ni

to

(17) Pour mieux faire concevoir la construction de ce tableau, nous allons donner des exemples de chacun des trois cas qu'il présente.

Premier cas. Si on fait a = 65 , on trouve pour b les deux valeurs i 5 et i 3 , comprises entre les limites Vaüo et VHP — j. Les mêmes valeurs auraient également lieu pour les nombres 65 , 61, 5g, 57; aussi voit-on dans le tableau, que pour tous les nombres impairs de 65 à 57, les valeurs correspondantes de b sont i 5 et i 3 .

Second cas. Si on fait a = 4 1 > on trouve qu’il n’y a que le nombre impair 11 qui soit compris entre les limites \/i 6 4 et V121 — 1 ; mais si on essaie la valeur suivante b— g, quoiqu'inférieure à la limite V'121 — j , on trouve par les formules du n° 7 , qu'elle satisfait aussi , puisqu'on a 4 » — 6’ *+• a* -+• 1* et 9=6+3 + !. On a donc mis dans la table les valeurs b = 11 ,A = g, correspondantes au nombre a =* 4 1 î mais on a distingué par une * la seconde valeur 9, pour avertir qu’elle est inférieure à la limite l/( 3 « — 2 ) — 1.

Troisième cas. Si on fait a= 71 , on ne trouve qu’un nombre impair

i 5 , compris entre les limites qui conviennent à cette valeur de fl J savoir, VaR; et S/" 211 — 1. Si ensuite on essaie la valeur ê = i 3 , on trouve par les formules du n* 7 , quelle n’est pas admissible , parce que l’une des indéterminées s , t,u, v serait négative. On n’a donc mis dans le tableau que la seule valeur b = i 5 , correspondante au nombre a — j\.

(18) Tuéorème II. « Soit a un nombre impair quelconque; soient

>1 c, c — a , c — 4 j </, les diverses valeurs successives de b avec

» lesquelles on peut résoudre en nombres positifs les équations (1); soit u enfin r un terme quelconque de la suite o, 1 , a, 3 wi— -2.

» Si on considère la fonction

» dans laquelle b et r sont des termes pris à volonté dans les suites n qui leur sont propres, et qu’on appelle P ou P («) la plus petite valeur » de cette fonction , Q ou Q (a) la plus grande ; on aura

Q (fl) = ~(a — d) + d + m— a.

» Cela posé , je dis , i*. que tous les nombres entiers compris depuis » P (a) jusqu’à Q («), seront représentés par la fonction Z; a*, que tous » ces nombres pourront être décomposés chacun en m -(- a polygones » de l’ordre in + a. »

En effet , 1°. soit Z = P (a) + p , p étant un nombre pris à volonté depuis 1 jusqu’à Q(fl) — -/'(fl), on aura pour déterminer b ti r , l’équation

or puisque p et m — a sont deux nombres donnés , on voit que r est le reste de la division de p par m — 2 , et que si on appelle q le quotient

de cette division , on aura ~ = q , ou b = c — a q.

Il suit de là que pour chaque valeur donnée de p , on n’a qu’une solution , excepté lorsque le reste r est aéro j car alors on peut faire

SUPPLÉMENT. ï 7

indifféremment r = o ou r—m — a, et il y aura deux solutions. Cependant s’il s’agit du dernier des nombres P (<i) -\-p , qui est Q ( a ) , il faudra prendre r = m — a, et il n’y aura qu’une solution, parce qu'en faisant r=zo, on aurait b=d — a , nombre qui n’est pas compris dans la suite c , c — a, c — 4>

a°. ou P -f- p étant un nombre quelconque pris dans la

suite P , P-j- 1 , P -h a Q, puisqu’on peut toujours supposer

P-\-pz=^(a — b) -f- b -f- r , si on substitue dans celte expression les valeurs de a et b données par les équations (i),on aura

Donc si on désigne en général par pol. x , le polygone de l’ordre m- f- a dont le côté est x , on aura

P-\-p=z pol. s -f- p°l. t -f- pol. M-f- pol. p-f- r pol. i ;

c’est-à-dire que le nombre P -\-p sera composé des quatre polygones dont les côtés sont s , t , u, v , et de r polygones égaux à l’unité ; donc comme r est < m — a ou tout au plus = rn — a, il s’ensuit que le nombre P + p sera composé de m -f- a polygones de l’ordre m -f- a , dont m — a sont égaux indifféremment à zéro ou à l’unité.

