TENSION A LA SURFACE COMMUNE

Mercure et eau

Mercure et huile d'olive. . . .

Mercure et essence de térébenthine

Sulfure de carbone et eau . . .

Huile d'olive et eau

Huile d'olive et alcool ....

Huile d'olive et alcool dilué de densités à fort peu près égales.

Dans le cas de Thuile d olive et de l'alcool dilué de même densité, le procédé ne paraît pas applicable; l'extrait que nous résumons n'est pas suffisamment explicite sur le moyen auquel l'auteur a eu recours pour lever la difficulté (l).

M. Quincke tire encore de la même méthode l'évaluation de la tension à la surface libre des liquides qui mouilleraient la surface solide sur laquelle on les déposerait. Pour cela, il fixe, à une certaine hauteur dans le liquide, une plaque de verre horizontale, sous laquelle il fait passer une grosse bulle d'air; celle-ci saplatit contre la face inférieure de la plaque, et, si l'on mesure alors les distances K et k k cette plaque.

(1) Voir le Mémoire in extenso indiqué sous le n<> 2 au ^ 508.

to

il suffit de supprimer (t, dans la formule et de faire abstraction du signe, pour avoir le résultat cherché. L'auteur obtient ainsi, par exemple, pour la tension de leau à 20% la valeur 8,253.

Il reprend ensuite la recherche de la tension à la surface commune de deux liquides, et il indique trois autres méthodes mais moins générales que la première ; deux d entre elles reposent, comme celle de Mossotti sur la mesure de l'élévation ou de rabaissement de la surface de contact des deux liquides quand ceux-ci sont superposés dans un même tube capillaire.

M. Quincke cherche aussi la condition nécessaire pour qu'un liquide s'étale en lame mince sur un autre, et arrive à une loi qui coïncide encore avec celle de M. Marangoni(^).

§ 170. Les recherches successives dont l'analyse est exposée dans ce qui précède, fournissent donc ces résultats généraux :

1° La tension existe bien réellement dans toute surface liquide, et, par suite, dans toute lame liquide.

2** Cette tension est indépendante des courbures de la surface ou de la lame, elle est la même dans toute rétendue dune même surface ou dune même lame, et la même aussi, en chaque point, dans toutes les directions tangentielles autour de ce point.

3** Elle est indépendante de l'épaisseur des lames, du moins tant que cette épaisseur n est pas inférieure au double du rayon d activité sensible de l'attraction moléculaire.

4° Elle varie avec la nature des liquides.

(l) Pour les recherches postérieures à 1869, voir les articles inscrits au § 508 sous les n" 3, 4, 6, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 23, 27, 28, 29, 31, 83, 34, 36, 39, 40, 41, 44 et 45.

5"^ Pour un même liquide, elle varie en sens inverse de la température; mais, aux températures ordinaires, elle éprouve peu de changements.

6" On possède un grand nombre de procédés pour la mesure expérimentale de la tension, et chacun de ces procédés conduit à une expression de la tensioïi en fonction des données de lexpérience. Le plus commode est sans contredit le premier de Dupré, c'est-à-dire celui de laréomètre.

7^ Quant à la cause de la tension, quatre hypothèses ont été proposées : en premier lieu, celle de Segner, que je n ai pas bien comprise, et suivant laquelle la tension proviendrait de lattraction mutuelle des molécules de la couche superficielle dans le sens tangentiel et de la courbure de cette couche ; en second lieu, celle qui est commune à Mossotti, au D*" Hough et à Dupré, et qui fait dépendre la tension de la non-symétrie des actions moléculaires dans l'épaisseur de la couche superficielle, avec de légères différences dans la manière d'envisager cette non-symétrie; en troisième lieu, celle de M. Hagen, qui attribue la tension à une densité plus grande de la couche superficielle ; enfin celle de M. Lamarle, qui considère la tension comme due à ce que, par une contraction de la couche superficielle, une portion des molécules de cette couche passant dans l'intérieur et diminuant ainsi d'écartement, la tendance générale de l'attraction au rapprochement des molécules se satisfait en partie.

