cos C + c» cos B — a' = 4RS(cos A — 2 cos B cos C
106 MATHÉMATIQUES, ASTROÎNOMIE, GÉOBÉSIE ET MÉCANIQUE
= 16SX9R^ - a^ + 6^ + c^) = 16 R^S^(1 — 8 cos A cos B cos G).
D étant la distance OH.
Enfin, remarquons, quoique n'ayant pas de raport avec la transformation
continue, l'identité : (6^ + ^^ ~ «^)(l/^ + z^ — x'^) — {by + c;z — axY
HZ (bz — cyY — {ex — azY — {ay — bxf analogue à l'identité conue :
E. — Quelques propriétés de Maximum et de Minimum,
a). — Soit un triangle ABC ; M un point de son plan ; A', B', C les points où AM, BM, CM coupent BC, CA, AB.
y (6 . A'B" + c . A'C ) sera minimum et égal à ■ —- — -— — ; — ^ — ?
si M est le centre du cercle inscrit.
V( 6.A'C^ + c.A'B^ J sera minimum si M est le réciproque — 't^' ~tlu
centre du cercle inscrit.
Cela se démontre par des calculs assez courts en faisant voir que, sur BC pour le premier, le point A' pour lequel b.ÂT3^ + c.ÂX" est minimum est le pied de la bissectrice de A, et pour le second que ô.A'C + c.A'B est minimum, si A' est l'isotomique du pied de la bissectrice, c'est-à-dire le point simétrique de ce pied par raport au milieu de BC.
b). — Soit L un point de la base BC d'un triangle ABC; soient X^, X^
les projections de L sur AC et sur AB. Si le point L est tel que LX^ + LX^
+ XTX soit minimum, la perpendiculaire à BC menée en L passe par le point de Lemoine.
c). — L'antiparalèle à BC menée par M coupe CA en B^, AB en C^^ » CA » AB en C^, BC en À^
AB )) BC en A , CA en B
Blî + (TÂ^ + ÂJB^ est mimimum et égal à -— ^,, r,^. pour le
point : a (3a^ — 6^ — c^), etc., apartenaiit à la droite qui joint le point de Lemoine au centre du cercle circonscrit.
d). 1. — Soit M un point du plan d'un triangle ABC, par M je mène des paralèles aus trois côtés dont j'apèle /, m, n les longueurs comprises entre les côtés.
Le point A pour lequel on a ^.AM^ +2^^ minimum a pour coorJo-
Si l'on remarque que le point général de l'iperbole de Kiepert est
? etc., on voit que A apartient à l'iperbole de Kiepert,
a(— Xa^ + 6^ + c^) ' ^ ^ ^ ^
et on déduit cète construction du point A ; w étant l'angle de Brocard, on
trace l'angle cp tel que cotg 9 = ^ cotg oj ; on forme les triangles isocèles
BCA.', CAR', ABC (il sufit d'en tracer deus) qui ont 9 pour angle à la base (cotg 9 = A'CB) etc., AA', BB', GC se coupent en A.
2. — Le lieu du point tel que T^MÂ^ ==: 2^^' ^^^ l'iperbole équilalère
% z=z qui passe au point de Steiner, a même direction
^^ xa
d'axes que laconique de Steiner. Èle a pour centre le point :
~ (a^ "■" ho, cos K)lci^ - ~ 36c cos A), etc. a
e). 1. — Soit P un point du plan d'un triangle ABC qui se projeté en A',B',C' sur BC, CA, AB, je désigne par \pc\, [?/], \z\ les projections de PA', PB', PC sur une direction A.
On a [^] + M + [^] — pour la direction dont le point à l'infini est hz — cî/, ex — az, ay — hx.
On a : [ — x] + \y\ + [^] — pour la direction :
hz — Cl/, — \gx + ci-^)^ cf^y + bx.
Si P est le point de Lemoine, [x] + [y] + [z] est nul sur une direction quelconque A.
Si P est l'un des associés du point de Lemoine, celui dont les coordonées sont : — a, b, c par exemple, on a : [ — x] + [y] -f- [z] = pour une direction quelconque.
[x] + [y] + [^] est maximum pour la direction — ^ + y cos G + ^ cos B, etc., perpendiculaire à bz — cy, etc.