(19) Théorème III. « Lorsque a = îat , la plus grande valeur de b » est 1 , et alors on a P (a) = ™ (a — ô)-t-ô = 5 o/?i-f-ai, nombre

» qui , suivant la proposition précédente, est la somme de quatre poly- » gones de l’ordre m -f- 2.

» Cela posé, je dis que tout nombre entier plus grand que 5 om+ai , » est la somme de m -f- 2 polygones de l’ordre /»+ a, dont m — a sc- » ront égaux à zéro ou à l’unité. »

En effet, soit» un nombre impair quelconque plus grand que lai ; il existera toujours, suivant le théorème I , deux nombres impairs consécutifs c, c — a , compris entre les limites et |/( 3 a — 2) — 1 , et il suit du théorème précédent que si l'on fait

j 8 THÉORIE DES NOMBRES,

tous les nombres entiers compris depuis P ( a ) jusqu’à Q (a) inclusivement , seront la somme de m + a polygones de l’ordre m + a.

Considérons maintenant le nombre P(a~ f-a), et soit c le plus grand nombre impair compris dans )/(4 a 4* b) , comme c est le plus grand nombre impair compris dans \Z^a; >1 faut distinguer deux cas, selon qu’on' a c'=zc } ou c'=c-f-a; car il est évident qu’on ne peut faire aucune autre supposition sur la valeur de c'.

(20) Si l’on a c'=c, il suffira de mettre a + 3 au lieu de a, dan» l’expression de /*(«), et on aura

comparant cette valeur avec celle de Q(o), on en lire P(a -f- a) = Q(n) — m -f- 4 -

Or la moindre valeur de m étant 3 , on voit que le nombre / 3 (« 4 -a) ne surpasse Q(a) que dans le seul cas de m= 3 , où l’un a PÇu- f-a) = Qi a ) + >• Dans tout autre cas, P(a + 2) est compris dans la suite P{n), />(«.) + !, P(a) -f- 3 Q(a).

Mais on a vu que tous les nombres de cette suite sont composés de /n+a polygones de l’ordre ;«+a, et dans le cas où le terme P(a-{- a) sortirait de cette suite, pour y ajouter le terme suivant ce terme serait composé de quatre polygones seulement; donc tous les nombres entiers compris depuis P(a) jusqu’à P(a+a) inclusivement, sont composes de m-f-a polygones de lordre m 4-3.

(21) En second lieu, soit c' = c + a,on aura

et par conséquent P(a-\-2) — P(a)-\- 2 = Q(a) — 2 (m — 3 ). De là on voit que P{a-\-h) est toujours plus petit que Ç(fl), excepté dans le seul cas de m= 3 , où Ton a P(a 4 - a) = Q{ a ) i donc tous les nombres entiers compris depuis P(aÿ jusqu’à P(a 4 - 2) inclusivement, sont décomposablcs en n/4-2 polygones de Tordre m + a.

(23) Si on observe maintenant que daus le premier cas on a

P{a -f- a ) = P(a)-\-m, et dans le second P{a -f- s) = P(tt) -+- a ; on pourra en conclure qu’à compter d’un nombre donné a tel que <1=131, la suite P{a), /»(<i-|-a), /'(a+4), etc., formée en augmentant toujours a de deux unités, s'étend à l’infini. Donc tous les nombres entiers compris depuis .P(iai), ou 5om-f-ai jusqu’à l’infini, sont décomposâmes en m-f-a polygones de l’ordre m-f- a. ' V

Il reste à démontrer que tous les nombres inférieurs à 5o m-\- ai , jouissent de la même propriété; c’est l’objet de la proposition suivante, qui complète la démonstration générale du théorème de Fermât.

