BC 3R CB'~" D
L'équation de ce cercle est 2 ^^ax"^ cos A — ^ayz = •
Les coordonées normales absolues du centre de cète circonférence sont
R cos A, etc.
Sa
Les perpendiculaires abaissées de A, B, C sur B'C, C'A', A'B', concou-
rent au pomt r r t; t^' ^tc.
cos A — 4 cos B cos C
25. — Si H. est le point cos A — cos B cos C, etc., simétrique de H pour raport à on a :
a^^m^ -^b'~~ W. = c^ — GH' = 16 R' cos A cos B cos C
^ 4 [p2 — (2R + rYl
Ces relations sont à remarquer parce qu'èles douent une expression assez simple de la distance du point H. aus trois somets et que ces distances pour les points remarquables sont le plus souvent compliquées.
26. — Le cercle conjugué ne peut être tangent au cercle de Brocard que si l'on a > ~ — ■ — - == 0. Cète condition équivaut à :
1 — 16 cos^ A cos^ B cos^ C ~
Il y a éfectivement des triangles ABC qui répondent à cète condition, par exemple les triangles où l'on a : 6 = c, et - := y — — ^ •
Cl ^ Li
On trouve facilement la condition de contact en exprimant que l'axe radical ^ax {¥ + &' — a'') ™ du cercle conjugué et du cercle de Brocard est tangent à ce dernier.
27. — Si M est un point du cercle conjugué à un triangle, les polaires de M par raport aus trois cercles décrits sur les côtés come diamètres sont concourantes.
28. -~ La ligne d'Euler est paralèle ou perpendiculaire à la bissectrice de l'angle A suivant que l'on a A z= 1^0° ou A ~ 60.
29. — OK n'est jamais paralèle à une bissectrice intérieure mais il Test à la bissectrice extérieure de A si ABC est un triangle moyen en A (a^ =: bc).
30. — Si le triangle ABC est moyen en A, c'est-à-dire si a^ == bc, la droite qui joint le point A au point de Steiner passe par l'intersection de la médiane partant de B et de simédiane partant de C et par le point d'intersection de la médiane partant de C et de la simédiane partant de B.
G. — Formules d'identités.
Dans la géométrie du triangle les formules d'identité, surtout cèles qui ont
lieu entre les côtés et les angles dans un membre et R, p, r, etc. dans l'autre,
ont une tèle importance, que très souvent arête d'abord par la longueur
de certains calculs lors des premiers temps de la géométrie du triangle,
j'ai été amené à en calculer beaucoup et à en doner des séries dans divers
mémoires, par ex. : (AFAS, Congrès de Toulouse (1887), d'Oran (1888),
de Limoges (1890), de Marseille (1891), de Pau (1892), et surtout dans le
mémoire : Étude sur une nouvèle transformation paru dans Mathesis (1891),
lequel en contient plusieurs centaines. Come le nombre de ces identités
est évidemment infini, les géomètres qui n'ont pas pratiqué personèlement
la géométrie du triangle pouraient croire à l'inutilité de tels détails, mais
ils n'ont qu'à se proposer de trouver sans leur secours certaines questions
qui se ïésoUeni finalement par un résultat simple et ils seront vite éclairés.
Je citerai, au hasard, parmi èles, l'évaluation de la distance OJ des points
et J ? etc., qui est : oO • r— — ■ — ? ou cèle de la distance IJ (1 étant
p — a zR — r
le point {p — a), etc.) donée par Vr = ■;— [pV/(2R + 5r) — ro^]. Quant
à moi, ces formules et la transformation continue me servent constamment pour tous mes mémoires relatifs à la géométrie du triangle et je crois utile d'ajouter encore ici un certain nombre de ces formules, qui toutes ont été rencontrées dans mes calculs, une ou plusieurs fois.
