie du liquide.
Prenons comme exemple la charpente d'un prisme hexagonal régulier, prisme pour lequel l'angle de deux faces latérales adjacentes est de 120'', et considérons-la lorsqu'elle n'est encore qu'en partie hors du liquide. Supposons, pour un instant, que les lapies qui partent des arêtes de la base supérieure rentrent vers l'intérieur de la charpente, auquel cas d'autres lames partiront néces-
sairement dés arêtes verticales pour aboutir aux arêtes liquides qui uniront les premières. Toutes ces lames se rattacheront au liquide du vase par de petites masses à courbures transversales concaves, soulevées le long de leurs bords inférieurs ; or il est clair qu en vertu de leur tension , ces mêmes lames aboutiront à la crête des petites masses dont il s'agit suivant des directions verticales ; les lames qui partent des arêtes de la base devront conséquemment s infléchir en descendant vers le liquide, et ainsi elles seront, dans le sens de leur hauteur, convexes vers l'intérieur de la figure. Mais comme elles seront en contact par leurs deux faces avec l'atmosphère libre, il faudra (§ 97) que leur courbure moyenne soit nulle, ou, en d'autres termes, qu'en chacun de leurs points, les courbures, dans deux directions rectangulaires, soient égales et opposées (§ 2); donc, puisque les lames en question sont convexes dans le sens de leur hauteur, elles seront concaves dans le sens de leur largeur ; or, par la double raison de cette concavité et de leur direction rentrante vers l'intérieur de la charpente, nos lames feront nécessairement entre elles deux à deux des angles supérieurs à ceux des faces du prisme, et conséquemment supérieurs à 120°, ce qui, nous le savons, est impossible; ainsi ces mêmes lames devront rester , comme je l'ai avancé , adhérentes aux arêtes solides latérales tant que toute la charpente n'est pas hors du liquide.
Cette déduction est pleinement confirmée par l'expérience : quand on retire du liquide glycérique, dans la position indiquée, la charpente d'un prisme hexagonal régulier, on obtient simplement, jusqu'à ce que la base inférieure soit sortie, des lames planes occupant toutes les faces latérales.
Lepaisseur des fils solides, épaisseur qui, dans mes charpentes, approche d'un millimètre, semblerait, à la vérité, suffire pour établir l'indépendance entre ces lames ; mais ici elle n'est pour rien dans le phénomène : j'ai fait construire une charpente prismatique hexagonale dans laquelle les arêtes latérales étaient de simples crins, et les choses se sont passées absolument de la même manière. Dans cette charpente, dont la disposition serait difficile à représenter en petit par la gravure, la base supérieure est soulevée par des ressorts, de façon que les crins, qui s'allongent dans le liquide, soient toujours tendus.
§ 190. Mais, on le comprend, il ne peut plus en être ainsi dans le cas d'une charpente dont . les bases ont moins de six côtés, car alors les faces latérales faisant entre eUes des angles moindres que 120^, les lames qui partent de deux arêtes adjacentes de la base supérieure et qui, le long de l'arête solide verticale correspondante, seraient en communication par l'intermédiaire du liquide qui mouille cette arête, doivent tendre à se détacher de cette même arête et à se diriger toutes deux vers l'intérieur de la charpente, afin de rétablir entre elles l'angle de 120*^ ; alors aussi, bien entendu, elles développeront une troisième lame partant de l'arête solide verticale en question, de telle manière que ces trois lames soient unies par une arête liquide oblique partant du point de jonction des trois arêtes solides.
C'est ce que l'expérience vérifie également : quand on retire du liquide une charpente prismatique à base carrée ou la charpente cubique, on voit, dès que la base supérieure est sortie, les lames prendre une direction rentrante, et l'effet est plus prononcé encore avec lacharpeqte du prisme triangulaire équilatéral; on constate, en même
temps, que ces lames se comportent comme je lai avancé dans le paragraphe précédent, c est-à-dire qu elles s'infléchissent pour aboutir à la surface du liquide suivant des directions verticales, et qu elles sont concaves dans le sens de leur largeur.
Quant au prisme pentagonal régulier , pour lequel Tangle de deux faces latérales adjacentes est de lOS*", et conséquemment assez peu inférieur à 120^, on conçoit que la tendance des lames à rentrer doit être faible, et qu ainsi l'épaisseur des fils métalliques dont sont formées les arêtes solides de mes charpentes ordinaires, est suffisante, dans ce cas, pour établir l'indépendance entre les lames; aussi, avec la charpente pentagonale de la fig. 78, on n'obtient encore, pendant qu'on la retire, que des lames planes dans les faces latérales ; mais j'ai fait faire une charpente dans laquelle les arêtes latérales étaient en fil de fer très-fin, et alors les lames rentraient; seulement , comme cela devait être , elles rentraient beaucoup moins que pour les deux char-, pentes précédentes. Cette charpente à arêtes latérales fines est repré- rx%.t%, sentée Jig. 83 ; les bases sont maintenues au moyen de deux anses a et 3, par lesquelles on tient la charpente pour la plonger.
§ 191. Voyons actuellement comment ces divers systèmes se complètent, quand on continue à soulever les charpentes. Reprenons d'abord le cas du prisme
hexagonal, et supposons que la charpente ait le rapport de dimensions indiqué à la fin du § 186. Lorsque la base inférieure émerge, il se forme une lame s'étendant de cette base à la surface du liquide, lame qui va en se rétrécissant de haut en bas. Si Ion soulève encore la charpente, on atteint bientôt un point où 1 équilibre de cette dernière lame n'est plus possible; car elle se resserre alors spontanément avec rapidité, se ferme en se séparant du liquide du vase, et vient constituer une lame plane dans la base inférieure du prisme. Mais cette lame plane faisant des angles droits avec celles qui occupent les faces latérales, ne pourra, d après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, persister ainsi; les choses devront se disposer de façon quelle fasse avec les lames latérales des angles de 120^. Or c'est ce qui s'effectue de la manière la plus simple : la lame plane dont il s'agit grimpe dans l'intérieur de la charpente en diminuant d'étendue, et tirant ainsi à elle les lames latérales ; chacune de ces dernières se plie donc en deux à l'arête liquide qui l'unit à la première, tandis que d'autres lames, parlant de chacun des fils solides verticaux, se rattachent aussi aux précédentes suivant les arêtes liquides qui unissent celles-ci deux à deux, et l'équilibre s'établit lorsque la lanje centrale a atteint la moitié de la hauteur de la charpente, parce qu'alors tout est symétrique ; on a ainsi le système dont j'ai parlé à la fin du § 186
On comprend que, dans ce système, les lames obliques qui se dirigent vers la lame centrale, ne peuvent faire deux à deux des angles de 120° qu'à la condition d'être convexes, dans le sens de leur largeur, vers l'intérieur de la figure, ce qu'entraîne d'ailleurs la courbure rentrante des côtés de la lame centrale; mais, par suite de la néces-
site d une courbure moyenne nulle, cette convexité exige que les lames dont il s'agit soient concaves dans le sens de leur hauteur; de cette manière toutes les lois sontsatisfaites, et, dans le système réalisé, on constate effectivement ces deux courbures opposées des lames obliques. Quant à la lame centrale et aux lames qui partent des arêtes solides latérales, elles sont nécessairement planes, à cause de leur position symétrique par rapport aux autres.
Une chose à remarquer, c'est que, dans ce même système , les arêtes liquides obliques qui vont aux sommets de la lame centrale, ne partent pas exactement des sommets des deux bases, mais bien de points situés à une petite distance de ces derniers sommets, sur les arêtes solides latérales ; on en saisit aisément la raison : par suite de la forme rectiligne des cotés des bases, la convexité transversale des lames obliques ne saurait exister près deux; il faut donc, pour quelle puisse s'établir, que ces lames n'abandonnent les arêtes solides latérales pour prendre leurs directions rentrantes, qu'à partir d'une certaine distance des bases; c'est donc à cette distance seulement que peuvent naître les arêtes liquides obliques.
