A L’ESSAI

$ I. Sur les moyens de décomposer un nombre donné en quatre carrés , de manière que la somme de leurs racines soit égale à un nombre donné.

(i) Il s'agit en general de satisfaire aux deux équations

a — j* -f- /* + tt* v*, h s t "f* u “f- v j

dans lesquelles a et A sont des nombres donnés, et où Ton suppose les quatre racines s, t, «, v positives.

.^observe d’abord que + i étant toujours un nombre pair, il faut que a-\-b soit aussi un nombre pair; ainsi les nombres donnes a et b devront être de la même espèce , c’est-à-dire tous deux pairs, ou tous deux impairs.

En second lieu, si les quatre nombres s, f, u, v étaient égaux l on aurait a=.t\s', d’où i = et s > , de ces quatre

nombres, trois étaient nuis, on aurait a = s‘, b = s , ce qui donnerait i= y/u; donc en général b doit toujours être compris entre les limites y/ a et sftÿa.

tes conditions ne sont pas les seules qui doivent avoir lieu pour que le problème soit possible; mais avant de le considérer dans toute

sa généralité , nous examinerons d'abord le cas où l’un des nombres

s, /, u t v serait zéro.

(a) Nous aurons, dans ce cas, à résoudre les deux équations a = t‘+ u'-\- <■',

et voici les conditions de leur possibilité.

i*. 11 faut que a ne soit pas de la forme ~ 7) î car on sait qu’aucun nombre de celte forme n’est la somme de trois carrés.

2°. I.e nombre b doit toujours cire de même espèce que a; mais il faudra de plus, dans ce cas, que b soit compris entre les limites y/a et y 3 a. En cfï’et, si les trois nombres t , u, v étaient égaux, on aurait a — 3 t‘, b = 3 /, ce qui donnerait b = y/ 5 a; c’est la plus grande valeur de b ; la plus petite est, comme dans le cas général, b— y/a.

Cela posé , des trois nombres i, u, v, l’un au moins sera de même espèce que a. Soit t ce nortibre , les deux autres u et e devront être tous deux pairs ou tous deux impairs. Faisant donc w-f-i' = 2/?, u — i> = ■;.(/, ce qui donne u =/? -f- q, v —p — <y, i=.b — ip, il restera à satisfaire à l’équation o = (b — a/>)* -f- ( p -+■</)'-{-( p — f])', ou à la suivante :

njL ~~ ~ (3p — h Y -+- V*

De là on voit que la troisième condition nécessaire pour la possibilité de la solution, est que le nombre - — - — se réduise à la forme x*-f-3y*, ce qui aura lieu si ^ * n’a que des facteurs simples de la fonnje

6«-f-r, auxquels peuvent se joindre le facteur 5 , si b est divisible par 3 , "et le facteur 4 > si a est de la forme 8 n-f- 3 , ou si a est divisible par 4*» auquel cas b doit être divisible par a‘.

Ayant donc fait — a — = ./* + %’» on eu tirera q~g, p=

et si les trois valeurs t=b — 3 p, u=p-±-tj, v=zp — y, sont toutes positives, on aura la solution des équations (a).

( 3 ) Exemple 1 . Soit 0 = 678, 4 °> les deux premières condi-

tions seront satisfaites; on aura ensuite 1 ( 3 a — b") =. 217 = 7. 3i , et

SUPPLÉMENT. j

puisque les facteurs 7 et 3i sont de la forme 6/1+1, la troisième condition est encore remplie.

Il reste à mettre 7.01 sous la forme y*+3g*, ce qu'on peut faire de deux manières, soit par les valeurs f— 5, g— 8, soit par les valeurs f — i3, g=4> et parce que, dans les deux cas, on trouve des valeurs positives pour les indéterminées t, u, v, il en résulte les deux solutions suivantes :

f 678 = 10*+ a3*+ 7* f 678 = aa’+ i5* + 5*

( 4 ) Exemple II. Soit a=8oo3, £ = 121 , les deux premières conditions sont remplies ; la troisième l’est également , puisqu’on a ï( 3 « — b') = 4684 = 4 - 1 1 7 1 » cl que 1171 est un nombre premier de la forme 6n + 1 . Ce nombre peut se mettre sous la forme 3a *+3. 7 *, et son produit par 4 ou i*+3.i*, prend les deux formes 53*+3.a5* et 1 1* + 3.5<)*; mais ces deux formes ne conduisent qu’à une seule solution, laquelle est

8oo3 = 83‘+ 33*+ 5*, îai = fc3 + 33 + 5.

(5) Au moyen des formules précédentes on pourra, dans beaucoup de cas, non-seulement décomposer en trois carrés un nombre donné qui n’est pas de la forme 4‘(8" + 7), mais de plus, faire ensorte que la somme des racines de ces carrés soit égale à un nombre donne.

