Construction du point a tg A, etc
Il est sur la droite qui joint le pôle A' d'un côté par raport au cercle circonscrit, au pied de la hauteur de ce côté.
5. — Si /, m, n, sont les côtés du triangle podaire du point M, on a :
16RS^ + R^l^'c^ - 2s2acosA(7^6'^c2 + 4lVniV)^0. Cela se déduit ainsi :
Si X, Y, Y sont les distances de M aux somets de ABC, on sait que Ton a :
(1) a^ôV + ^a'^' — 2^^^ cos A{a'T' + Y'T^) ^ 0,
d'autre part on a :
après substitution dans (1) des valeurs de X, Y, Z tirées des équations (2) on arive à la relation cherchée.
Aplig\tion. Trouver la longueur x des côtés des triangles podaires équilater aux.
On trouve : x ~^'$i\ ' ^^
ou x^ z=z ~ et x^ ~
i'jf — ro) + 2S\/3 (p^ -- rB) - 2S\/3
On peut remarquer qu on en déduit ~ -[ — ^ — — | —
XX o
6. — Soit ABC un triangle A^ B^ C^ le triangle podaire du point M
{x, y, z). On prend sur B^Ci le point A2 tel que -^ = -^ et de même
A,G A2G1 les points B2, C^ sur C^A^, A^B^.
1^ A^Ag, B^Bg, G^Cg concourent au point N dont les coordonées sont
hy + hz
ii j , etc.
2^ La droite MN passe toujours par le baricentre, son équation est
^a\{hij -~cz)~ 0.
On retrouve ainsi une série de téorèmes concernant les points remarquables particuliers, ainsi
Si M est 1^ Le point <ï>; 2« — , etc.; 3^ le point de Steiner; 4° le point
de Nagel; 5° le centre du cercle inscrit, etc.; N est 1° Le point -r ^etc;
2« a(b^ + c^j, etc., miheu de coo/; 3^ le centre de l'iperbole de Kiepert;
4^ le centre du cercle inscrit ; 5^ le centre de gravité du périmètre, etc. La droite MN est 1« ^a'x{b'' — c^) =: ; 2° 2^^^^' " ^') '
, ^2)2 :^o- j^o et 50 ^G^
7. — 03 et co' étant les points de Brocard, Aw et Aw' coupent le cercle circonscrit en deus points A ., A , on a de môme B , B ,; C,/, C . Le triangle formé par les trois droites A A „ etc., a pour centre d'homotétie avec le triangle ABC le point a^,¥,c^.
8. — Soient un triangle ABC, une droite A qui coupe les côtés BC, CA, AB en A', B', C et une conique circonscrite K. Soit [a un point de A, A[a, Ba, Qa coupant la conique en a, p, y. Les droites A'a, B'p, C'y concourent en un point M de K. Ce téorème a une certaine importance dans la géométrie du triangle parce qu'il est une mine abondante de téorèmes sur les points, les coniques et les droites remarquables.il sufit d'en particulariser les douées.
9. — Soit un point M dont les coordonées normales sont x, y, z, P la projection de M sur BC, Q la projection de M sur la hauteur partant de A. Il y a de même les points P^,Q^; P^^Q,- On sait (Mathesis 1900, p. 152 Sporer) que P Q^^, P^Q^, P^Q concourent en un point N. Cela posé, les coordonées de N sont ax[x{ — ^ cos A + 7/ cos B + 2 cos C) + yz], etc.
Si M est le centre du cercle inscrit ou d'un cercle ex-inscrit, N est l'inverse du point de Nagel ou d'un de ses transformés continus. Si M est le
baricentre, N est le point - (3a^ — 52 „ ^2^^ ^j^^.^
10. — Soit un triangle ABC. Toujours du côté oposé au somet du triangle ou toujours du même côté que lui, je construis des triangles isocèles semblables BA^C, CB^A, AC^B dont l'angle à la base est 9 < 90 et des triangles isocèles semblables BAJC, CB'^A, AC^B dont l'angle à la base est 90 — cp. On sait que AA\ BB^ Œ concourent en N et que AA(, BB;, CC; concourent en N^, deus points apartenant à Tiperbole de Kiepert. La droite NN^ passe au centre du cercle circonscrit.
.1 — Soient w l'angle de Brocard et cp l'angle de Boutin tel que
tgcp = tg A + tg B + tg C
d'un triangle et D la distance de l'ortocentre au centre du cercle circonscrit, on a :
cotg 03 ~ cotg , =. - ; cotg 03. tg , =. g^^,^^^^-^
if - rB ^ , R^ — D^
É. LEMOINE. — TÉORÈMES ET RÉSULTATS DE LA GÉOMÉTRIE DU TRfANGLE 99
Les demi-axes de l'élipse circonscrite qui a pour centre le centre du
cercle circonscrit (Voir Congrès de Bordeaux, 189d) sont — - — , expression
Ji
beaucoup plus simple que cèle que nous y avons donée. On sait (Brocard,
Congrès d'Alger, 1881) que si les droites qui joignent les points de Brocard
ot), (o' aus somets coupent les côtés oposés en a, p, y; a', p', Y les deus
tr landes aSv, a ^6 y ont même surface - — : r— ^ : — — -r ^
' ' ' \ ^ COS^ (O -f- 2 cos A cos B cos C
remarquons qu'il vaut mieus la représenter ainsi 7-—- — r— — ~ — „ , , , ,,, .