§ 171. Selon moi, la vraie cause de la tension, si elle n'est pas énoncée d'une manière tout à fait explicite, est du moins suffisamment indiquée par MM. Henry et Lamarle dans leurs démonstrations de l'existence de la tension par les sphères laminaires (§§ 151 et 158). Il est

incontestable, depuis le travail de Laplace, que, si Ion considère seulement leffet des courbures, une couche superficielle convexe exerce sur le liquide une pression normale en chaque point, et une couche superficielle concave exerce, au contraire, une traction normale aussi en chaque point; mais, dans letat d équilibre, cette pression ou cette traction lutte contre une résistance provenant en général d'actions hydrostatiques ; or il est visible qu une couche superficielle courbe ainsi pressant ou tirant et qui rencontre une résistance opposée, doit être tendue, comme lest une vessie gonflée qui presse sur lair intérieur, ou, en d'autres termes, que les molécules de cette même couche doivent être dans un état d'écartement forcé suivant le sens tangentiel. Si Ion veut, cest la réciproque de la théorie de Young : celui-ci suppose la tension, et fait voir que les tractions tangentielles qu elle détermine autour d un même point donnent pour résultante une pression normale si la surface est convexe, et une traction normale si la surface est concave ; or, comme la montré Laplace, cette pression ou cette traction existe par le seul effet des attractions moléculaires; on peut donc la décomposer, autour de chaque point, en tractions tangentielles, lesquelles constituent une tension.

Poisson paraît avoir eu une opinion analogue ; dans le préambule de sa Nouvelle théorie de V action capillaire^ rillustre géomètre dit, en parlant de Young :

« Il s appuyait sur Tidentité de la surface du liquide avec celle d une membrane également tendue en tous ses points, identité qui ne peut être que la conséquence et non le principe de la solution du problème. »

La tension est donc un résultat nécessaire des courbures, et Ion comprend cependant qu elle soit indépen-

dan te des valeurs de ces courbures. En effet, considérons, pour simplifier, en un point d une section normale d'une surface liquide convexe, les deux composantes tangentielles et la partie élémentaire de la pression qui leur donne naissance. Si la courbure diminue, par exemple, cette partie de la pression diminue en même temps; mais, d autre part, langle entre les deux composantes augmente, de sorte que ces composantes, ou tensions élémentaires, peuvent conserver la même valeur quavec la première courbure. Si la courbure diminue jusqu'à sannuler, la partie envisagée de la pression s'annule aussi, et les deux composantes se trouvent dans le prolongement l'une de l'autre ; il y a donc alors indétermination; c'est le cas des surfaces liquides planes, et Ton est en droit de se demander comment la tension s'engendre dans de semblables surfaces. Mais il faut remarquer que celles-ci sont toujours limitées par des portions à fortes courbures transversales : c'est ce qui a lieu, par exemple, au bord de la surface d'un liquide contenu dans un vase, et c'est encore avec l'intermédiaire de petites portions de ce genre qu'une lame liquide adhère par son bord à la surface d'un liquide, à un fil solide, ou à d'autres lames. Bien que, dans ces deux derniers cas, les portions dont il s'agit soient si étroites qu'elles échappent pour ainsi dire à la vue, on comprend, à priori, la nécessité de leur existence; en etfet, les faces d'une lame ne peuvent aboutir brusquement à la couche qui mouille le fil solide; elles doivent évidemment se recourber près de cette couche, pour y aboutir tangentiellement, et le même fait doit se produire le long de la ligne suivant laquelle une lame adhère à d'autres lames; nous décrirons d'ailleurs (§219) des expériences où la chose se montre aux yeux. Maintenant, la tension

que possèdent, par suite de leurs courbures, ces portions de raccordement, doit, en vertu de la continuité, se propager à toute rétendue des surfaces qu elles bordent. Cette explication m a été suggérée par M. Lamarle.