Si on veut décomposer un nombre donné N en trois triangulaires dont les côtés pris ensemble fassent une somme donnée e , il faudra satisfaire aux deux «équatioiiâ

jy — :£±£.+ ?j±i . f . ïL ±? ,

Or il est visible que ce problème est renfermé dans celui que nous venons de résoudre. Il faudra faire «=8iV+3, £ = ac + 3, et après avoir trouvé, les valeurs de t, u, v , on en déduira celles de

x,j,s, savoir, * = -j- , y — -5— , z = —^-.

Par exemple, soit JV = iooo et c = 5g, on aura «=8oo3 et rai, ce qui donnera, d’après l’exemple II, la solution x = 4 1 ,

s=a. On a en effet,

(G) Venons maintenant à la resolution générale des équations (>)» clics donnent d'abord ce résultat remarquable,

d’où l’on voit que l^a — b' doit être décomposable en trois carres, et qu’ainsi une troisième condition nécessaire pour la possibilité du problème, est que 4 «— ** ne soit pas de la forme 4‘(8« + 7J- Si 4 a — b' n'est pas de cette forme, il sera toujours possible satisfaire , d'une ou de plusieurs manières , à l’équation

on regardera donc x, j, z comme connus, et en supposant que u, v soient rangés par ordre de grandeur, ainsi que x, y , z, ors aura, pour déterminer s, t , u, v, les quatre équations

On a mis dans la troisième dzz , parce que , quoiqu’on ait par hypo* Üièse s>t>u> e, il n'arrivera cependant pas toujours que la somme

soit plus grande que l+u. • * ,

Il faut maintenant que les valeurs de s, t, u, v, déduites des équations précédentes, soient positives, sans quoi le problème ne serait qu’improprement résolu. Or cette condition peut toujours être remplie en limitant convenablement la valeur de b. Pour le faire voir, .1 faut examiner successivement le cas où « et b sont impairs , et celui ou ils sont pairs.

Premier cas , a et b impairs.

( 7 ) Dans ce cas , /<a-b' sera de la forme 8 « + 5, et on pourra toujours satisfaire ù l'équation

SUPPLÉMENT. , g

où Jf*+^*+s* désigne l’une des formes trinaires du nombre — b'. Ensuite on déduira des équations de l’article précédent les valeurs des indéterminées s, t, u, v , comme il suit :

Puisque les nombres b, x y y , z sont tous impairs, il faudra que l’un des nombres i-f-x -+-y + z, b-\-x+y — >2 soit de la forme 4 n, et l'autre de la forme 4" + 2 ; donc, en prenant convenablement le signe de z, dans l'expression de s, on aura un nombre entier pour la valeur de s, ce qui donnera ensuite des nombres entiers pour les ’ valeurs des trois autres indéterminées. On voit par là qu'il n'y a qu'un des deux signes de z qui puisse être employé, et qu’ainsi on n’a qu'une solutiou pour chaque forme trinaire de \a — b'.

(8) Maintenant, puisque nous avons supposé x>y> s , il est clair que les valeurs de s , t, u, v seront toujours positives, si celle de v

l’est dans le cas le moins favorable, c'est-à-dire si l’on a — o,

OU -f- > O.

Il suffit , pour cela, qu’on ait < £+ 4» car b — x — y — s

doit toujours être divisible par 4, dans le cas dout il s’agit. Or, d'après l'équation 4 a — J* = x* -f- y* -f- z*, on a x -±-y-j-s <. \Z5(4« — b') , et en faisant (i + 4)‘ = 3(4« — £*)> ou tirera de cette équation

Si donc b, qui doit toujours être plus petit que y'^a, est supposé en meme temps plus grand que la limite t/( 3a — 3 ) — î , on sera assuré que les valeurs des indéterminées s , t, u, v , déduites des formules précédentes , seront toutes positives , et qu’ainsi le problème sera résolu.

Un seul cas fait exception, c’est celui où l’on aurait à-la-fois x ~y = s = sJ et V '(^ a — 5) — i ; car alors il en ré-

sulterait X -+-y -+• z = b + 4 , et par conséquent v— — I. Mais il est facile de faire ensorte que ce cas particulier tie puisse avoir lieu , il suffit pour cela d'augmenter aussi peu qu'on voudra la limite inférieure de b.

Nous supposerons donc désormais que les limites de b sont

b>\/(Za — a) — i, b<[/ 4 a;

et dans cette hypothèse les formules (4) donneront toujours des valeurs positives pour les quatre indéterminées s, t,u, v, même quand b serait égale à sa limite inférieure.