(a3) Théorème IV. « Tout nombre entier plus petit que P(iai),

» ou 5o/»-f-ai, est la somme de m-h a polygones de l’ordre m-f-a,

» dont m — a sont égaux à zéro ou à l’unité. «

Soit d’abord n= 5; on voit par le tableau du n* 16 que 3 est la seule valeur correspondante de b-, faisant donc c = d= 3, les formules du n' 18 donneront

Q(5) = am -f- 1.

Au-dessous de P( 5) , on a les nombres 1, a, 3 m + a , qui sont

composés d’autant de polygones égaux à 1 qu’ils contiennent d'unités ; ainsi le théorème est vrai à leur égard, on voit même que le dernier de ces nombres m -f- a est exprimé par un seul polygoue , savoir, pol. a.

Le» nombres de P(5) à Q( 5) sont composés comme l’énonce le théorème , puisque cette propriété a lieu en général pour tous les nombres de P(a ) à Ç(n). Ainsi le théorème est vérifié jusqu’au nombre Q{ 5) = am + 1.

Soit maintenant <j = 7,jon aura, par la table du n° 16, c=d — 5 , ce qui donne

Qi'j) = 2™ + 3-

Comme la moindre valeur de m est 3, on voit que P(y) ne surpasse Ç(5) que dans le seul cas où m= 3, et alors on a P(j) S=S Q{^)~ 1“ Donc la propriété générale est vérifiée par tous les nombres depuis 1 jusqu’à Q( 7) = am-f- 3.

On pourrait couliuuer ainsi l’examen des cas particuliers jusqu a

P(iai); mais nous nous bornerons à un pelit nombre de cas généraux qui renferment la solution de tous les cas particuliers. 11 s'agit en general d'examiner si tous les nombres compris de P(a ) à P(a-\-u) satisfont au théorème, ou s'il y a exception pour quelques-uns de ces nombres.

^24) Premier cas. Supposons que pour le nombre a il y ait deux valeurs correspondantes de b, savoir c et c — 2, et que pour a-j-2 il y ait une ou plusieurs valeurs de b , dont la plus grande soit c, on trouvera, comme dans l’article 20, que tous les nombres de P(a) à P(a -+- 2) satisfont au théorème.

Second cas. Supposons que c et c — 2 étant les deux valeurs de b correspondantes au nombre a, on ait c -I- 2 pour la plus grande ou la seule valeur de b correspondante au nombre f— a ; on trouvera encore, comme dans le n° 21, que tous les nombres de P(a) à P(a- f-2) satisfont au théorème.

Troisième cas. Supposons que b n’ait que la seule valeur c correspondante au nombre a , cl que pour a -f- 2 on ait une ou plusieurs valeurs de b, dont la plus grande soit c-f- 2 , on aura, dans ce cas,

De là on voit que P(a 4- 2) ne peut surpasser Q{a) qne dans le seul cas de /h= 5 ; qu’alors on a /'(a-f-a) = y(n)+ 1 ; que dans tous les autres cas jP(n-f- a) sera plus petit que Q{a) , ou tout au plus égal à <?(«), et qu’ainsi tous les nombres de P(a) à P(a -f- 2) satisfout au théorème.

Quatrième cas. Supposons enfin que relafivemcnt à a on ait la seule valeur b — c, et relativement à a + 2, une ou deux valeurs de b y dont la plus grande soit c, alors on aura

SUPPLÉMENT. ' ai

On voit dans ce cas qu'il y a une lacune entre Q(a ) et .P(<j-f-a), car on a P(a 4- 2) = Ç(u) -J- a , et l'intermédiaire qui manque est Ç(a) + i. Ainsi, sauf cette exception, le théorème démontré jusqu'à JP(a) , le sera jusqu'à P(a + a).