§ 192. Passons aux cas du prisme pentagonal à arêtes latérales fines, du prisme quadrangulaire ou du cube, et du prisme triangulaire, cas dans lesquels les lames partant des arêtes de la base supérieure prennent, comme nous l'avons vu, des directions rentrantes dès que cette base sort du liquide. Quand ces lames commenceront à se montrer, les petites masses soulevées à leurs bords inférieurs dessineront nécessairement sur la surface du liquide un polygone du même nombre de cotés que la base solide, cest-à-dire, suivant la charpente, un
hexagonal, et supposons que la charpente ait le rapport de dimensions indiqué à la fin du § 186. Lorsque la base inférieure émerge, il se forme une lame s'étendant de cette base à la surface du liquide, lame qui va en se rétrécissant de haut en bas. Si Ion soulève encore la charpente, on atteint bientôt un point où 1 équilibre de cette dernière lame nest plus possible; car elle se resserre alors spontanément avec rapidité, se ferme en se séparant du liquide du vase, et vient constituer une lame plane dans la base inférieure du prisme. Mais cette lame plane faisant des angles droits avec celles qui occupent les faces latérales, ne pourra, d'après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, persister ainsi; les choses devront se disposer de façon quelle fasse avec les lames latérales des angles de 120. Or c'est ce qui s'effectue de la manière la plus simple : la lame plane dont il s'agit grimpe dans Tintérieur de la charpente en diminuant d'étendue, et tirant ainsi à elle les lames latérales ; chacune de ces dernières se plie donc en deux à l'arête liquide qui l'unit à la première, tandis que d'autres lames, parlant de chacun des fils solides verticaux, se rattachent aussi aux précédentes suivant les arêtes liquides qui unissent celles-ci deux à deux, et l'équilibre s'établit lorsque la lanje centrale a atteint la moitié de la hauteur de la charpente, parce qu'alors tout est symétrique ; on a ainsi le système dont j'ai parlé à la fin du § 186
On comprend que, dans ce système, les lames obliques qui se dirigent vers la lame centrale, ne peuvent faire deux à deux des angles de 120° qu'à la condition d'être convexes, dans le sens de leur largeur, vers l'intérieur de la figure, ce qu'entraîne d'ailleurs la courbure rentrante des cotés de la lame centrale; mais, par suite de la néces-
site d une courbure moyenne nulle, cette convexité exige que les lames dont il s agit soient concaves dans le sens de leur hauteur; de cette manière toutes les lois sontsatisfaites, et, dans le système réalisé, on constate effectivement ces deux courbures opposées des lames obliques. Quant à la lame centrale et aux lames qui partent des arêtes solides latérales, elles sont nécessairement planes, à cause de leur position symétrique par rapport aux autres.
Une chose à remarquer, c'est que, dans ce même système , les arêtes liquides obliques qui vont aux sommets de la lame centrale, ne parlent pas exactement des sommets des deux bases, mais bien de points situés à une petite distance de ces derniers sommets, sur les arêtes solides latérales ; on en saisit aisément la raison : par suite de la forme rectîligne des cotés des bases, la convexité transversale des lames obliques ne saurait exister près deux; il faut donc, pour quelle puisse s établir, que ces lames n'abandonnent les arêtes solides latérales pour prendre leurs directions rentrantes, qu'à partir d'une certaine distance des bases; c'est donc à cette distance seulement que peuvent naître les arêtes liquides obliques.
§ 192. Passons aux cas du prisme pentagonal à arêtes latérales fines, du prisme quadrangulaire ou du cube, et du prisme triangulaire, cas dans lesquels les lames partant des arêtes de la base supérieure prennent, comme nous l'avons vu, des directions rentrantes dès que cette base sort du liquide. Quand ces lames commenceront à se montrer, les petites masses soulevées à leurs bords inférieurs dessineront nécessairement sur la surface du liquide un polygone du même nombre de cotés que la base solide, c'est-à-dire, suivant la charpente, un
pentagone, un quadrilatère ou un triangle. Seulement, comme les lamqs en question sont verticales à leur partie inférieure et qu elles se joignent sous des angles de 120"*, il faudra que les côtés des polygones ci-dessus fassent aussi entre eux des angles de 120", ce qui exige évidemment qu'ils soient convexes vers l'extérieur; ces cotés doivent d'ailleurs partager la courbure horizontale des lames, courbure que nous savons être concave vers l'intérieur de la figure et conséquemment convexe vers l'extérieur. Cette convexité des côtés de nos polygones devra, on le comprend, être très-légère pour le pentagone, plus prononcée pour le quadrilatère, et plus encore pour le triangle. Tout cela est également vérifié par l'expérience.
Ces premiers faits établis, suivons séparément le développement du système laminaire dans chacune des trois charpentes, à mesure iju'on la soulève davantage.
Avec la charpente pentagonale, le pentagone curviligne dessiné à la surface du liquide va d'abord en se resserrant un peu, jusqu'à ce qu'une partie assez considérable de la hauteur de la charpente soit hors du liquide; puis il s'élargit de nouveau, et, quand la base inférieure affleure le liquide, les lames rentrantes viennent s'appliquer, par leurs bords inférieurs, sur les côtés de cette base. Cependant ces lames n'occupent pas alors les faces latérales du prisme : elles font légèrement, dans le sens de leur hauteur, ventre vers l'intérieur de la charpente, de sorte qu'elles sont unies deux à deux par des arêtes liquides dont chacune constitue un arc de faible courbure s'appuyant par ses deux extrémités sur celles d'une arête solide latérale. Enfin, peu après la sortie de la base inférieure, les phénomènes s'achèvent comme avec la charpente du paragraphe précédent.
c'est-à-dire que la lame produite entre la base dont il s'agit et le liquide vient, sous la forme plane, occuper cette même base, puis monte rapidement en tirant à elle les autres lames, pour donner, en définitive, le système de la^. 78.
Avec la charpente du prisme quadrangulaire , le quadrilatère curviligne dessiné sur le liquide décroît jusqu'à s'annuler, puis est remplacé par une petite arête liquide horizontale, des extrémités de laquelle partent deux arêtes liquides descendantes, qui vont en s'écartant l'une de l'autre ; ces trois arêtes limitent une lame plane verticale parallèle à deux des faces du prisme et se rattachant par d'autres lames aux arêtes solides. Les choses ne changent pas de nature quand on continue à soulever : la lame plane en question va simplement en augmentant de hauteur et en devenant de plus en plus large à sa partie inférieure, jusqu'à ce que la base inférieure du prisme commence à se faire jour à la surface du liquide; alors les deux arêtes liquides descendantes s'appuient par leurs extrémités sur les milieux de deux côtés opposés de cette base ; puis, après la sortie complète de celle-ci, la lame qui vient l'occuper se transforme rapidement en quatre lames obliques, deux trapèzes et deux triangles, qui complètent le système. Dans le cas particulier du cube, on a ainsi le système de.la^. 71. Si la hauteur de. la charpente est plus grande que la longueur des côtés des bases, les lames obliques qui s'appuient sur ces dernières sont identiquement les mêmes que pour le cube, et les lames partant des arêtes latérales ainsi que la lame plane centrale ont simplement plus de hauteur.
Enfin, avec la charpente du prisme triangulaire, le triangle curviligne à la surface du liquide décroît plus
vite, et sannule quand la charpente n'est sortie encore que dune quantité assez petite, de manière que la pyramide triangulaire qui doit s appuyer sur la base supérieure dans le système définitif, se trouve complétée ; puis, en continuant à soulever, on voit une arête liquide droite verticale s étendre du sommet de cette pyramide à la surface du liquide, arête qui est commune aux trois lames partant des arêtes solides latérales. Les choses restent les mêmes pendant qu on soulève encore, les trois lames ci-dessus et larête liquide verticale allant seulement en augmentant de hauteur, jusqu'après la sortie de la base inférieure ; alors la lame qui se rend dans cette base se convertit instantanément en la seconde pyramide triangulaire, qui complète ainsi le système de la^^. 74; je suppose, bien entendu, que la charpente ait une hauteur suffisante pour ne pas donner le système de la fy. 77.
§ 193. Prenons actuellement une charpente symétrique autour d un axe passant par un sommet, telle que celle d une pyramide régulière, celle de loctaèdre régulier, etc. , et retirons-la par ce sommet. Il est évident que, dans ce cas, il ne saurait se former de lames occupant les faces qui aboutissent au sommet dont il s'agit, car l'espace qu'elles laisseraient entre elles et le liquide serait vide d'air; il faut donc, de toute nécessité, que les lames partant respectivement de chacune des arêtes solides se dirigent vers l'intérieur de la charpente.