§ 172. Jai annoncé (§ 161) des expériences curieuses relatives à leffet de la chaleur sur la tension des lames liquides; en voici une qui est due à mon fils Félix ; j en rapporterai une autre au § 208 :

Une bulle de liquide glycérique d'un décimètre de diamètre étant déposée sur un anneau, on attend qu elle ait pris, au moins à son sommet (§ 108), une teinte autre que le rouge ou le vert des derniers ordres ; alors il suffit d approcher avec précaution le bout du doigt aussi près que possible de ce sommet, pour voir la teinte de ce même sommet se modifier sur un espace de trois à quatre centimètres de diamètre, de manière à accuser un amincissement : si, par exemple, le sommet est jaune, il passe au vert; quand le doigt est assez chaud, il y a quelquefois production de deux teintes successives ; enfin dès qu on enlève le doigt, la teinte originaire reparaît. C est à cette expérience que j ai fait allusion à la fin du § 165.

§ 173. Nous allons maintenant nous occuper d'un ordre de faits intimement liés à la tension ; je veux parler de la constitution des systèmes de lames.

Commençons par un cas très-simple : on sait que lorsqu'une bulle d air qui monte dans un liquide arrive à la surface de celui-ci, elle ne brise pas immédiatement cette surface, mais y soulève une lame en forme de calotte sphérique ; et si le liquide est du liquide glycérique, la calotte laminaire ainsi engendrée persiste longtemps. Or, imaginons qu'une seconde bulle d'air s'élève du fond du vase, et qu'au moment où elle est près

d'atteindre la surface, elle se trouve en partie sous la première lame ; elle déterminera aussi la formation d'une lame, qui soulèvera nécessairement la première d'un côté, de sorte que les deux quantités d'air respectivement emprisonnées par ces deux lames seront séparées par une portion de la seconde, comme par une cloison liquide. Mais cette cloison ne gardera pas la courbure du reste de la seconde lame, ainsi que je vais le faire voir.

En vertu de leur nature liquide, des lames ne peuvent évidemment se rencontrer sous des angles à arêtes linéaires : il faut, pour la continuité (§ 171), qu'il se forme, tout le long de la ligne de rencontre, une petite masse à surfaces fortement concaves dans le sens perpendiculaire à cette même ligne; dans le cas dont il s'agit, cette masse est trop minime pour être distinguée, mais, ainsi que je l'ai déjà annoncé, nous en vérifierons plus loin l'existence ; or les deux calottes et la cloison étant ainsi unies par une petite masse qui a ses courbures propres, il est clair que cette petite masse établit une entière indépendance entre les courbures respectives des trois lames.

Cela étant, remarquons que la cloison doit constituer aussi une portion de sphère, car elle se trouve dans les mêmes conditions que les deux autres lames, c'est-à-dire qu'elle a, comme celles-ci, pour limites la petite masse de jonction et le liquide du vase. Quant à sa courbure, elle dépend évidemment de la différence des actions exercées sur ses deux faces par les deux portions d'air emprisonnées. Si ces deux portions d'air sont égales, les deux lames appartiendront à des^ sphères égales, qui presseront les deux volumes d'air avec la même intensité, et conséquemment la cloison, soumise sur ses deux faces

à des actions égales, n'aura aucune courbure, ou, en d'autres termes, sera plane ; mais si les deux quantités d'air sont inégales, auquel cas les deux lames appartiendront à des sphères de diamètres ditférents, et, par suite, presseront inégalement ces deux quantités d'air, la cloison sollicitée sur ses deux faces par des actions inégales, se bombera du côté où l'élasticité de l'air est la moindre, jusqu'à ce que l'effort qu'elle exerce, en vertu de sa courbure, du côté de sa face concave, contrebalance l'excès d'élasticité de l'air qui baigne cette face. Soient /?, / et r les rayons des sphères auxquelles appartiennent respectivement la plus grande lame, la plus petite et la cloison, et soient ^, p' et q les pressions respectives qu'elles exercent, en vertu de leurs courbures, sur l'air qui baigne leurs faces concaves. Ces pressions étant (§§ 116 et 121) en raison inverse des diamètres, et conséquemment des rayons, on aura :

- — — aif — =-T ,

HP dp

mais, d'après ce que nous avons vu plus haut, il faut, pour l'équilibre, que l'on ait :

d'où

S î Portant dans cette dernière équation les valeurs ci-dessus

de - et de - , et résolvant par rapport à r, il vient :

r PPL

formule qui donnera le rayon de la cloison, quand on connaîtra ceux des deux lames.