(a5) 11 suflil maintenant de jeter un eoup-d'œil sur le tableau du n“ 1G, pour trouver quels sont les nombres Q(«)4- 1 qui tomberont dans l’exception du quatrième cas. Ces nombres sc réduisent à quatre, savoir :

or l'expression générale de pol, x (art. ï/|) douue

pol. a = m -f- a ,

pol. 3 = 3 m -f- 3 ,

pol . 4 — 6/» -f- 4 j

pol. 5 = 10m -f~ 5 ,

et par le moyen de ces polygones on pourra exprimer les quatre nombres précédons comme il suit :

am - f- 4 = apol. 2 ,

5m -f- 6 = 4 pol. a -f- (m — a) pol. 1 ,

8m -f- 8 = pol. 4 + 2 pol. a ,

i4m -f- 10 = pol. 5 4- pol. 3 4- pol. a.

Un seul cas, celui de 5m4-G, exige m4-a polygones; les trois autres n'en exigent que deux ou trois. Donc les exceptions rentrent dans la proposition générale ; donc , tout nombre entier est la somme de ni4-a polygones de P ordre m 4" 2 , durit m — 2 seront égaux à zéro ou à l’unité.

(a6) La démonstration que nous venons de donner du théorème de Fermât, ne suppose connue que la démonstration du premier cas de ce théorème, concernant les nombres triangulaires. Or celte proposition fait partie de la théorie générale des formes trinaires des nombres, exposée dans la troisième Partie. Nous avons d'ailleurs prouvé (n° i55), qu’en supposant ce premier cas démontré , on en déduit immédiate-'

aî THÉORIE DES NOMBRES,

ment que tout nombre entier est la somme de quatre carres, ce qui est le second cas du théorème de Fermât. Ainsi du premier cas on déduit tous les autres.

Comme on ne peut guère douter que Fermai n'ait été réellement en possession de la démonstration générale de son théorème sur les nombres polygones, il est à croire que celte démonstration était totalement différente de celle que nous venons d’exposer. En effet, il parait d'abord que Fermât n’avait aucune connaissance de la théorie des formes trinaires des nombres , excepté dans le cas des nombres 8 ra+ 3 , qui revient au premier cas de son théorème, mais dont il ne fait pas mention, et dans le cas des nombres premiers 8 n — i , qu’il assure être de la forme p' -f- y* -f- ar*, dont le double est la somme de trois carrés. Si Fermât eut connu la théorie donl.il s'agit, il n’aurait pas restreint cette dernière propriété aux nombres premiers 8 n — i , puisqu’elle s’étend généralement à tous les nombres impairs. En second lieu, si la démonstration de Fermât eut été la même que la précédeute , ou fondée sur les mêmes principes , il n'aurait pas manqué d'ajouter au théorème la condition qui lui donne plus de précision et d’élégance , savoir, que sur les m- f- a polygones de l’ordre ni - f- 2 qui composent ün nombre donné, il y en a toujours rn — 2 qu’on peut supposer égaux à zéro ou à l’unité.

M. Cauchy a donc fait une découverte importante dans la théorie des nombres , en donnant le premier la démonstration du théorème de Fermât , devenu plus précis par la condition qu’il y a ajoutée. Mais on peut aller encore plus loin en démontrant que, passé une certaine limite facile à assigner pour chaque ordre de polygones , tout nombre donné peut être décomposé en quatre polygones ou en cinq au plus. Celte nouvelle propositiou fera l'objet des recherches suivantes.

(27) Supposons que le nombre donné A soit décomposable en quatre polygoues de l’ordre m-f- 3, il faudra faire

et déterminer les nombres a et b de manière qu’on puisse résoudre en nombres entiers positifs les équations

a = f • -f- /* -f- «* -f. t>*, i = tf. + ( + a +

or il sera possible de satisfaire à ces équations , si a et b sont de même espèce, si b est compris entre les limites y/ ( 4 a) et l/( 5 a — a) — 1 , enfin si a est impair ou double d'un impair. Il y aurait d'autres valeurs de a et de b qui permettraient d'effectuer la résolution des équations (1) ; mais il suffira de considérer celles dont nous venons de faire mention.