S'il n'y a que trois arêtes solides se joignant au sommet en question et symétriquement disposées, comme dans le tétraèdre, ou dans le cube que l'on retirerait par un sommet, il est clair que les lames partant de ces trois arêtes solides seront unies par une arête liquide unique descendant verticalement du sommet solide à la surface
du liquide du vase, et c est ce qui a lieu en effet. Avec le tétraèdre régulier, les choses vont ainsi jusqu'après la sortie de la base, puis le système s'achève de la même manière que celui du prisme triangulaire, et donne le résultat de la^. 73.
S'il y a plus de trois arêtes solides aboutissant au sommet que Ion retire, il devra nécessairement, par le fait d'instabilité dont j'ai parlé §§ 180 et 187, se former des lames additionnelles. Prenons comme exemple l'octaèdre régulier. On comprend que les lames partant des quatre arêtes solides s'uniront, non suivant une arête liquide unique, mais suivant deux arêtes liquides partant du sommet et terminant une lame auxiliaire verticale, de manière qu'à chacune de ces dernières arêtes aboutissent trois lames faisant entre elles des angles égaux. La lame auxiliaire est destinée à former, dans le système laminaire complet, le quadrilatère supérieur (^. 75).
Jusqu'à ce que le carré, base commune des deux pyramides qui constituent l'octaèdre , sorte du liquide , l'ensemble des lames conserve la même disposition ; puis, pendant que l'on continue à retirer la charpente, on voit se produire des modifications qu'il serait un peu long de décrire, et par suite desquelles le système tend vers la forme dessinée^. 84, où les deux faces abc et a'Vc sont occupées chacune par une lame plane. Cette forme est complètement atteinte
Fig. 8i.
au moment où le sommet inférieur de la charpente sort du liquide; mais aussitôt un changement s'opère, et le système prend la forme de la Jig. 75. Bien que ce changement soit très-rapide, on peut cependant, avec une attention suffisante, et en recommençant plusieurs fois l'expérience, observer comment il se produit : les deux lames qui occupaient [Jig, 84), comme je l'ai dit, les faces ahc et a*h'Cy se relèvent vers l'intérieur de la charpente en tournant autour des arêtes solides db et a'V , et en même temps se développe, à partir du sommet inférieur, un quadrilatère d'abord très-petit, qui grandit jusqu'à ce que son sommet supérieur atteigne le centre de la charpente, et qui constitue alors le quadrilatère inférieur du système définitif; en même temps aussi les sommets y^ et ^ du quadrilatère curviligne sfgc remontent d'une certaine quantité, ce quadrilatère se raccourcit, ses arêtes
deviennent droites, et il forme enfin le quadrilatère supérieur du même système définitif. La fg. 85 représente le phénomène en voie de formation, saisi au moment où le quadrilatère qui s'accroît a acquis la moitié de sa hauteur finale. On comprendra aisément, d'après ce dessin, comment s'engendrent les quatre autres quadrilatères de la^. 75.
Pour que tous ces phénopig g5 mènes se produisent à peu près
à coup sûr, il faut retirer la charpente bien verticalement ; il faut, de plus, que cette charpente soit bien construite, que les fils de fer qui la composent aient le
moins d'épaisseur possible, et surtout qu'aux sommets do l'octaèdre, ils s'unissent d'une manière bien nette, du moins du côté qui regarde l'intérieur de la charpente.
Ainsi que je l'ai déjà dit, cette même charpente peut donner aussi des systèmes tout différents de celui de la fig, 75. Ces systèmes sont formés de lames courbes ; ils se développent surtout quand on incline légèrement la charpente en la retirant du liquide : l'un d'eux, par exemple, qui s'est montré assez souvent chez moi, contient , en son milieu , une lame hexagonale placée parallèlement à deux des faces de l'octaèdre, et ayant les côtés légèrement rentrants (§ 186) ; ces côtés sont rattachés aux sommets des deux faces ci-dessus par des lames triangulaires, et aux arêtes de ces mêmes faces par des lames trapézoïdales; en outre, les sommets de la lame dont il s'agit sont rattachés par des lames triangulaires aux autres arêtes solides.
Les différents exemples que j'ai donnés avec détails suffiront pour faire comprendre comment s'engendrent les systèmes laminaires, et pour montrer que la théorie peut rendre compte de toutes les particularités que présente cette génération.
§ 194. Si l'on a soin qu'il n'y ait point de bulles d'air à la surface du liquide du vase avant d'y plonger une charpente, le système laminaire obtenu ne présentera aucun espace fermé de tous les côtés par des lames, et ainsi toutes les lames seront en contact par leurs deux faces avec l'air libre. En effet, pendant qu'on retire la charpente , si le système , avant qu'il éprouve la modification rapide qui lui donne sa dispositon finale, contenait un espace fermé de tous les côtés par des lames, cet espace aurait dû naître et grandir à mesure du soulèvement de la charpente; or cela est
impossible, puisque lair qui devrait le remplir n aurait eu aucune issue pour y pénétrer; par la même raison, le système, dans cette période de sa génération, ne saurait présenter d'espace fermé en partie par des lames et en partie par la surface du liquide; enfin, quand s'opère la modification rapide, la lame ou les lames qui remontent alors dans le système ne trouvant point d'espace de la seconde espèce pour en achever la fermeture laminaire, le système complet satisfera nécessairement à la condition indiquée.
Insistons ici sur une autre loi, savoir que, dans le système laminaire d'une charpente quelconque, toutes les lames constituent des surfaces à courbure moyenne nulle; cela est évident puisque, d'après ce qui précède, toutes ont leurs deux faces dans l'air libre.
§ 195. Revenons aux systèmes des charpentes prismatiques. Outre les faits que j'ai exposés, ces systèmes m'en ont présenté d'autres également curieux, que je vais rapporter ici.
Le système que l'on obtient avec la charpente pentagonale de la^. 78 est, on l'a vu (§ 186), composé de lames sensiblement planes ; or si l'on considère les lames obliques qui partent de deux cotés homologues des deux bases pour s'unir à l'un des côtés de la lame pentagonale centrale, et si l'on fait attention que ces deux lames obliques doivent former entre elles un angle de 120, on verra évidemment que, pour des bases de dimensions données, une augmentation dans la hauteur du prisme entraîne une diminution dans l'étendue de la lame pentagonale centrale, et qu'il y a une limite de hauteur au delà de laquelle l'existence de cette lame est impossible. En supposant que les lames obliques soient rigoureusement planes, on trouve sans peine que la limite
dont il S agit correspond au cas où le rapport entre la hauteur du prisme et le diamètre du cercle qu'on inscrirait à la base serait égal à |/3, c est-à-dire à 1,732; mais, à cause de la petite courbura des lames ci-dessus, on n a ainsi qu'une valeur approximative ; nous connaîtrons plus loin (§ 204) la valeur exacte.
On doit naturellement se demander ce que devient le système laminaire quand cette limite est dépassée. Pour le savoir, j ai fait construire une charpente dans laquelle
la hauteur était environ 2 - fois le diamètre du cercle
inscrit, et elle m'a donné un résultat singulier : quand on la retire du liquide glycérique, comme les arêtes latérales sont en fil de fer ordinaire, toutes les faces latérales sont d'abord occupées par des lames planes, et, après la sortie complète, une lame plane se forme aussi dans la base inférieure, puis grimpe entre les autres en formant un pentagone qui va en décroissant^ tout cela comme avec la charpente de la^. 78; mais la lame pentagonale décroît beaucoup plus rapidement, puis s'annule, et, à l'instant, le système éprouve un changement brusque, en prenant une disposition bizarre qu'il serait difficile de représenter d'une manière nette par un dessin perspectif, mais dont je vais cependant essayer de donner une idée. Sur les deux bases s'appuient respectivement deux assemblages identiques rentrants, composés de Fig. «e.
cinq lames courbes, et dont l'un est représenté en projection sur le plan de la base par la^. 86; on voit qu'il y a, dans chacun d'eux, une lame pentagonale, deux lames quadrangulaires et deux triangulaires; ces
deux assemblages sont reliés entre eux par les lames qui partent des cinq arêtes latérales du prisme, et par deux autres lames intermédiaires dirigées aussi suivant la longueur de la charpente et partant des arêtes liquides àb, et bc de lun de ces mêmes assemblages pour aboutir aiix arêtes liquides homologues de lautre.