2. — Si j'apèle /, m, n les projections sur BC, GA, AB d'une longueur p donée en grandeur et en direction, l -\- m -}- n est nul, si p a la direction Oo ; maximum et égal à ^^—- pour la direction de l'axe antiortique ^ + 2/ +^ = 0, perpendiculaire à Oo,
— l -{- m -[- n est nul si p a la direction Oo , maximum et égal à
p.oO
pour la direction de l'interbissectrice correspondante à A
— 0) -j- ?/ -j- ;s = 0, perpendiculaire à Oo .
— /2 + m^ + n'^ est maximum et minimum pour p dirigée ainsi : M est
le point du cercle circonscrit ^ •> etc., on joint M à un somet quel-
conque A; ce sont les bissectrices de l'angle que fait AM avec BC qui douent les directions du maximum et du minimum.
3. -— Si Ton porte sur chaque côté une longueur proportionèle au carré de ce côté, la direction pour laquèle la somme des projections de ces longueurs sur cette direction est maximum ou nule est, pour le premier cas,
la direcfion de la droite dont, le point à l'infini est ? etc. ; c'est la
direction de ^a^^ = 0; pour le second cas c'est la direction perpendiculaire, soit la direction a'^ — 5^ cos C — c^ cos B, etc.
f). 1. — Lorsque l'on veut spécifier analitiquement ou construire deus directions remarquables perpendiculaires l'une à l'autre, come, par exemple, lorsque que Ton recherche la direction des axes de la plupart des coniques remarquables, inscrites ou circonscrites à un triangle, on trouve analitiquement des expressions compliquées de radicaus et, géométriquement, des constructions souvent complexes ; cète circonstance s'explique parfaitement par la nature des choses, mais il n'est pas impossible de trouver une interprétation élégante des résultats. Èle est, le plus souvent, donée analitiquement et géométriquement par le téorème suivant :
Soit M un point du cercle circonscrit à un triangle ABC, je joins M à un somet quelconque du triangle, A 2Mr exemple; les bissectrices des angles que la direction AM fait avec la direction BC ont une direction constante y quel que soit le somet choisi,
11 suit de là qu'au point M corespondent deus directions perpendiculaires l'une à l'autre, bien déterminées, et réciproquement, de sorte qu'à chaque direction de deus droites remarquables associées par la perpendicularité, corespond un point remarquable M qui détermine leur direction. Nous alons énoncer quelques téorèmes qui feront ressortir l'avantage de ces considérations, et nous emploierons, dans le sens que nous venons de défmir, l'expression de : point M corespondant à tèles directions et réciproquement.
Pour toute conique circonscrite à ABC, les directions des axes ont évi~
demmenl pour point M, le quatrième point d'intersection de la conique et du cercle circonscrit.
2. — En apelant [m] ou [MN] la projection de m ou de MN sur une direction A, on demande de déterminer la direction A tèle que [BC]^ + [CA]^ + [AB]2 soit maximum ou minimum. Voici le résumé du calcul. Soit a l'angle que la direction cherchée fait avec BC, il faut rendre
a' COS'cc + b^ C0S2(a - C) + C^ C0S2(a + B) maximum ou minimum, on en déduit :
^^ ^ __ 6^ sin 2G — c^ sin 2B __ ô^c^^' — c^) ^^ "'' " a^ -~ b^ cos 2G + c^ cos 2B " 4S(m^R^ — ^^c^) '
On voit que si je mène par A une paralèle à la direction que détermine cète valeur de 2a, paralèle coupant BC en A\ et le cercle circonscrit en M, les bissectrices des angles que BC fait avec AM auront les directions cherchées.
De la valeur de tg 2a, je déduis que le coéficient angulaire de cèté bib-'—C")
direction est
Le point à l'infini est donc : ^ — ; 5 ; la droite paralèle
^ abc
V ci d'^ b^^
menée par A est donc: ~ = ■- -75 d'où enfin le point M sur le cercle
^ jz b[c^ — a^)
circonscrit est --y- > 7—- -■? -— — 7- ^ point de Steiner.
Ces directions sont cèles des axes des coniques inscrites ou circonscrites
de Steiner. C'est aussi là un moyen de les construire.
3. — Si l'on cherche la direciion des axes des élipses de Cesàro ^^ + ^^ + ^^= constante {x, ?/, z désignant ici les coordonées normales
absolues), on trouve le point — ~, etc., pour le point M, qui détermine
leur direciion de la façon que nous avons indiquée, et cela done un moyen simple de tracer ces directions.