(a8) Si l'on fait successivement b = \/ I\a et b — \/( 3 a — a) — 1, on trouvera que les limites de b correspondantes au nombre donné A , sont •

=*+ v/CÏ+m].

ir + vllï — 5 + (^ir) ] ■

et si on suppose que A est un grand nombre , on aura à peu près

Kt/H, b>J*±.

Connaissant les diverses valeurs de b par ces limites , on connaîtra a par l'équation a =. b -f- — (A — b) ; et comme a — b doit être pair , il s'ensuit que — — - est un entier. Soit cet entier=ar, on aura

b = A — rn.T , a = b -f- 3X.

Cela posé , on peut démontrer les propositions suivantes.

!%) Théorème V. « m étant un nombre impair, si A est un nombre « donné quelconque > 38/jr 3 , je dis que A sera décomposable en quatre » polygones de l’ordre m -f- a. »

Les limites de b étant connues , on connaîtra celles de x par l'équation x = t: É— — . Supposons que la différence des limites de b soit égale à

a m ou plus grande que a m, alors la différence des limites de x sera égale h a ou plus grande que a ; donc x aura au moins deux valeurs consécutives h , /< -f- 1 ; et puisque m est impair , les deux valeurs correspondantes de b , tirées de l'équation b— A — mx , seront l’une paire, l’autre impaire. En prenant la valeur impaire, le nombre a sera aussi

a4 • THÉORIE DES NOMBRES.

impair, puisqu'on a a — b- f-ax; on pourra donc résoudre les équations (i). Donc pour que le nombre A soit décomposable en quatre

polygones de l’ordre m -f- a, il suffit qu’on ait > a m ,

ou A > mi' ( t/8 -f- y'O)' , ou plus simplement A > aSm 1 ; ce qui s’accorde avec l’énoncé du théorème.

On voit que ce théorème est d’une grande généralité , puisqu’il s'applique à tous les nombres plus grands que la limite a8/n ! , et qu’il suppose seulement que l’ordre des polygones, désigné par m -f- a , est impair.

( 3 0) Théorème VI. « m étant pair, tout nombre impair A > 7m 5 , » sera decomposable en quatre polygones de l’ordre m - f- 1 ; et tout » nombre pair A- 1- 1 > jnt 1 sera decomposable en cinq polygones dont » un sera égal à l'unité. »

En effet , si A est impair et m pair , il résulte immédiatement des équations (a) que b et a sont des nombres impairs, quel que soit x ; ainsi la solution sera toujours possible s’il y a une valeur de x comprise entre les limites requises , c'est-à-dire si les limites de b different cntr'elles d'une quantité plus grande que m. On devra donc avoir

Cm) ~ \/ (v) > m ’ ce T li donne A > 7 m '-

Quant à la seconde partie du théorème , elle suit immédiatement de la première , puisqu’en retranchant 1 du nombre pair donné , on a un nombre impair qui est décomposable en quatre polygones de l’ordre //i-J-a. «

(31) Théorème VII. « Sim est pairement pair ou de la formel, » tout nombre pair A > a8m 5 sera décomposable en quatre polygones » de l'ordre m - f- a. u

Car puisqu’on a a = A — ( m -4- a ) x, s’il y a deux valeurs x = h , x = h -f- J , comprises entre les limites qui conviennent à x , ou si l'on a A > a8m’, et qu’on appelle a , a, les deux valeurs correspondantes de a , on aura a — s* — a = 4 n — 2 ; donc des deux nombres a , a', il y en aura un impairement pair, et la solution sera possible.