Je n'ai pas besoin de faire remarquer que la même chose se produirait encore si, au lieu de dépasser la limite indiquée, on se bornait à l'atteindre, c est-à-dire si Ton donnait au prisme la hauteur qui correspondrait précisément à la simple annulation de la lame pentagonale; en eiFet, il y aurait alors dix arêtes liquides aboutissant, au centre du système, à un même point liquide, et conséquemment lequilibre serait instable.
§ 196. Bien que, dans les systèmes laminaires des prismes à un plus grand nombre de côtés, les lames obliques doivent être notablement courbes, il me paraissait probable qu'il devait y avoir aussi, pour chacun de ces prismes, une limite de hauteur au delà de laquelle le système ne pourrait plus renfermer de lame polygonale centrale, et que cette limite devait différer peu de celle relative au prisme pentagonal. Pour vérifier la chose, j'ai essayé d'abord le prisme hexagonal, avec une charpente dont la hauteur était aussi à peu près 2 - fois le
diamètre du cercle qui serait inscrit à la base. Or, à ma grande surprise, il s'est encore formé une lame hexagonale centrale, quoique beaucoup plus petite qu'avec la charpente du § 186 ; mais le système avait subi une modification qui maintenait à l'existence de cette lame sa possibilité : les points des arêtes solides latérales d'où partaient les arêtes liquides obliques (§ 191) étaient situés beaucoup plus loin des sommets des bases, de
sorte que les choses s'arrangeaient à peu près comme si, en réalité, la charpente eût été raccourcie. Dans cette disposition , les lames partant des côtés des deux bases restent donc, jusqu'à une assez grande distance de ceux-ci, adhérentes aux arêtes latérales solides, d'où il suit que Ion doit considérer lensemble comme un système laminaire imparfait ; je dis imparfait, parce que les lames qui partent de tous les côtés d une même base sont, dans les parties qui demeurent attachées aux arêtes solides latérales, séparées les unes des autres et rendues indépendantes par ces arêtes.
§ 197. — Avec des prismes dont le nombre des faces latérales excède six, et dans lesquels, par conséquent, langle de deux faces adjacentes est supérieur à 120"*, les lames demeurent, sur une beaucoup plus grande étendue, attachées aux arêtes solides latérales. Par exemple, avec une charpente octogonale dans laquelle le rapport entre la hauteur et le diamètre du cercle inscrit à la base est à peu près le même que dans les charpentes ci-dessus, la lame octogonale centrale, au lieu d'être petite, est au contraire très-grande, et les deux arêtes liquides obliques partant de lun quelconque de ses sommets vont s'attacher à l'arête latérale solide correspondante en deux points dont la distance n'est qu'environ le sixième de la longueur de cette arête, et conséquemment un peu moins de la moitié du diamètre du cercle inscrit à la base ; dans ce cas donc, les lames qui partent de deux côtés homologues des bases, n'abandonnent les arêtes solides latérales pour se diriger vers la lame octogonale centrale qu'en approchant du milieu de la hauteur de la charpente, et, jusque-là, elles occupent, sous une forme sensiblement plane, les faces latérales du prisme.
Dans la charpente hexagonale du paragraphe précé-
dent, la distance entre les points où s'attachent à une même arête solide latérale les deux arêtes liquides partant de lun des sommets de la lame centrale, est environ le double du diamètre du cercle inscrit; dans la charpente octogonale, elle est, nous venons de le voir, un peu plus petite que la moitié de ce diamètre ; dans une charpente heptagonale, elle est, comme on devait sy attendre, intermédiaire entre ces deux valeurs, et égale à peu près aux trois quarts de ce même diamètre. J ai essayé aussi une charpente décagonale, et, dans celle-ci, la distance en question n est que le sixième du diamètre.
L'épaisseur des fils métalliques a peu d'influence sur ces faits ; seulement, avec des charpentes dans lesquelles les arêtes latérales sont en fil de fer très-fin, l'écartement des points d'attache des arêtes liquides obliques augmente un peu.
Mais une petite difficulté se présente : la direction des lames rentrantes est évidemment réglée par la nécessité que ces lames fassent entre elles deux à deux des angles de 120'', et que, d'autre part, elles s'appuient sur les côtés concaves de la lame polygonale centrale. Or, dans les charpentes que nous venons de considérer, il semble que ces conditions seraient également remplies si la lame polygonale centrale était plus petite, et si, en même temps, les lames commençaient à rentrer à partir d'une moindre distance des bases; on peut donc se demander ce qui, dans les charpentes des prismes d'un nombre de côtés supérieur à six, détermine la grande étendue de la lame centrale et le peu d'écartement des points d'attache des arêtes liquides obliques. Disons, dès à présent, que la cause réside dans un principe de minimum que nous exposerons plus loin
(§ 209) et auquel sont soumis tous les systèmes laminaires.
§ 198. Jai fait construire ensuite une charpente octogonale dont la hauteur n était que le tiers du diamètre du cercle inscrit. Alors, d après la valeur donnée plus haut pour Técartement des points dattache en question, tous ces points auraient dû être aux sommets du prisme; mais il nen était pas ainsi: ces mêmes points se trouvaient encore à une certaine distance des sommets, et leur écartement n était plus que le sixième du diamètre du cercle inscrit ; aussi la lame octogonale s était-elle encore agrandie. Le même effet s est produit avec un prisme heptagonal dont la hauteur était la moitié du diamètre du cercle inscrit, cest-à-dire moindre aussi que Técartement des points d attache évalué précédemment à l'égard des prismes de ce nombre de cotés.
Du reste, la chose a lieu même dans le prisme hexagonal, puisque (§ 191) avec une charpente de cette
espèce dont la hauteur n'était que 1 - fois le diamètre du
cercle inscrit, les points d attache des arêtes liquides obliques se trouvaient encore à une petite distance des sommets.
§ 199. L explication de ces derniers faits résulte de ce que nous avons dit à la fin du § 191 : considérons une charpente prismatique octogonale ou heptagonale assez haute pour que les lames qui partent des côtés des bases occupent sous une forme sensiblement plane des portions notables des faces latérales. Aux endroits où ces lames quittent les faces en question pour se diriger vers les cotés de la lame polygonale centrale, elles sont, nous le savons, concaves vers lextérieur dans le sens de leur largeur ; si donc on conçoit la charpente traversée par
deux plans perpendiculaires à son axe et passant par les deux séries de points où naissent, sur les arêtes solides latérales, les arêtes liquides obliques, ces deux plans couperont les lames suivant des arcs concaves vers lextérieur, et si Ion imagine ces arcs solidifiés, l'équilibre du système ne sera pas troublé. D après cela, si Ion construisait une charpente ayant pour hauteur 1 ecartement des points d attache des arêtes liquides obliques sur une même arête solide latérale, et si Ion donnait aux fils de fer qui forment les cotés des bases la courbure des arcs ci-dessus, il est clair que le système laminaire réalisé dans cette charpente aurait ses arêtes liquides obliques partant exactement des sommets; mais avec une charpente de cette hauteur ou d'une hauteur moindre et dont les côtés des bases sont droits, la condition relative aux courbures transversales des lames rentrantes, et conséquemment à la forme d'équilibre de ces lames, ne peut évidemment être satisfaite que si les points dattache des arêtes liquides obliques se placent à une certaine distance des sommets sur les arêtes solides latérales.
Les faits (jue nous venons de signaler vérifient, on le voit, ce que nous avons avancé à la fin du § 197 sur la possibilité de Téquilibre, à legard dun prisme dun nombre de côtés donné avec différentes dimensions de la lame centrale, et différents écartements des points d'attache des arêtes liquides obliques.
§ 200. Si, dans les différents systèmes que nous venons d'étudier, on compare entre elles les lames polygonales centrales, on constate que la courbure de leurs côtés va en augmentant de la lame hexagonale à la lame décagonale, ce qui constitue de nouveaux faits à ajouter à ceux du § 186 en confirmation de la loi relative aux
angles sous lesquels les arêtes liquides aboutissent à un même point liquide.