Si, par exemple, ces deux lames appartiennent à des sphères égales, on a /? = /, et la formule donne r = l'infini ; c est-à-dire qu alors la cloison est plane, ainsi que nous lavons déjà trouvé. Si le rayon de la plus petite des deux lames est moitié de celui de la plus

grande, en d autres termes, si Ton a ?' = ôP' ^^ formule

donne r = /? ; dans ce cas, la courbure de la cloison sera conséquemment égale à celle de la plus grande lame.

Pour compléter Tétude de notre système laminaire, il ne nous reste plus quà chercher sous quels angles se joignent les deux calottes et la cloison ; or ces trois lames possédant des tensions identiques (§ 170), et tirant ainsi leur arête commune avec des forces égales, il est clair qu elles doivent faire entre elles, à cette arête, des angles égaux, angles qui sont conséquemment de 120\ Je fais ici, bien entendu, abstraction de la petite masse de jonction, à cause de son extrême exiguité.

Nous verrons bientôt tous ces résultats vérifiés par l'expérience.

§ 174. Si la bulle d'air qui fait naître la seconde lame aboutit à la surface du liquide assez loin de la première lame pour que les deux calottes sphériques soient complètes et isolées, ou bien, ce qui revient au même, si Ton dépose sur le liquide deux bulles suffisamment éloignées lune de l'autre, bulles qui se transforment aussitôt en calottes sphériques, ces dernières, sollicitées par les actions capillaires à la mianière des corps légers flottants, se rapprocheront par degrés jusqu'au contact, du moins si elles n étaient pas séparées originairement par un trop grand intervalle. Pour faire comprendre ce qui doit arriver ensuite, rappelons un fait que manifestent, au sein de mon mélange alcoolique, les sphères d'huile

pleines. Lorsque deux semblables sphères viennent à se toucher, leur ensemble nest point à letat d'équilibre; aussitôt le contact établi, les deux sphères s'unissent pour n en former qu'une seule, et il est facile d en saisir la raison : on ne saurait produire ce contact en un point unique ; il a lieu nécessairement suivant une petite surface, de sorte que les deux masses n'en forment plus qu'une en réalité ; or puisque celle-ci est finie et entièrement libre, et qu'elle est de révolution, la seule figure d'équilibre qu'elle puisse affecter est (§§ 37 et 78) celle d'une sphère unique. Maintenant il est visible que la même chose doit tendre à se produire à l'égard de nos deux calottes sphériques laminaires, dès que les deux petites masses annulaires à surfaces concaves dans le sens méridien qui régnent le long de leurs bases et les rattachent au liquide, se sont unies à l'endroit de leur contact, c'est-à-dire que les deux calottes tendront à n'en former qu'une seule ; mais pour que cette tendance pût avoir son plein effet, il faudrait que les deux lames s'ouvrissent à l'endroit du contact, et comme la cohésion s'y oppose, on comprend que l'ouverture sera remplacée par une cloison, et qu'ainsi le système se coordonnera comme celui du paragraphe précédent.

§ 175. L'existence des cloisons est un fait bien connu de tous ceux qui se sont amusés à faire des bulles de savon; mais j'avais à soumettre au contrôle de l'expérience les résultats établis dans ce qui précède, et d'abord ceux qui concernent la courbure de la cloison et les angles sous lesquels cette cloison et les deux lames se coupent.

Dans ce but, j'ai fait tracer, sur trois feuilles de papier, trois figures représentant les bases de trois systèmes formés chacun de deux portions de sphères

laminaires et d une cloison. J entends par la base d'un semblable système lensemble des arcs de cercle suivant lesquels il s appuie sur la surface du liquide, abstraction faite des petites masses annulaires. Voici par quelle méthode on a tracé les dessins dont il s agit :

Supposons deux lames formant primitivement deux sphères complètes, sphères qui se sont ensuite en partie pénétrées de manière à donner lieu à une cloison, et imaginons tout ce système coupé par un plan passant par les centres des deux lames ; il est clair que le centre de la sphère à laquelle appartient la cloison se trouvera sur la droite qui contient les deux centres ci-dessus.