12. — L'angle de Lemoine 6', c'est-à-dire l'angle de Brocard du faisceau des simédianes (Voir J. Ë., 1883, p. 214) est doné par la formule
cotg 6' — \l^ — où m'- =: a^ + 6^ + c^
13. — Si Ton prend le point A' où l'axe ortique coupe BC et que l'on joigne A' au baricentre, tout point M de cète droite jouit de la propriété suivante : Si par M je mène des paralèies à AB et à AC les milieus p et y des parties de ces paralèies comprises entre les deus autres côtés sont sur une perpendiculaire à BC .
14. — - Soit un triangle ABC ; une droite Lx + My -|- N^ = coupe les trois côtés BC, CA, AB en L, M, N. On sait que les trois cercles AMN, BNL, CLM se coupent en un point P du cercle circonscrit à ABC.
Si R , R. , R sont les rayons des cercles circonscrits aus triangles AMN, BNL, CLM on a : aR + bR, 4^ cR ^- 0.
15. — Le lieu des points M du plan d'un triangle ABC tels qu'en les projetant en A', B', G sur les côtés BC, CA, AB on ait A'B' 1= C'A', est le cercle d'Apollonius y'^ — z^ — Izx cos B + "Ixy cos C = 0. Corne ce cercle coupe le cercle circonscrit au même point A^ que la simédiane partant de A, on voit que la droite de Waliace (ou de Simson) corespondant à A^ est partagée en son milieu par la droite BC.
La droite de Waliace du point de Tarry est paralèle à la droite de Lemoine.
16. — Soient ABC un triangle et x, y, z, des quantités que je supose représenter les coorcîonées normales d'un point M du plan de ABC.
Les cercles A (p^), B (oî/), C {oz) si p varie ont leur centre radical décrivant la droite '\a\[x- (6^ — c^) — bHf + c^^^] — qui passe, naturelement, toujours en 0. Si M est le point (p ~ a), etc., la droite est Oo,
Si M est le baricentre ou le point $, c'est la droite KO. Si M est le point de Lemoine, c'est la droite d'Euler.
17. — Si l'on a 6c = a (6 ±: c), ou si une hauteur égale la some ou la
diférence des deus autres, les points de Brocard et le point m, etc., sont sur la conique inscrite de Steiner, alors on a : /^ — /^^ ± h^.
18. — Dans un triangle ABC si l'angle de Brocard égale B — C ou
C — B, on a: 6^ = c=^ (a^ + 6^) ou c' ~ b^ {a^ + c^).
S'ilestégalà-(B---C)ouà~(C-B)ona:-=iz— — ou-^^==:-y-.
19. — Si l'on mène par le point <î>, des paralèles aus trois côtés, les périmètres des trois triangles que chacune de ses paralèles fait avec les
deus autres côtés sont proportionels à — ? — ? - •
Si l'on a a'^h'' = c^ (a^ + h'') le point ^ (voir Congrès de Carthage 1896) est sur la simédiane partant de C ; si l'on a a6 = c (a + ^)5 il est sur la bissectrice partant de C et h^ — h^^ + /^^ ; si a6 = ±: c {a — b), il est sur
la bissectrice extérieure et /i z=z±(h — h.).
c \ a bj
20. — L'iperbole circonscrite qui contient les points de Brocard coupe
l'iperbole de Kiepert au point ~~, — ; — - ? etc. inverse du milieu de la
distance des points de Brocard, son centre est le point ( \ ? etc.
21. — Si l'on décrit les trois circonférences A(p), B(p), C(p), puis les cercles décentres A, B, C et respectivement ortogonaus à C(p), A (p), B (o), ces trois cercles ont le même centre radical quel que soit p. Il en est de même des trois circonférences de centres, A, B, C et respectivement orlogonales à B (p), C (o), A (p).
22. — Soient A'B'C' le triangle ortique de ABC, A% B% C les projections de A, de B et de C sur WC\ C'A', A'B' ; les trois droites A'A^ B'B% C'C" concourent au point : cos A (cos^ B + cos^ C), etc.
23. — • Lorsque trois droites concourantes partant des somets d'un triangle ABC, coupent les côtés oposés en A^, B^, C^ et que les longueurs AA^, BB^, ce sont désignés par /, m, n, les trois simétriques de ces droites par raport aux hauteurs avec iesquèles èles ont une extrémité comune, concourront également si Ton a
^(^2 ^2) (^aH^ i .jnV) — 0.
24. — M. Maurice d'Ocagne a signalé que si Ton prend sur les hauteurs
les points A', B', G aus - de ces hauteurs à partir de A, B, C, le cercle
circonscrit à A'B'C passe à l'ortocenlre et que ce triangle est inversement semblable à ABC^ Cela posé si Ton apèle D la distance du centre du cercle circonscrit à Fortocentre, on trouve que le raport de similitude est :