La courbure transversale des lames obliques qui se dirigent vers les cotés de la lame polygonale centrale étant liée à la courbure de ces mêmes côtés, elle doit être moindre dans le prisme heptagonal que dans loctogonal, et moindre encore dans Thexagonal ; c est à cause de la faiblesse de la courbure en question dans ce dernier prisme, qu'il donne, quand il na pas trop de hauteur, un système laminaire presque parfait, avec sa lame hexagonale.
§ 201 . En réfléchissant à la génération des systèmes laminaires, je me suis demandé si, au moins dans le prisme hexagonal, et avec la charpente du § 196, on ne réaliserait pas un système exempt de lame polygonale centrale en retirant la charpente du liquide glycérique de manière que Taxe du prisme fût horizontal, au lieu d être vertical comme dans les expériences précédentes. Jai donc fait donner à la fourche une disposition qui me permît d'agir ainsi, et j ai, en effet, réussi complètement. Bien plus, j ai obtenu deux systèmes différents, suivant que la charpente était retirée de façon que deux arêtes latérales sortissent en même temps du liquide, ou quon en fit sortir d abord une, puis simultanément ses deux voisines; ces deux systèmes sont du genre de celui qui se réalise dans une charpente pentagonale suflSsamment haute (§ 195), c est-à-dire qu'ils sont composés de deux assemblages de lames courbes obliques reliés entre eux par d'autres lames dirigées suivant la longueur du prisme. La projection de lun de ces assemblages sur le plan de la base est représentée, dans le premier mode, par la^. 87 et, dans le second, par la^. 88.
Mais ce nest pas tout; pour produire le premier de
ces deux systèmes, il faut, quand on a retiré du liquide la moitié de la charpente, achever lopération avec une très-grande lenteur; quand on agit sans cette précaution, il se forme un troisième système d'un autre genre
encore, système dont, malgré sa simplicité, il est assez difficile de donner une idée nette par une description ou par un dessin : il contient deux lames hexagonales courbes s appuyant respectivement, Fig. 87. par un de leurs côtés, sur lun de
ceux des bases, et se dirigeant obliquement vers Tintérieur de la charpente ; les autres cotés de ces hexagones
ont, comme toujours, une courbure concave ; les cotés courbes de chacun de ces mêmes hexagones sont reliés aux côtés correspondants de la base voisine et aux côtés homologues de l'autre hexagone par des lames courbes; enfin aux arêtes liquides qui pig. 88. unissent ces dernières lames deux
à deux aboutissent d autres lames partant des arêtes latérales de la charpente. Les côtés des bases sur lesquels s'appuient les deux lames hexagonales appartiennent à la face du prisme qui est sortie la première du liquide. Le prisme heptagonal donne des résultats analogues, avec une charpente ayant ses dimensions dans le même rapport. Seulement, d'abord, les trois systèmes sont imparfaits, en ce sens que, dans les deux premiers, les lames qui partent des côtés des bases demeurent, jusqu'à une certaine distance des sommets , adhérentes aux arêtes solides latérales, et que, dans le troisième, les lames qui vont des côtés courbes de l'une des lames hep-
tagonales aux cotés homologues de Tautre, sont attachées, sur la plus grande partie de leur longueur, aux arêtes solides latérales, en affectant, dans cette étendue, une forme sensiblement plane; en outre, nouvelle bizarrerie, le système fourni par le second mode est instable ; à peine formé, il commence à se modifier spontanément : les deux assemblages situés près des bases s'allongent, d abord lentement, puis de plus en plus vite, s'atteignent, et aussitôt apparaît le système imparfait avec la lame heptagonale au milieu. La projection, sur le plan de la base, de l'un des assemblages du système dû au premier mode est représentée Jig. 89; la projection relative au second mode ' n'a pu être dessinée, parce que les modifications spontanées qu'éprouve le système empêchent de bien observer celui-ci. ^'^' "•
Les faits que je viens de décrire, joints à celui que j'ai rapporté à la fin du § 193, montrent qu'avec certaines charpentes, les résultats diffèrent suivant la manière dont on retire ces charpentes du liquide glycérique.
Présumant que l'instabilité du second système de la charpente heptagonale pouvait tenir à ce que cette charpente n'avait pas assez de longueur, j'en ai fait construire une autre dans laquelle la longueur était triple du diamètre du cercle inscrit ; mais je n'ai rien gagné; en outre, les deux premiers systèmes se produisaient plus difficilement, et l'on obtenait presque toujours le troisième, c'est-à-dire celui qui contient deux lames heptagonales obliques partant respectivement de l'un des côtés des bases. Enfin, avec une charpente plus allongée encore, on n'a jamais que ce dernier système.
Quant au prisme octogonal, quelque modification qu'on ait fait subir au rapport entre sa longueur et le diamètre du cercle inscrit, il a refusé obstinément de donner autre chose que les systèmes imparfaits avec la lame octogonale au milieu ou avec les deux lames octogonales obliques, et ce dernier est aussi le seul qui se réalise quand le rapport est suffisamment grand.
§ 202. M. Van Rees, qui ma fait Thonneur de répéter mes expériences en Hollande, a trouvé, à l'égard des systèmes laminaires des charpentes prismatiques, un principe fort remarquable qu'il a bien voulu me communiquer, et que je vais exposer ici ; seulement ce principe ne sera compris sans difficulté que des personnes qui ont vu les systèmes auxquels il s'applique.
Les systèmes dont il s'agit sont du genre de ceux dont les^. 86 à 89 montrent des projections. Dans les systèmes de cette espèce, nous le savons, sur chacune des bases de la charpente s'appuie une sorte de pyramide rentrante laquelle a pour sommet de petites arêtes liquides unies entre elles, soit bout à bout en formant des angles, comme dans les^. 86 et 88, soit de manière qu'il y en ait trois aboutissant à un même point, comme dans les Jig. 87 et 89; de chacune de ces petites arêtes part, nous le savons aussi, une lame parallèle à l'axe du prisme et allant s'attacher, par son autre extrémité, à la petite arête homologue de l'autre pyramide. Or voici l'énoncé du principe de M. Van Rees :
Si n désigne le nombre des faces latérales du prisme, P le nombre des petites arêtes formant le sommet de chacune des deux pyramides rentrantes, et conséquemment aussi le nombre des lames longitudinales allant des petites arêtes de l'une des pyramides à celles de l'autre, est n — 3 ; 2° le nombre des systèmes de cette
espèce réalisables dans une même charpente est égal à celui des figures ouvertes diflPérentes qu on peut former avec les w — 3 petites arêtes, sous la condition qu'il n y en ait jamais plus de trois aboutissant à un même point. Ainsi, pour le prisme triangulaire, on an — 3 = 0, et nous savons, en effet, que, dans le système laminaire de cette charpente, le sommet de chacune des pyramides rentrantes est un simple point. Pour le prisme quadrangulaire, n — 3 est égal à 1, il y a une seule petite arête au sommet de chaque pjTamide, et conséquemment un seul système possible de l'espèce que nous considérons. Pour le prisme pentagonal, n — 3 est égal à 2, il y a deux petites arêtes, et comme on ne peut former avec celles-ci quune seule figure ouverte, savoir un angle {Jîg. 86), il ny a également qu'un seul système possible de l'espèce en question. Pour le prisme hexagonal, le principe indique trois petites arêtes, et, par suite, les figures :
il y a donc trois systèmes; j'en avais produit deux {Jig, 87 et 88), et M. Van Rees les a produits tous les trois. Pour le prisme heptagonal, le principe conduit aux figures :
doù quatre systèmes; mes expériences ne m'en avaient fourni que deux, et tous les quatre ont été obtenus par M. Van Rees. Pour le prisme octogonal, il y a au moins treize figures , et partant treize systèmes ; je n'avais réussi à en développer aucun ; M. Van Rees en a fait
naître plusieurs, et croit qu'on peut les réaliser tous, mais il pense que la plupart sont instables.