Cela posé, les angles sous lesquels les deux lames et la cloison se rencontrent devant être de 120*", il est visible que les rayons des deux lames menés à un point de la ligne d'intersection de celles-ci feront entre eux un angle de 60', et Ion verra aussi sans peine que le rayon de la cloison mené au même point fera également un angle de GO» avec celui des deux autres dont il est

Fig. 61.

le plus près. Soit donc (^. 61) p lun des deux points où viennent aboutir les trois arcs suivant lesquels les

deux lames et la cloison sont coupées par le plan en question, plan que nous prendrons pour celui de la figure, et soit pc=p le rayon de la' plus grande lame. Menons les droites indéfinies j97;^ et pn de telle manière que les angles cpm et mpn soient chacun de 60*. Sur pm prenons pc' égale à /, c est-à-dire au rayon de la plus petite lame; joignons cc\ et prolongeons la droite jusqua sa rencontre, en d, avec pu. Les trois points c, c' et d seront évidemment les trois centres, et pd sera le rayon r de la cloison, de sorte que si, de ces trois centres et avec ces rayons, on trace trois portions de circonférences aboutissant d une part au point p et de l'autre à son symétrique q, on aura, comme le montre la figure, la coupe du système des deux lames et de la cloison. Seulement cette construction, considérée comme représentant la base dun système laminaire, suppose que les deux calottes, abstraction faite de leur pénétration mutuelle , sont des hémisphères , condition qui n est jamais rigoureusement remplie, du moins quand les

calottes reposent sur une couche épaisse de liquide (§§ 214 à 216).

Dans les trois dessins dont j'ai parlé, et qui sont représentés au tiers de leur grandeur par les^. 62, 63 et 64, les arcs ont été Fig 6î. marqués en traits larges

d'environ un millimètre, on verra bientôt pourquoi. Dans le premier dessin, les diamètres des deux lames étaient égaux ; dans le second, ils étaient comme 2 à 1 ; et, dans le troisième, comme 3 à 1. Pour employer l'un de ces dessins, on le plaçait sur une table, et l'on posait par

dessus une plaque de verre mince, dont on mouillait ensuite la face supérieure avec du liquide glycérique. Cela fait, on gonflait une bulle du même liquide, que Ion déposait sur la plaque audessus de la portion de circonférence qui représentait la base de la plus petite lame ; cette bulle sy étalait aussitôt de manière à constituer une calotte ; ^''« "•

on s'arrangeait de façon que la base de celle-ci eût un diamèlre un peu moindre que la portion de circonférence en question. On gonflait alors une seconde bulle, que Ion déposait de même au-dessus de la portion de circonférence représenr tant la base de l'autre lame, et en s arrangeant aussi de manière qu après s être étalée sur la plaque, elle eût un diamètre un peu trop petit. Comme, en ^^n. «*•

déposant cette seconde lame, on devait la mettre en contact avec la première, les deux calottes se pénétraient partiellement et demeuraient unies avec une cloison. Les choses étant ainsi préparées, on trempait lorifice de la pipe dans le liquide glycérique , comme pour gonfler une bulle, puis on appliquait cet orifice vers la partie inférieure de la plus petite lame, on soufflait un peu,

puis on faisait la même opération pour l'autre lame, on revenait à la première, puis à la seconde, et ainsi de suite (H, en faisant glisser en même temps, de petites quantités, la plaque de verre sur le dessin, et, avec les ménagements convenables, on parvenait à donner aux deux lames les diamètres des portions de circonférences tracées, et alors la base du système laminaire obtenu, base formée de celles des deux lames et de celle de la cloison, recouvrait exactement le dessin. J'ai dit que les dessins étaient en traits larges ; c'est que ces traits doivent être vus à travers les petites masses annulaires ; s'ils étaient fins, les réfractions produites par les petites masses dont il s'agit empêcheraient de les distinguer. Ajoutons que, sur la plaque de verre, les calottes, toujours abstraction faite de leur pénétration mutuelle, sont exactement hémisphériques (§ 216), de sorte que la vérification ci-dessus ne laisse rien à désirer.