4. — P est un point du plan d'un triangle que je projeté en A', B', G' sur les côtés. Déterminer la direction A pour laquèle [PA']^ + [PB']^ +PC']^ est maximum ou minimum. On trouve que (PA', PB' PC/ étant come à l'ordinaire désignés par x, y, z) les directions A corespondent au point M du
cercle circonscrit qui a pour coordonées -—--; ;— - — -— ? etc.
x^{b^ — C") + a^{if — z^)
Si P est par exemple K, 0, G, on voit que le point M est respectivement
dIO MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE
le point de Steiner, le point 7-— — -, etc. , le point — — - — r— -\ 5 etc.
enfin on a ce curieus téorème d'invariance :
Si P est le point : -[- \/a cos A, + \/t) cos B? -\-\/(^ cos G ou Vun de ses associés, [\/acosA]^ 4- (\/b cos B]^ + [\/c-cosGJ^ est constant quèle que soit la direction A.
Pour le point + \/a cos A, + \/b cos B, + v^c cos G, cète constante est :
R[Eav/âco74?' pour le point -- sja cos A, + sjb cos B, + \/ccos G
èle est égale à —-—7= , , ■ - - ; ;>■ •
RL — a\/ a cos A + byb cos B + es/ c cos GJ^
A cète invariance ne corespondent de points réels que si le triangle ABG est acutangle.
Conaissant le point M (1, m, n) du cercle circonscrit, trouver le lieu des points P.
Le lieu de P est, d'après l'énoncé même de la question
~~ ou
tf{c^—a'')-+-b\z^ — x^)J \z\a^ — b^) + c\x'' — y')J
(1) bcx'^{mb-\' ne) — cy\nbc + 'tnc'^ — ma'^) — bz'^{mbc -}- n6^ — a7i^) =: 0, qu'on aurait sous deus autres formes, si l'on avait employé les coordonées n et / ou / et m du point M .
(i) est une conique qui passe toujours aux points
a cos A b cos B c cos G
Si Ton particularise le point M, la conique (1) reprend une fo7ine simé-
. m c{a'^ — b'^) trique ; par exemple, si M est le point de Steiner, c'est-à-dire si — :=: -
n bic'—a'') ^2 ^2
Le lieu (1) de P devient Hx^ = •
Cète propriété d'invariance, come, d'ailleurs, les autres propriétés de ce paragrafe relatives aus projections, se conservent quand au lieu de trois droites on en prend un plus grand nombre. Ainsi, si l'on a n droites dans le plan, il existe toujours quatre points P tels que A', B', G', D', étant les pieds des perpendiculaires abaissées de P sur ces droites, on a [PA']2 + [PB7 + [PG^^ + [PD7 +...==: constante, quèle que soit la direction A.
5. — /. [BG] + m. [GA] + n. [AB] est maximum et minimum si M est
le point du cercle circonscrit -; 1 ■ ' • r ? auquel corespondent
b — ce — a a — b
aussi les directions des axes de yz + zx ^ xy •=i'd.
— /.[BC] + m.[CA] + ?i.[AB] est maximum si M est le point du cercle
circonscrit : ? ? p auquel corespondent aussi les axes
de — yz + zx -{- xy =: 0.
6. — Voici un problème pour lequel la considération du point M corespondant à deus directions rectangulaires, permet d'ariver à une interprétation imagée du résultat qui se présente sans èle, sous une forme bien peu élégante et nous ne voyons guère de moyen naturel d'y ariver autrement.
Soient dans un triangle ABC un point Mi et une force M^F de direction donée, apliquée en M^ ; on la décompose en trois forces f , f ^ , f dirigées suivant M^A, M^B, M^C sous la condition que P + f^ + f^ soit minimum. Quèles directions faut-il doner à M|F pour que cète some P ~\~ P-\- P soit le maximum minimorum et le minimum minimorum ?
Il faut faire un triangle A'BT/ dont les trois côtés a\ b\ d sont paralèles
à Ml A, MiB, M^C; chercher le point a du cercle circonscrit à A'B'C qui
a' a pour coordonées normales — ^ -^^ etc., par raport au triangle de
référence A'B'C; ce point ^ est le point M corespondant aus directions cherchées. On peut remarquer que ce sont les directions des axes des élipses de Cesàro du triangle A'B'C (lieus des points tels que la some des carés de leurs distances aus côlés soit constante).