Pour provoquer la génération des systèmes dont il est question ici, M. Van Rees amène d abord le système qui contient, au milieu de sa hauteur, une lame polygonale parallèle aux bases ; puis il replonge d une petite quantité dans le liquide la base de la charpente, et la retire ensuite ; la lame plane qui va alors occuper cette base, et qui emprisonne ainsi de lair dans l'espace limité par elle, par les lames obliques et par la lame polygonale, monte en chassant cette dernière devant elle, et détermine, au milieu de la figure, une sorte de polyèdre laminaire fermé, dont les faces latérales, en même nombre que celles du prisme représenté par la charpente, sont convexes vers l'extérieur; cela fait, il crève une de ces faces latérales, et le système résultant est alors celui dans lequel les petites arêtes dont j'ai parlé constituent une ligne brisée dont tous les angles sont de même sens. Il passe ensuite de ce système à l'un quelconque des autres qui conviennent à la charpente, en soufflant sur l'une ou l'autre des arêtes liquides parallèles à l'axe, suivant le plan de l'une des lames longitudinales intérieures auxquelles cette arête appartient. 11 ajoute qu'on parvient quelquefois plus facilement au premier système de ce genre sans réaliser d'abord le polyèdre laminaire intérieur, en soufflant simplement sur l'une des arêtes de la lame polygonale.
Le principe de M. Van Rees s'applique sans doute à toutes les charpentes prismatiques, quel que soit le nombre de leurs faces latérales; mais je ne pense pas qu'on puisse pousser la vérification expérimentale au-delà du prisme octogonal, pour lequel elle est déjà difficile.
§ 203. Ce n'est pas seulement avec les charpentes
prismatiques que M. Van Rees a employé son procédé du replongement partiel; quand, après avoir obtenu le système ordinaire dune charpente quelconque, on replonge celle-ci dé quelques millimètres par lune de ses faces, puis qu on la retire, la lame qui va remplir cette face et qui monte ensuit3 entre les autres, détermine toujours la formation d'un polyèdre laminaire intérieur. Ce polyèdre a généralement le même nombre de faces que celui qui est représenté par la charpente, et ces faces sont toujours plus ou moins convexes.
On obtient souvent, de cette manière, des résultats fort jolis :
par exemple, avec la charpente cubique, le nouveau système \Jig. 90) contient, en son milieu, un cube laminaire à arêtes et à faces légèrement convexes, rattaché par ses arêtes aux lames partant des arêtes solides ; de même, avec la charpente du tétraèdre, le nouveau système présente, en son milieu, un tétraèdre laminaire à arêtes et à faces convexes ; etc. On s'explique aisément ces convexités par les lois relatives aux angles des lames et des arêtes liquides.
Les lames qui constituent les polyèdres intérieurs en question, ne sont évidemment pas à courbure moyenne nulle ; c'est qu'elles sont en contact, par une de leurs faces, avec une masse d'air limitée, et non avec l'air libre. Je reviendrai ci-après sur ces mêmes polyèdres, dont M. Lamarle a fait une étude spéciale.
Fig. »0.
M. Van Rees, qui, ainsi que nous l'avons vu, parvient à modifier certains systèmes par une action convenable du souffle, a fait une application intéressante de ce procédé au système ordinaire de la charpente cubique [Jig, 71 ) : dans ce système, la lamelle quadrangulaire centrale est, nous le savons, parallèle à deux faces opposées du cube ; mais, à cause de la symétrie de la charpente, il est évidemment indifférent, pour l'équilibre, que ce parallélisme ait lieu par rapport à un couple de faces ou par rapport à un autre ; la lamelle peut donc occuper également trois positions, et Ion comprend qu'il suffit d'une cause très-légère pour déterminer son choix. Aussi, quand on retire la charpente du liquide glycérique, trouve-t-on la lamelle en question tantôt parallèle aux faces antérieure et postérieure, tantôt parallèle aux faces de droite et de gauche, et il arrive même quelquefois qu'elle se place horizontalement. Or on peut la faire passer à volonté, et plusieurs fois de suite, de l'une de ces trois positions à une autre ; il suffit, pour cela, de souffler très-légèrement sur l'une de ses arêtes par la face de la charpente du côté de laquelle se trouve cette arête : on voit alors la lamelle se rétrécir dans le sens du souffle, se réduire à une simple ligne, puis se reproduire dans sa nouvelle position.
Par un moyen que je vais indiquer, on détermine, dans les systèmes de certaines charpentes, une modification d'un autre genre, et assez curieuse : si, après avoir réalisé le système ordinaire du cube, on crève la lamelle quadrangulaire centrale, le système prend immédiatement une disposition toute différente, et également régulière, bien qu'il présente un vide en son milieu; on amène un résultat analogue, mais avec deux vides, en crevant, dans le système de l'octaèdre [fig, 75), d'abord
le quadrilatère supérieur, puis la lame qui remplace alors le quadrilatère inférieur.
§ 204. La deuxième partie du Mémoire de M. Lamarle, Mémoire dont j'ai déjà parlé au § 158, contient, àTégard de mes systèmes laminaires, une suite de résultats dont je vais rappeler les principaux ; ces résultats concernent surtout les polyèdres laminaires intérieurs :
1° Un second procédé pour la réalisation de ces polyèdres laminaires consiste à produire d abord le système ordinaire de la charpente, puis à gonfler une bulle de grosseur convenable et à l'introduire dans ce système ; elle s'attache aux lames de celui-ci, et, quand on retire le tube qui a servi à la soufiler, elle forme aussitôt le polyèdre laminaire intérieur. On peut augmenter ou diminuer à volonté les dimensions de ce polyèdre : pour cela, on y introduit l'extrémité effilée d'un tube, après lavoir mouillée de liquide glycérique, et on souffle ou on aspire par ce tube.
2*" Dans la charpente tétraédrique, les faces du tétraèdre laminaire réalisé à l'intérieur sont de courbure sphérique, et conséquemment les arêtes de ce même tétraèdre sont de courbure circulaire ; le centre de la sphère à laquelle appartient l'une quelconque des faces, est situé au sommet opposé; enfin le centre de la circonférence à laquelle appartient l'une quelconque des arêtes, est situé au milieu de la corde de l'arête opposée.
3° Dans la charpente du prisme triangulaire, quand le rapport entre la hauteur du prisme et le côté de la base est compris entre certaines limites, on peut, à volonté, par des manœuvres convenables, obtenir, au milieu de la figure résultant d'une seule immersion , une lame triangulaire parallèle aux bases ou une arête liquide parallèle aux arêtes latérales. Entre certaines limites aussi, on peut
développer un prisme triangulaire intérieur, mais les faces de celui-ci ne sont jamais de courbure sphérique.
4'' Dans la charpente cubique, les faces de l'hexaèdre laminaire intérieur sontde courbure sphérique, et le rayon des sphères auxquelles elles appartiennent est égal à une fois et demie la droite qui joindrait deux sommets opposés de l'une d elles.
5° Dans la charpente du prisme pentagonal, pour que le rapport entre la hauteur et le diamètre du cercle qu'on inscrirait à la base corresponde précisément à l'annulation de la lamelle polygonale centrale, il faut que ce
l/2 rapport soit égal à — ===== 1,618.
Avec cette même charpente, quand le rapport est très-peu inférieur à la limite ci-dessus, on peut obtenir, ad libitum, dans le résultat d'une seule immersion, ou bien une lame pentagonale très-petite au milieu de la figure, ou bien l'autre système, c'est-à-dire celui qui présente des espèces de pyramides rentrantes s'appuyant sur les bases. Quant au polyèdre laminaire intérieur, il ne prend des faces de courbure sphérique que dans certaines conditions de volume.
6'' Dans la charpente du dodécaèdre régulier, le dodécaèdre laminaire intérieur a ses faces de courbure sphérique, mais d'un très-grand rayon.
7° Dans tous les systèmes ci-dessus avec polyèdre laminaire intérieur, quand les faces de celui-ci sont de courbure sphérique, toutes les lames qui s'étendent de ses arêtes à celles de la charpente, sont planes, et conséquemment toutes les arêtes liquides qui joignent ses sommets à ceux de la charpente, sont droites.
8° A l'égard de la charpente octaédrique, un artifice de raisonnement conduit à priori à cinq systèmes diffé-
rents, systèmes qui sont très-probablement les seuls possibles, et dont je n'avais bien observé que deux (§§ 185 et 193); les trois autres contiennent respectivement, en leur milieu, une lame pentagonale, une lame quadrangulaire trapézoïdale, et une lame quadrangulaire équilatérale. Tous ces systèmes se réalisent à volonté, et on peut les faire passer, également à volonté, des uns aux autres. Dans celui qui na que des lames planes [flg. 75), les dimensions des différentes parties ont entre elles et avec les dimensions de la charpente, des rapports numériques fort simples ; j'en ai signalé un au § 185.