§ 175**^*. Mais il reste un point à éclaircir : nous avons déterminé (§ 1 73) le rayon r de la cloison en partant des valeurs relatives des pressions respectivement exercées par les trois portions de calottes sphériques sur les deux quantités d'air emprisonnées. D'un autre côté, nous venons de construire ce rayon en partant de ce que la cloison et les deux lames doivent se rencontrer sous des angles de 120''. Or on ne voit pas à priori de relation nette entre les principes qui servent respectivement de bases à ces deux déterminations, et l'on peut se demander si les deux résultats coïncident; c'est ce que nous allons examiner.

(l) Cette opération 8'efîectuerait beaucoup plus aisément si l'on employait, au lieu de la pipe, un tube de verre effilé à l'une de ses extrémités; après avoir mouillé celle-ci de liquide ^lycérique, on l'introduirait dans la lame, et l'on soufflerait doucement par l'autre extrémité. A l'époque où mes expériences ont été faites, ce moyen, dont M. Lamarle a fait usage plus tard dans une autre circonstance (^ 204), ne s'était pas présenté à moi.

Prenons [fig, 61) pfz=pc\ et joignons c/ylangle cpc' étant de 60*, le triangle fpc' sera ëquilatéral, et Ion aura conséquemment fc' =^pc'=^p\ par la même raison, langle fc'p sera de 60* comme langle c'pd, d où il suit que les droites fc' et pd seront parallèles ; on pourra donc poser :

fC fc '

enfin, remplaçant, dans cette formule, ^rf,^' et jt)(; par leurs valeurs respectives r, p et /?, et observant que fc est égal à p — /, on en tirera :

C est identiquement la valeur qu'avait donnée la première méthode; ainsi les deux principes, en apparence indépendants, conduisent au même résultat.

§ 176. Pour vérifier également les résultats du § 174, on déposait successivement, sur la surface d une couche épaisse de liquide glycérique contenue dans un grand plat de porcelaine, deux bulles de ce même liquide, de manière que les deux calottes sphériques qu elles formaient fussent séparées par un certain intervalle. Quand celui-ci était au plus d un centimètre, les lames marchaient, en etfet. Tune vers l'autre^ et s'unissaient avec une cloison ; seulement si les deux lames avaient de grands diamètres (10 centimètres ou plus), la cloison ne se produisait en général que lorsque la réunion avait lieu peu d'instants après la formation de ces lames; quand celles-ci étaient d'abord un peu trop distantes l'une de l'autre, de façon que le temps nécessaire pour leur rapprochement spontané fût assez long, elles s'unissaient sans cloison en se transformant en une seule grande calotte, sans doute

parce quelles étaient devenues trop minces, de sorte que la cloison naissante se brisait avant qu on pût en constater lexistence.

§ 177. Si une troisième calotte sphérique laminaire s accole à deux autres déjà unies, le système aura évidemment trois cloisons, savoir une provenant de la réunion des deux premières lames, et deux de la réunion de chacune de ces mêmes lames avec la troisième. Ces trois cloisons aboutiront nécessairement à un même arc de jonction, et, en supposant qu elles aient encore des courhures sphériqUes, il faudra qu aux lignes de jonction de chacune d elles avec deux des lames, les angles soient encore de 120**; il faudra, en outre, par la raison donnée à la finj du § 173, qu'à lare de jonction de ces trois cloisons entre elles, les angles soient aussi de 120"*.

