D'UNE MASSE LIQUIDE SANS PESANTEUR

dans toute sa généralité le problème de l'équilibre intérieur d'un fluide sous Faction de ses propres forces moléculaires et de forces étrangères données, il cherche les équations d équilibre relatives à la surface commune de deux fluides en contact; puis il suppose que l'un d'eux est un liquide, et l'autre un gaz exerçant une pression uniforme ; enfin il supprime les forces étrangères, sauf cette pression, et trouve ainsi, à l'égard de la surface de la masse liquide, la formule dont il s'agit.

Il démontre ensuite qu'il n'existe qu'une seule figure d'équilibre possible parmi les sphéroïdes de révolution très-peu diff'érents d'une sphère, et que cette figure est celle de la sphère elle-même.

§ 2. Il est évident, en effet, qu'une surface sphérique satisfait à la formule [2], puisque tous ses rayons de courbure sont égaux. Il est de même évident que le plan, dont tous les rayons de courbure sont infinis, ce qui rend le premier membre de la formule partout égal à zéro, y satisfait aussi, seulement, dans ce cas, la constante C est nulle. Je cite ces deux surfaces parce qu'elles se présentent immédiatement ; mais, comme nous l'apprendrons ci-après, elles sont loin d'être les seules.

La constance de la somme algébrique des deux courbures principales n'est pas Tunique interprétation que reçoive la formule [2J :

En premier lieu, les géomètres savent que la quantité

— j — ^ est proportionnelle à la courbure moyenne, c'est- R R

à-dire à la moyenne entre toutes les courbures de la

surface au point considéré ; la formule [2] indique donc

aussi que nos surfaces d'équilibre sont celles qui ont la

même courbure moyenne en tous leurs points.

L'invariabilité de la courbure moyenne se comprend

d ailleurs aisément : puisque la pression en chaque point dépend des courbures, il est clair que si la moyenne entre toutes celles-ci ne varie pas d'un point à un autre, leffet de leur ensemble ne variera pas non plus, et qu ainsi la pression sera la même en tous les points.

Maintenant, les géomètres savent également que les surfaces à courbure moyenne constante sont en nombre illimité ; un liquide supposé sans pesanteur est donc susceptible d'une infinité de figures d'équilibre.

En second lieu, dans le cas où la constante C ast égale à zéro, et où conséquemment la courbure moyenne est nulle, la formule [2] donne :

ainsi les surfaces à courbure moyenne nulle sont telles qu'en chacun de leurs points les deux rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires ; en d'autres termes, si, en un point quelconque d'une semblable surface, on conçoit les deux sections normales qui présentent en ce point les courbures principales, sections qui, nous le savons, font entre elles des angles droits, l'une de ces deux courbures sera convexe, et l'autre lui sera égale, mais concave. Le plan seul fait une sorte d'exception, parce que toutes ses courbures sont nulles.

Il suit, d'ailleurs, de ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, que, p et / désignant les rayons de courbure de deux sections quelconques à angle droit passant par une même normale en un point d'une surface à courbure moyenne nulle , on aura toujours aussi /?= — /, et que, par conséquent, si, en un point d'une surface de ce genre, la courbure est convexe dans une certaine direction, elle est nécessairement concave, et au même degré, dans la direction rectangulaire.