(9) En admettant la limite b'^>\/'Ç>a — a) — i, on a la certitude que la solution sera donnée toujours en nombres positifs. Mais il ne s’ensuit pas que si on prenait b plus petit que cette limite (et cependant plus grand que \/ a ), le problème ne pourrait être résolu en nombres positifs. 11 arrivera, au contraire, assez souvent, surtout si a est un grand nombre, que des valeurs de b plus petites que la limite assignée donneront des solutions eu nombres positifs ; et ces solutions se trouveront également par les formules (4)» toutes les fois qu’elles pourront avoir lieu. C’est ce dont on verra un grand nombre d’exemples ci-après.

Second cas. a et b pairs.

(10) Les nombres a et A étant pairs, — b * sera divisible par 4 ;

et puisque celte quantité est représentée par x* + a*, il faudra

que les trois nombres x, jr f z soient pairs. On simplifiera donc

l’équation en mettant ax, y, as à la place de x , s, ce qui

donnera

Cela posé , si a — (; b)‘ n’est pas de la forme 4 * (80 + 7) , cette équation sera satisfaite par toute forme trinaire , propre ou impropre , du nombre a — (4 b) % . Connaissant donc les trois nombres x , jr f z, ou aura pour déterminer s , l , u , v, les quatre équations

s-f-1 -)-« + »> = A , s -f- t — u — v = ax ,

s + v — / — u~.dc.2z,

d'où l’on tire les valeurs

(6) * = ** ■ — r , t~~b— s-f-x, uc=\b—s+jr , vz=±b— sdzi.

SUPPLÉMENT. t »

Ces valeurs seront des nombres entiers dans les deux cas que présente le signe ambigu; ainsi il en résultera toujours deux solutions, excepté le cas de z = o , où les deux solutions se réduisent à une seule.

(11) Maintenant , pour que ces solutions soient admissibles, il faut que les quatre nombres s, t, u, t* soient positifs, ce qui aura lieu si dans le cas le moins favorable , v est positif , ou si 1 ou a

Cette condition sera remplie comme dans le premier cas, en supposant b > t/( 3 a — a) — t. D’ailleurs on devra faire les mêmes observations que dans l'art. 9, relativement aux solutions qui peuvent avoir lieu dans certains cas où b serait inférieur à la limite assignée.

(12) U y a diverses remarques à faire sur la solution du problème précédent , selon les diverses formes du nombre a.

i*. Si a est de la forme /\ti -f- 2 , le nombre a — -b' sera del une' des formes 4 /« -f- 1 , 4 « + 2 , lesquelles sont toujours décomposables en trois carrés, d’après la théorie exposée dans la troisième partie. Donc dans ce cas, les équations proposées seront toujours résolubles.

2 0 . Si <1 est de la forme 8/1 +4 , on pourra satisfaire aux équations proposées de deux manières , les nombres s ,t , «, t» étant tous pairs ou tous impairs : ces deux solutions seront données par les formules (6); mais il faut , dans ce cas , que a — b‘ ne soit pas de la forme 4* ( 8n -f- 7).

3 J . Si a est de la forme 8 ( an -f- 1 ) , les nombres s , / , u , v devront être pairs , et en général si a est de la forme a* 1 "*" ( an 4 - 1 ) , ces nombres devront être divisibles par a*; leur somme b devra donc être aussi divisible par a* et même par a 1 *', parce que le quotient devra être pair. Soit donc a = 2“ a', b = a* b', s= a‘s' , t = a*/', u — a* u', v = a**»', la solution des équations proposées se réduira à celle des équations

a = s'* + f* -f- u'* -t- v", i' = s' + t + uf +

elle sera donc toujours possible , puisqu’alors n est de la forme 4 « 4 - 2. Mais on remarquera que dans ce cas il ne suffît pas que b soit compris entre les limites y fat d y( 3 n — 2 ) — 1 > *1 faut e, icore T 116 ^ so 't divisible par a‘ +I . Les autres valeurs de b comprises eulrc les limites

ja THÉORIE DES NOMBRES.

assignées , ne pouvant satisfaire, on trouverait qu’elles réduisent a — ji*

à la forme 4* (8« -f- 7 ).

On pourra descendre au-dessous de la limite \/( 3 a — a) — 1, pour essayer s’il y a d’autres solutions; mais il faudra toujours que les valeurs de b soient divisibles par a*'*' 1 .

4 % Enlin si a est de la forme 2* ,+ ‘ ( an -f- 1 ) , k n’étant pas aéro , il faudra que chacun des nombres s, t, u , e soit divisible par a‘, et leur somme b par a‘ +1 . C’est pourquoi faisant a=sa*‘fl', i = a‘A', s — a* s', t = a* ( , u = 2 k u', v = a* v’, les équations proposées se réduiront aux suivantes ,

dans lesquelles à sera de la forme 8 /j 4 " 4 > c * H 11 * se rapporteront ainsi au second cas, comme le précédent se rapporte au premier.