Cela posé, voyons par quel moyen nous pourrons tracer la base d'un système de ce genre, de même que

Fig. es.

nous avons tracé [Jig. 61) celle d'un système de deux lames. Après avoir décrit [jig, 65) les bases des deux premières lames, bases ayant pour centres c et c' et pour

rayons les longueurs données que nous désignerons encore par f et /, portons, à partir du point s où aboutissent ces deux bases, et sur les rayons se et stf, deux longueurs sf eisf égales entre elles et au rayon donné /' de la troisième base, puis, des points c ei& comme centres et avec les longueurs cf et c'f comme rayons, traçons deux arcs de cercle ; leur point d'intersection c" sera le centre de la base de la troisième lame, base qu'on décrira ensuite avec le rayon /'.

En effet, supposons le problème résolu et cette base tracée. Si l'on mène, du point u où elle aboutit à Tune des premières, les droites uc et uc'\ qui seront respectivement égales à /9 et à /', ces droites feront entre elles un angle de 60*, comme les droites se et se'; d'où il suit que le triangle eue" sera égal au triangle es/y dans lequel se et sf sont aussi respectivement égaux à p et /?", et qu'ainsi (^'sera égal à ef; par les mêmes raisons, le triangle dvcf' sera égal au triangle e'sfy et conséquemment c'e' sera égal à e'f.

Proposons-nous maintenant de tracer les bases des trois cloisons. Celles des trois lames étant décrites (fig. 66) par le tracé précédent, on déterminera, comme dans la^. 61, le centre d delà cloison appartenant aux deux premières lames et partant de Sy en menant sd faisant avec se' un angle de 60% jusqu'à sa rencontre, en rf, avec la droite ee' prolongée ; on déterminera de même le centre y* de la cloison appartenant à la première et à la troisième lame en menant w/ faisant un angle de 60'' avec e"Uy jusqu'à sa rencontre, en /, avec ee" prolongée ; enfin on déterminera encore par le même procédé le centre g de la troisième cloison . Il ne restera plus alors qu'à décrire, des points dy f ei g comme centres, et avec les rayons dSy fa et gVy trois arcs de cercle

SI

Cy -.-

iflf

Fig. M.

partant respectivement des points s, u et t?, et se dirigeant vers le milieu de la figure; ces arcs seront les l)ases des trois cloisons, toujours dans l'hypothèse où ces cloisons seraient des portions de sphères.

Si Ion a construit la figure avec soin, on reconnaîtra : P que les arcs dont je viens de parler aboutissent tous trois à un même point o ; 2** que les trois centres y, d ei g sont disposés en ligne droite ; 3° que si Ion joint le point à ces trois centres, les angles fod et god sont égaux et de 60*.

§ 178. Mais comme on pourrait croire que ces résultats d'une construction graphique sont simplement très-approchés et non tout à fait exacts, je vais les établir d'une manière rigoureuse; c'est à M. Van der Mensbrugghe que je dois cette démonstration.

Démontrons d'abord que les trois centres fy deig sont en ligne droite. Pour cela, répétant ce que nous avons fait dans la fig. 61, portons sur se [fig. 66) une longueur sw = sd = p\ et joignons dw; nous savons que cette dernière droite sera parallèle à sd, et conséquemment nous pourrons poser

de se p

^-^~ S;SS •'•^ ZSSZ ^~ *

dd SfO p'

Par la même raison, en considérant les deux portions de circonférences qui ont pour centres e et c" et qui se coupent en ^ly on aura, en renversant seulement les deux rapports,

fe p* et enfin les deux portions de circonférences ayant pour centres c' et c" et qui se coupent en v, donneront de même

2œ SYSTÈMES LAMINAIRES,

Multipliant ces trois égalités membre à membre, il vient :

de ,/&' '9(f ^

Remarquons maintenant : l*" que les trois centres dy feig sont sur les prolongements des côtés du triangle c c' c"\ 2" que les six quantités de y fd\ gc\ de' y fc et gc" sont les distances, comptées sur ces mêmes prolongements, des trois points d, f et g aux trois sonàmets Cf (f et c"; 3** que, dans la dernière formule ci-dessus, les trois facteurs du numérateur représentent des droites dont deux quelconques n'ont pas d'extrémité commune, et qu'il en est de même des trois facteurs du dénominateur. Or on sait, par un théorème de la théorie des transversales, que lorsque la condition exprimée par cette formule est remplie à l'égard d'un triangle quelconque, les trois points en question, pris sur les prolongements des trois cotés, soi^t nécessairement en ligne droite. Nos trois centres dy feig jouissent donc de cette propriété.

