SECRÉTARIAT DE L'ASSOCIATION
(Hôtel des Sociétés savantes)
38, R,UEi SEUPENTE
M. Emile LEMOIIE
Ancien Élève de l'École Politecnique, à Paris.
DU TRIANGLE [K 2 d]
— Séance du i août. —
Le mémoire que nous présentons ici, n'est pas le dévelopement d'un sujet uniqae, c'est une série de téorèmes dont beaucoup sont indépendants de ceus qui les entourent, ou encore ce sont de simples résultats de calculs exécutés, mais qui ont pour lien comun l'intérêt qu'ils peuvent présenter dans l'étude de la géométrie du triangle.
Soit ABC le triangle de référence. Nous employons les coor douées normales trilinéaires; quand nous passerons aus coordonées cartésiènes CB sera l'axe des x, CA celui des y ; o, o , o , o , 0, seront les rayons des cercles tritan^ents et du cercle circonscrit, r, r , 1\, r , R leurs rayons ; d, 8^^, 8^, B^ seront 4R + r, 4R — r ^, 4R — r^, 4R — r^; d, d^^, d^, d^ seront les longueurs oO, o^O, o^O, oO\ w l'angle de Brocard; w et w' les
points direct r-, -? r) et rétrograde de Brocard; K, G, H seront le point
de Lemoine, le baricentre, Fortocentre.
$ le point , etc.
A(9) ou A(MN) signifiera un cercle de centre A et de rayon o ou MN. S sera la surface du triangle ABC.
A. - Divers téorèmes ausquels s'aplique la transformation continue
J'ai exposé la téorie de la transformation continue dans divers mémoires, entre autres dans celui que j'ai présenté au Congrès de Marseille à VAFAS (1891) et, j'en ai depuis fréquemment fait des aplications ; mais la métode a une tèle fécondité, est d'un usage si facile, èle a une tèle importance dans la géométrie du triangle que je veus en doner ici de nouveaus exemples. Je me suis aperçu, depuis 1891, que les mêmes résultats pouraient s'obtenir avec la téorie des cicles et des semi-droites de Laguerre, seulement
la transformation continue est plus imédiate, plus mécanique pour ainsi dire et semble faite exprès pour élargir les vues dans la géométrie du triangle.
i. — Soit un triangle ABC, M le point sur BC tel que la some des distances de M à G et à la droite CA égale la some des distances de M à B et à BA, M,, Me les points analogues sur CA et sur AB. Les trois droites
2R 2R 2R AM , BM,, CM concourent au point M : Y i. t- + 1> h 1- Si
a' 6' c ^ . abc
au lieu du point M on considère le point M' tel que la diférence de ses distances à G et à CA, égale la diférence de ses dislances à B et à BA, etc.
AM\BM;, CM' concourent au point W : 1 i , 1.
La droite MM' se confond avec la droite oG :
2 4p^RH/32 + 5r^ — i6Rr) . x • . .
On a MM' — m^^ „ 2u ~' ^^^^^ remarquant que si v est le
point d.e Nagel -, etc. on a ov^ = p^ + 5r^ — 16Rr, on trouve :