(i 3 ) La théorie exposée dans ce chapitre, est la base de la démonstration générale du théorème de Fermât, dont nous nous occuperons dans le chapitre suivant; elle peut être utile dans plusieurs autres recherches d’analyse indéterminée.

O11 voit déjà que cette théorie donne une extension remarquable aux deux premiers cas du théorème sur les nombres polygones , puisqu’elle offre les moyens non-seulement de décomposer un nombre donné en trois ou en quatre carrés, mais de faire ensortc que la somme des racines de ces carrés soit égale à un nombre donné pris entre certaines, limites.

$ II. Démonstration du Théorème de Fermât , sur les nombres polygones , et de quelques autres Théorèmes analogues.

04)0 i* a fait voir ci-dessus (art. i54) qu'un nombre polygone de l'ordre m + a , a pour expression générale

x désignant le côté de ce polygone , ou le rang qu’il lient parmi les polygones du même ordre. Cette expression prouve que o et 1 sont deux termes communs aux polygones de tous les ordres.

Les nombres triangulaires résultent de la supposition m = 1 , et les carrés de la supposition m = 2 ; dans ces deux premiers cas , il est indifférent de prendre x positif ou négatif, et on n’obtient qu'une seule et même suite , celle des nombres triangulaires ou celle des Carrés.

Mais m étant > a , l’expression géne’rale des nombres polygones» donne deux suites différentes pour chaque ordre, scion qu’on suppose x positif ou négatif. Ces deux suites sout liées entr’cllcs par une même loi , de sorte que l’une n'est que le prolongement de l’autre ; mais dans l'application au théorème de Fermât, on fait toujours abstraction de la suite formée avec des valeurs négatives de x , cl on ne considère qne celle qui est formée avec les valeurs positives , comme les présente le tableau du n° 1 54-

( i5) Cela posé, il faut démontrer qu'un nombre quelconque est composé d'autant de polygones de tordre m -f- 2 , qu'il y a d'unités dans m -f- a.

Le nombre des polygones qui composent un nombre donné , pourrait cependant être moindre que m -f- a ; mais en regardant o comme un polygone complélif, le nombre des polygones pourra toujours être censé »n-f* a, conformément à l’éuqncéde la proposition.

Ce théorème ayant été démontré daus le Traité précédent, pour le

i 4 * THÉORIE DES NOMBRES,

cas des nombres triangulaires et pour celui des carre's , qui sont les deux premiers de la proposition generale , nous ne considérerons que les cas ultérieurs où Ion a m > 2, savoir, rn= 3 pour les nombres pentagones , m = 4 pour les hexagones, et ainsi de suite.

Or d après ce qui a etc démontré dans le § précédent, il ne reste plus a établir qu’un petit nombre de propositions subsidiaires pour

parvenir à celle qui fait l’objet de ce chapitre.

(1G) THf:or.fcne I. « a étant un nombre impair quelconque, non » compris dans les dix suivans 1, 5 , 5 , 7, 11 , i5, 19, a3, 37 , 71 , » il existe toujours deux nombres impairs consécutifs c, c — a, tels » qu’en faisant successivement b = c et b=c — 3, ou pourra, dans » les deux cas, satisfaire aux équations

» avec la condition que les racines s , t , u , v soient toutes positives. »

En effet , i*. si la différence entre les limites \ / t a et y ( 3 « — a) — 1 , est égale à 4 °« plus grand que 4 » il y aura au moins quatre nombres entiers consécutifs compris entre ces limites. De ces quatre nombres , # deux seront impairs et pourront être pris pour b ; les équations proposées seront donc résolubles , dans les deux cas , par les formules de l’art. 7.

Or en faisant — t /( 3 a — a) -t- i = 4 > on trouve a— îai ; donc

le nombre 121 et tous les nombres impairs plus grands que 121 , jouissent de la propriété mentionnée.

a”. Si ensuite on examiuc tous les nombres impairs an-dessous de 121 , on trouvera que pour une partie de ces nombres , il existe deux valeurs de A comprises entre les limites y 4 a el V/( 3 a — a) — 1, et que pour l'autre partie il n’existe qu'une seule valeur de b.

Dans le second cas, 011 devra essayer , d’après les formules de l'art. 7, si le nombre impair immédiatement inférieur, quoique plus petit que la limite l/( 3 n — a) — 1 , ne peut pas être pris pour b , et conduire aune solution des équations (1), dans laquelle les racines s, / , «, v soient prises positivement.

Cet essai réussira pour la plupart des nombres dont il s’agit , et il ne restera que les dix valeurs mentionnées de a , savoir , 1 , 3 , 5 ,