La théorie convenablement traitée indique, dans ce même système à lames planes, la possibilité de quinze polyèdres intérieurs différents ; elle les fait dériver les uns des autres, et le tout se vérifie par lexpérience.
Q"* Quand on réalise lun de ces polyèdres intérieurs, on voit se former six petites lames triangulaires qui y aboutissent ; en crevant deux ou quatre de ces lamelles, on obtient des systèmes d'un genre particulier, et qu'on peut nommer incomplets. Pour trois de ceux-ci, qui résultent de la disparition de deux lamelles opposées, les polyèdres intérieurs, primitivement octaédriques, sont devenus des hexaèdres, et ont des formes très-élégantes ; la disparition de deux autres lamelles opposées transforme l'un de ces hexaèdres en un tétraèdre d'un aspect curieux à raison du contournement de ses faces.
§ 205. J'ai désigné comme imparfaits (§ 196) les systèmes dans lesquels des lames demeurent, sur une partie de leur étendue, adhérentes à la fois à deux arêtes solides. Les systèmes qui ne présentent pas cette circonstance, je les appelle parfaits parce que toutes les lames y dépendent complètement les unes des autres ; sauf quelques cas exceptionnels très rares, on obtient
ces systèmes parfaits dans les charpentes des polyèdres dont tous les angles dièdres sont inférieurs à 120*" : par exemple, ainsi que nous lavons vu, dans celles du tétraèdre, du cube, de loctaèdre, et des prismes dont le nombre des faces latérales est moindre que six ; la charpente du dodécaèdre régulier, polyèdre dont les angles dièdres ne sont que de 116" et une fraction, donne également un système parfait.
Lorsqu on a retiré du liquide glycérique la charpente d'un polyèdre dont tous les angles dièdres sont, au contraire, supérieurs à 120'*, on trouve toujours simplement chacune des faces, moins une, remplie par une lame plane ; la face qui fait exception demeure vide ; c est qu il faut une ouverture pour lentrée de lair. Ce ne sont pas là de véritables systèmes laminaires, puisque toutes les lames y sont rendues indépendantes les unes des autres par l'intermédiaire des fils solides ; nous pouvons donc les nommer systèmes nuls : ils se produisent, par exemple, avec la charpente de Ticosaèdre régulier, où les angles dièdres sont de 138" et une fraction, avec celle de lensemble de deux pyramides hexagonales ou d un plus grand nombre de côtés, réunies par leurs bases, et telles qu aux arêtes de la base commune les angles dièdres surpassent 120'', etc.
Cependant quand tous les angles dièdres dépassent peu 120", on obtient, dans quelques cas, un système laminaire réel : c est ce qui a lieu, par exemple, avec la charpente du polyèdre formé en abattant les sommets d un cube par des sections équilatérales qui se joignent, de manière qu'il n y ait que des faces triangulaires et des faces carrées. Mais, dans ce polyèdre, tous les angles dièdres ne sont que d environ 125" ; d ailleurs le système laminaire réel et symétrique se produit avec difficulté, et
seulement quand on retire la charpente par une face triangulaire ; quand on la retire par une face carrée, elle donne toujours un système nul.
§ 206. Dans le Mémoire que j ai déjà cité (§ 187), Brewster indique un procédé curieux pour la production des systèmes laminaires de plusieurs charpentes : celle sur laquelle on veut opérer étaût préalablement mouillée de liquide glycérique, mais ne contenant aucune lame, on gonfle, dans son intérieur, une grosse bulle, qui s attache à lensemble des arêtes solides, de manière que chacune des faces se trouve occupée par une lame, puis on crève lune de ces lames, et le système ordinaire apparaît aussitôt. Outre le spectacle singulier de cette transformation instantanée, le procédé de Brewster offre ainsi l'avantage de réaliser les systèmes laminaires en n'exigeant qu'une fort petite quantité de liquide. Je dois avertir que j'ai vainement essayé ce procédé avec mes charpentes ; il est probable que celles de Brewster avaient des dimensions beaucoup moindres ; mais voici un autre procédé qui n'exige également que peu de liquide, et qui m'a donné un plein succès ; je Tai employé avec les charpentes du cube et des prismes hexagonal et pentagonal, et je ne doute pas qu'il ne convienne aussi pour celles de tous les polyèdres dont aucun angle dièdre n'excède 120: on verse le liquide glycérique dans une petite assiette, où il peut ne former qu'une couche de quelques millimètres d'épaisseur; puis, si l'on veut, par exemple, réaliser le système du cube, on plonge successivement dans le liquide les quatre faces latérales de la charpente, de sorte que chacune d'elles se trouve occupée par une lame plane ; enfin on plonge et l'on retire également la base, et le système s'achève aussitôt de lui-même. S'il s'agit d'un prisme, on remplit pareillement, les unes
après les autres, toutes les faces latérales et la base. Je rappellerai ici que les arêtes de ma charpente cubique ont 7 centimètres de longueur.
§ 207. Les systèmes laminaires variant avec la forme des charpentes, on peut imaginer des polyèdres de fantaisie, choisis de manière que tous leurs angles dièdres soient moindres que 120, en faire construire les charpentes, et les essayer, dans un simple but de curiosité, pour observer les systèmes qui sy produisent. On obtiendra souvent, de cette manière, des résultats fort jolis.
§ 208. Après avoir mentionné (§ 172) lexpérience de mon fils relative à leflfet de la chaleur sur la tension des lames liquides, j ai dit que j en ferais connaître une autre ; la voici :
On développe le système de la charpente cubique, puis on introduit l'extrémité fortement chauffée d une baguette de verre dans l'espèce de pyramide creuse formée par les lanaes qui partent des quatre arêtes de lune des faces du cube, et Ion choisit Tune des pyramides dont le fond est une arête de la lamelle centrale ; aussitôt on voit cette lamelle diminuer d'étendue. C'est que, par suite de la position de la baguette, la lamelle s'échauffe moins qu'une partie des lames environnantes, et conserve ainsi un excès relatif de tension. On ne peut attribuer l'effet à la dilatation des lames les plus chauffées, car, si toutes les tensions demeuraient égales, la forme du système ne pourrait évidemment se modifier; les lames qui tendraient à se dilater enverraient seulement une portion de leur liquide dans la lamelle centrale.
J'ajouterai ici une expérience étrangère à l'action de la chaleur. Je m'étais dit que si l'on pouvait réaliser
un système dont une partie des lames fussent formées d'un liquide et lautre d un autre liquide à tension différente, le système ne pourrait plus satisfaire à mes lois quant à l'égalité des angles entre les lames et entre les arêtes liquides. Une telle réalisation est sans doute impossible d'une manière complète, mais on peut en approcher par le moyen suivant : on produit encore le système de la charpente cubique, et on le pose de manière que la lamelle centrale soit horizontale. Cela fait, si Ion introduit au milieu de cette lamelle lextrémité dun petit pinceau imbibé de liquide glycérique, la lamelle n éprouve aucun changement; mais si le pinceau est imprégné d'un liquide à tension plus forte, on voit la lamelle se contracter très-notablement. Jai obtenu le meilleur résultat avec une solution d albumine préparée simplement en battant un blanc d'œuf, puis laissant la mousse se convertir partiellement en liquide : la lamelle qui, dans ma charpente, a environ 13™"" de dimension dans les deux sens, se resserre alors jusqu'à n avoir plus que S""""; quand on enlève le pinceau, elle, reprend rapidement 9™'", puis semble rester en cet état pendant quelques secondes, après quoi elle revient lentement à ses dimensions originaires.
Dans cette expérience, le liquide du pinceau se répand plus ou moins sur la lamelle, de sorte que la portion qui en est recouverte possède la tension appartenant à ce même liquide, tension qui ne peut plus être équilibrée, sans modification du système, par les tensions des autres lames. On verra (§§ 258 et 299) que la solution d'albumine a effectivement une tension de beaucoup supérieure à celle du liquide glycérique.