Ce premier point établi, démontrons les autres. Considérons le point comme étant simplement l'intersection des deux arcs uo et vo ayant pour centres y et g; joignons ody of et ogy et, sans chercher d'abord si od est bien réellement le rayon de l'arc ayant pour centre d et partant du point Sy faisons voir que les angles fod et god sont chacun de 60*, ou, ce qui revient au même, que l'angle fog est de 120, et que la droite od en est la bissectrice.

Cherchons d'abord à déterminer les longueurs fd et gdy et, à cet effet, considérons-les comme appartenant respectivement aux triangles fcd et gc'dy dans lesquels nous pourrons évaluer les côtés ^, efc, gc' et de' y ainsi que les angles qu'ils comprennent. Pour arriver à ces der-

nières valeurs, calculons les cotés du triangle cc'c'\ Au moyen du triangle csc\ où les côtés es et c's sont respectivement f et / et comprennent entre eux un angle de 60*' , on trouve sans peine

les triangles eue" et dvd* donnent de même :

cc" = /p«^p"«pp", et cV' = /p'«-+-p"* — p'p". On déduit de là, par la formule connue,

cos dcd' = cos dqf= p* h- (p — pO ( p — p^Q ^

2/p« -♦- p'« — pp' /p« -♦- p"« — pp"

on trouvera de la même manière :

cos cdc" = cosçdd P'^-^-iP- P W-p')

^ 2/p« -+- p'* — pp' |/p'« H- p"* — p'p"

D'un autre coté, on a :

/d=^\/ fe* -^ de* —2dc Ji . cos dqf, ^=\/dd*'*'ffd* — 2d? .çd .cosddç,

formules où les droites de, Je, de', gd restent encore à déterminer ; mais, dans le triangle esd, où vod est, noua le savons, parallèle à sd, on a :

de dd cd es 8w Cfa '

(1 où, en remplaçant es, sw et ero par leurs valeurs p, d Qi p — /, ainsi que ed par sa valeur trouvée plus haut, on obtient

^^ =^y PW^^^=W^> ^t A?'=^yp*H.p'*-pp'; les triangles eufei d'vg donneront de leur coté :

Il vient donc, après substitutions et réductions, et en faisant, pour abréger,

'"'"(p-rtV-pO''''

et conséquemment

On tire de là :

/ef p(p---pO

^ef p'(p-p")'

D'autre part, d'après le résultat du § 173, on a, en observant que /o et ffo sont respectivement égaux aux rayons^ etffv des deux cloisons que nous considérons,

P— P P — p ffo p'(p— p")

les deux rapports -7 ^t — sont donc égaux, et, par

conséquent, la droite do est la bissectrice de l'angle foy. Connaissant, par ce qui précède, les trois cotés du triangle /off, on en déduit, toute réduction faite,

d'où il résulte que l'angle /off est de 120", et, par suite, que les angles /od et ffod sont chacun de 60".

Cherchons enfin la longueur de la bissectrice do. Pour cela, remarquons que, dans tout triangle dont l'un des angles est de 120^, il y a une relation fort simple entre la bissectrice de cet angle et les deux cotés qui le comprennent. Soit, en eflFet (/^. 67), abc un triangle où

langle en a est de 120' ; prolongeons le côté ba duno quantité ad égale à aCy et joignons de; cette droite sera parallèle à la bissectrice ahy car Tangle

dac sera de 60, et ^ .\^

puisque ad est égal '»«?• «'•

à aCy le triangle dac sera équilatéral, et l'angle dca sera

de 60* comme l'angle cah; on aura donc

ah

ha

ba •♦-

ad

ou, à cause

àe de —

ad ah

■ ac, ba

ac

" ba -^

ac

et enfin

iik =

ba .

ac

ba-^ac Ce résultat appliqué au triangle foff [fig 66), donne donc

fo . go

(io=

fo-^go

et, après les substitutions.

do =