D'UNK MASSE LIQUIDE SANS PESANTEUR

autres par le liquide intérieur, il faudra nécessairement, pour qu il y ait équilibre, que toutes ces pressions soient égales entre elles ; il faudra donc que lexpression ci-dessus ait une valeur constante à 1 égard de toute la surface ; et comme les quantités P et A sont elles-mêmes constantes, on exprimera la condition générale de l'équilibre en posant simplement :

la quantité C étant constante, et pouvant d'ailleurs être positive, négative ou nulle.

Précisons davantage pour les personnes auxquelles la théorie des surfaces est peu familière. En un point pris arbitrairement sur une surface quelconque, imaginons une normale à celle-ci, et par cette normale faisons passer un plan ; il coupera la surface suivant une certaine ligne, et le rayon de courbure de cette dernière, au pied de la normale, sera lun de ceux de la surface en ce point. Faisons maintenant tourner le plan autour de la normale ; dans chacune de ses positions, il déterminera une nouvelle ligne, et, par suite, un nouveau rayon de courbure; or, parmi tous ces rayons, il y en aura, en général, un qui appartiendra à une courbure plus forte, et un à une courbure plus faible que toutes les autres ; ce sont nos deux rayons principaux R et R',

et les quotients ^5- et — - sont les deux courbures prin-

cipales au point considéré. Ajoutons que, d'après un résultat curieux de lanalyse, les doux sections auxquelles appartiennent ces courbures principales sont toujours à angle droit Tune sur l'autre.

Ainsi, en vertu de la formule [2], une masse liquide supposée sans pesanteur doit affecter une figure telle

que la somme algébrique des deux courbures principales ait la même valeur en tous les points de sa surface. Chacune de ces courbures principales est d'ailleurs, d'après ce qui précède, positive ou négative suivant quelle est convexe ou concave.

Remarquons encore que lorsqu'il y a, en un même point de la surface, des courbures convexes et des courbures concaves, la courbure principale de cette dernière espèce est la plus faible algébriquement; c'est donc celle qui a la plus grande valeur négative, et conséquemment le plus petit rayon négatif.

Citoiis enfin un second résultat curieux de l'analyse : Si l'on considère deux sections quelconques à angle droit passant par une même normale, les rayons de courbure qui leur correspondent, rayons que nous nommeront p

et /, seront tels que la quantité - + - sera égale à

la quantité ^5 + ^ • H en résulte que l'on peut substituer

la première de ces quantités à la seconde, et que, par

conséquent, l'équation de l'équilibre dans sa plus grande

généralité sera - ^ ~ = C.

Si toutes ces notions laissent encore quelque obscurité dans l'esprit du lecteur, elles s'éclairciront par les nombreuses applications que nous aurons à en faire.

Poisson, le seul, je pense, qui, avant mes recherches, ait touché directement à la question générale des figures d'équilibre d'une masse liquide sans pesanteur, était parvenu (^), en 1828, à la formule [2] : après avoir traité

(1) Mémoire $ur l'équilibre de* fluides (Mém. de TAcad. des Sciences de Paris, t. IX, année 1830, p. 1).