Un liquide de moindre tension que celui qui constitue le système doit déterminer, au contraire, un agrandisse-
ment de la lamelle, et c'est ce que j'ai également constaté : le système laminaire a été réalisé avec la solution d'albumine, dans une charpente cubique de 5 centimètres de côté; on a déposé sur la lamelle centrale une gouttelette de solution de savon, liquide dont la tension est sensiblement égale à celle du liquide glycérique ; aussitôt la gouttelette s'est étendue de manière à remplacer, dans la lamelle, la solution d'albumine, et, en même temps, cette lamelle a pris un accroissement notable.
§ 209. Envisageons maintenant les systèmes laminaires sous un point de vue plus général.
La tension constituant un effort incessant pour diminuer l'étendue des surfaces liquides, il s'ensuit que, dans tout système laminaire, la somme des aires des lames doit être un minimum.
C'est donc là un principe qui régit la constitution de tous ces systèmes.
§ 210. Lorsque j'ai posé ce principe, en 1861, à la fin de ma 6°*® Série, je comprenais qu'il existe une dépendance nécessaire entre ce même principe et les lois que j'avais trouvées (§ 184) relativement aux nombres des lames unies par une même arête liquide et des arêtes liquides aboutissant à un même point liquide, ainsi qu'aux angles des lames entre elles et des arêtes entre elles; mais je ne pouvais saisir cette dépendance, et il me paraissait à peu près impossible de la découvrir.
Or, dans la première partie du Mémoire dont j'ai résumé plus haut (§ 204) la deuxième, M. Lamarle a repris la question, et en a résolu toutes les difficultés avec une sagacité merveilleuse et un rare bonheur.
Il commence par établir plus nettement que je ne l'avais fait le principe du minimum de la somme des aires ; puis, partant de là, il s'occupe des lames aboutis-
sant à une même arête liquide. Il imagine un nombre quelconque de lames planes partant d arêtes solides et se joignant toutes suivant une arête liquide commune, et il coupe l'ensemble par un plan perpendiculaire à celle-ci. La section se composant de droites partant respectivement de points fixes et aboutissant toutes à un même point, il démontre d'abord, par des considérations de géométrie élémentaire, que si les droites sont au nombre de trois, leur somme sera un minimum quand elles feront entre elles des angles égaux. Si les droites sont plus nombreuses, il démontre, toujours par des considérations aussi simples, que, pour avoir une somme minima d une manière absolue, il faut substituer au point de concours unique plusieurs points de concours reliés entre eux par des droites additionnelles, de telle façon qu'à chacun de ces points il n'y ait que trois droites faisant entre elles des angles égaux. Enfin, la diminution de la somme des droites commençant dès l'origine de ces modifications, c'est-à-dire, dans le cas de plus de trois droites, par exemple, dès que le point de concours se dédouble pour donner naissance aux droites et aux points additionnels, il s'ensuit que la démonstration s'applique également à des lignes courbes, car on peut toujours remplacer celles-ci par leurs tangentes dans le voisinage immédiat du point de concours. M. Lamarle fait voir alors que tous ces résultats s'étendent aux lames elles-mêmes, planes ou courbes, dont l'ensemble est coupé par le plan dont il s'agit ; c'est-à-dire que le minimum de la somme des aires exige que ces lames se joignent trois à trois, sous des angles égaux, à chaque arête liquide. '
Ainsi se trouvent complètement démontrées et déduites du principe du minimum deux des lois rappelées plus haut.
M. Lamarle passe ensuite à la question des arêtes liquides concourant en un même point liquide. Pour la traiter, il imagine que des lames liquides planes aboutissent toutes à un même point de Tintérieur du système, et il cherche les conditions que devront remplir ces lames pour qu elles puissent se joindre trois à trois sous des angles égaux, conformément aux lois précédentes. 11 considère le point qui leur est commun comme le centre d une sphère, qu elles viennent ainsi couper suivant des arcs de grands cercles ; on a de cette manière un certain nombre de pyramides creuses ayant pour sommets un même point, et, pour bases, des polygones sphériques dont tous les angles sont de 120'. M. Lamarle fait d abord remarquer que ces polygones ne peuvent être que des triangles, des quadrilatères et des pentagones, ce qui lui fournit une relation analytique entre les nombres respectifs de ces différents polygones et le nombre total des lames; il en trouve une autre par la condition que la somme des surfaces de ces mêmes polygones doit représenter la surface totale de la sphère; enfin tous les polygones dont il s agit doivent être simplement juxtaposés, sans empiétements des uns sur les autres en certains endroits et vides entre eux en d autres endroits. Au moyen de ces trois conditions, M. Lamarle trouve qu'il ny a que sept assemblages possibles de lames partant d'un même point et se joignant trois à trois sous des angles égaux.
Si, dans chacun de ces assemblages, on remplace les côtés des polygones sphériques par leurs cordes, on a lensemble des arêtes d'un polyèdre, et les sept polyèdres ainsi formés sont : le tétraèdre régulier; le prisme triangulaire drait à base équilatérale, avec un rapport déterminé entre la hauteur et le côté de la base; le cube;
le prisme pentaf^onal droit à base régulière, avec un rapport déterminé entre la hauteur et le côté de la base; deux polyèdres particuliers composés de quadrilatères et de pentagones; enfin le dodécaèdre régulier. Dans l'intérieur de ces polyèdres, les nombres des arêtes liquides sont respectivement 4, 6, 8, 10, 12, 16 et 20.
Or M. Lamarle démontre que, pour chacun de ces systèmes, à lexception de celui du tétraèdre régulier, on peut toujours concevoir un mode de déformation d où résulte, à partir de son origine jusqua une certaine limite, une diminution de la somme des aires des lames ; la disposition qui a lieu dans le système du tétraèdre régulier, cest-à-dire quatre arêtes liquides aboutissant à un même point liquide sous des angles égaux, est donc la seule qui puisse se maintenir; celles des six autres systèmes, si elles pouvaient être réalisées, se modifieraient évidemment à l'instant même, pour atteindre la condition du minimum. Ainsi, quand les lames sont planes, les arêtes liquides qui se joignent en un même point liquide sont nécessairement au nombre de quatre, et font entre elles des angles égaux. Enfin M. Lamarle fait voir que la même conclusion s'applique aux lames courbes, et, par suite, aux arêtes courbes; en etfet, rien ne limite la petitesse de la sphère mentionnée plus haut, et conséquemment on est maître de supposer cette sphère assez minime pour que les portions de lames comprises dans son intérieur puissent être considérées comme planes.
Les deux lois concernant les arêtes sont donc démontrées par M. Lamarle aussi cofiiplétement que celles qui concernent les lames, et également déduites du principe du minimum.
Ajoutons que les moles (]e déformation supposés par
374 SYSTÈMES LAMINzVIRES.
M. Lamarle, et qu'il parvient, au moyen d'une conception ingénieuse, à faire rentrer tous dans un même principe, sont précisément ceux qui conduisent aux résultats réels, c est-à-dire aux systèmes permanents que donnent les charpentes en fil de fer.
§ 210^'. Dans une conférence donnée à Prague en 1868, et publiée en 1872 (voir le N- 26 du § 508), M. Mach a décrit le fait suivant : on emprisonne dans une mince membrane de caoutchouc la charpente du tétraèdre régulier, et Ion substitue au fil de fer de suspension partant de lun des sommets, un tube étroit qui communique avec l'espace intérieur, puis on extrait l'air par ce tube ; on voit alors les faces membraneuses se creuser de plus en plus, les deux parties de la membrane qui s'appuient sur un même fil solide s'appliquer l'une contre l'autre, et l'on obtient enfin le système laminaire avec ses quatre arêtes aboutissant au centre.
Pour expliquer la tendance des surfaces liquides vers un minimum d'étendue, M. Mach émet une idée fort simple : les molécules de la surface d'un liquide sont attirées vers l'intérieur par celles qui sont situées plus profondément; de là une tendance de ces molécules superficielles à pénétrer dans l'intérieur de la masse ou de la lame ; mais, à mesure qu'une partie d'entre elles quittent ainsi la surface, celle-ci s'amoindrit, et le phénomène s'arrête nécessairement lorsqu'elle est devenue un minimum. Cette théorie, on le voit, a beaucoup d'analogie avec celle qu'a présentée M. Lamarle (§ 160) pour expliquer la tension.