(3a) Théorème VIII. h Si m est impairement pair ou de la forme 4 n ~h 3 >

» tout nombre impairemcnt pair A > 7 m' sera décomposable en quatre » polygones de l’ordre m -f- 2. »

Car puisqu’on a a -=A — (m — 2 ) x , et que m — 2 est de la forme 4 n, le nombre o sera impairemcnt pair, quef que soit x. Il suffît donc que x ait une valeur , c’est-à-dire qu’on ait A > 7m’, et la solution sera toujours possible.

Au moyen de ces propositions, il est démontre que tout nombre A qui passe une certaine limite, est décomposable en quatre polygones de l’ordre m-f- 2 , excepté seulement le cas où m -f- a et A seraient l'un et l’autre divisibles par 4- Or ce cas même peut être réduit' à la moitié de son étendue par la proposition suivant.

(33 ) Théorème IX. « Si m est impairement pair , ou de la forme

» /fin + a , tout nombre pairement pair tfA' > 28/H 3 sera décompo- » sable en quatre polygones de l’ordre m •+- 2 , pourvu que A' — m » soit impair. » •

Car puisqu’on a a — /\A' — ’4 m'x et b = /fA' — ax , si l’on fait ; a =s a' et | b = b', la résolution des équations (1) pourra être donnée par celles des mêmes équations où l’on metlrait/i' et b’ à la placé de a eti; alors 011 aurait

Or puisqu’on suppose A’ — m impair, si on a une valeur impàire dex, les nombres a' et b ' 'seront impairs, et on pourra résoudre les équations (1). Il suffit donc pour cela que les limites de x diffèrent entre elles de deux unités au moins, ce qui aura lieu si on a 4 A'^> 28 m'.

11 est inutile de pousser plus loin ces recherches , puisque s’il existe' des cas où un nombre pairement pair qui surpasse la limite 28 ni 3 , ou telle autre qu’on pourrait assigner , n’est pas décomposable en quatre polygones , on est sur que ce même nombre sera décomposable en cinq polygones dont l’un sera égal à l’unité. Nous allons faire voir maintenant , par un exemple , comment on peut déterminer directement les polygones dont se compose uu nombre donné quelconque.

(34) Soit proposé de décomposer le nombre G484 en huit ou en un moindre nombre d’octogones.

II faut, d’après le théorème général , que A — r soit décomposable en quatre octogones, A étant le nombre proposé 6484, et r étant égal

à l’un des nombres o, i , a, 3 , 4 - Or dans le cas de m = 6, les limites ■de b sont, suivant les formules de l’art. a8 ,

On satisfera toujours à ces limites , en faisant dans la première r = o , et dans la seconde /• = 4, ce qui donnera

Ainsi on pour/a prendre pour b un terme quelconque de la suite 8i , 8a , 83 g 4 -

Pour déterminera:, on a l’équation x — = 1080 — ‘

d’où il résulte que

doit être un entier ; ainsi le nombre b devra

être de l’une des formes 6* +o, i, a, 3 , 4 , auxquelles répondent les valeurs /•= 4 » 5 , a , i, o. Cela posé , en se conformant aux limites trouvées , on aura les valeurs de b et r, 'ensuite celles de a: et a, comme il suit:

a: = 1067 , .r = 10G7 , o: = 10G6 , a: = 1066 , x = 1066 , x =s 1066 , x = 1066 , x = io 65 , x = io 65 , x = jo 65 , x se= ioG 5 , x = io 65 ,

a — aai 5 , a = aai6 , a = 3316 j a == 3217 , a = 3318 , a "~ 2219 , a = aaao , a = aaao , a = aaai , a = 2222 , a = 2223 , a — 2224.

. De là se déduisent plusieurs solutions du problème proposé.

x*. Les trois valeurs impaires de a et b auxquelles correspond la valeur r = 1 , donneront trois solutions dont le résultat est que le nombre proposé 6484 se forme de quatre octogones et d’un cinquième égal à l’unité.

a*. Les deux valeurs impaires de a et b auxquelles répond la va-