a bp

on peut même les représenter plus . r Aa

en convenant que A sera toujours positive pour toute valeur impaire

0 = t , 3 , 5 n — 1, et négative pour toute valeur paire

Ces équations sont d'une forme assez simple ; cependant comme elles contiennent deux inconnues p et q , il ne parait pas qu’on puisse les résoudre par une méthode analogue à celles que nous avons données pour la cas des racines réelles, qui n'offre qu'une inconnue.

Si donc on veut éviter les longueurs de l'élimination , par laquelle on pourrait réduire les deux iucounues à une seule , il faudra se borner à résoudre ces équations par une sorte de tâtonnement, en ne supposant autre chose , «inon que q ou r* est compris entre des limites données, et qu’on a toujours p < Vq-

On pot^raii^c trouver aucune solution pour les équations précédentes qui représentent le système (a); mais alors les deux équations semblables qui représentent l’autre système, dans la supposition que les racines imaginaires, c’est-à-dire leurs parties réelles, sont négatives, contiendraient nécessairement toutes les n racines imaginaires de l’équation proposée ; de sorte que si la résolution ne réussissait pas dans un cas , elle réussira nécessairement daus l’autre.

On peut même ne point changer la forme des équations précédentes, et sc contenter de changer Insigne d e p, ce qui reviendra au second système. En effet , la dernière forme ( et' ) , sous laquelle nous avons mis les équations à résoudre , en employant les inconnues p et q au lieu de r et 6, n’a plus l’inconvénient remarqué dans l’art. Gg, et les quatre fonctions

Ç vfa r A Ç Rb Ç B

J a' — a up + <7 * J a' — a ap -J- q ' J b’ — ubp -f- q ‘ J b' — ubp q *

considérées tant par rapport à p que par rapport à q , sont toujours des fonctions omales , puisque p doit toujours être renfermé entre les limites p = o , p — ÿq.

(71) Supposons qu’après quelques essais on a trouvé des valeurs de p et q qui approchent de satisfaire aux équations ( a. 'J. Soient ces valeurs P— J'y q — gy et supposons qu’elles donnent

J «* 4- a af+g V *

P- et v étant des quantités assez petites. Pour avoir des valeurs plus approchées 011 fera p = f + <f g, q — g + Jg, et on aura pour déterminer Sf et S'g , les équations

3 V.f [a' + aaf+gy + ^ /( a* -f- iaf + g )* = ~ t* >

+ an/ -f- g)‘ + + ao/+ g y =

Soit , pour abréger ,

on aura

d'où l'on lire

J («* + «“/+ g )' ’ G r Aa

J (a‘ + au/ + g y ' Ti r di 1 '.

ulUf 4 - GJg = — F, Ffg = — p ,

r/ « O» — Gt

à J — a ' G'—FH 1

JV Ih ~ G * °*> ~ G‘ — FH'

Ainsi les valeurs corrigées de p et q sont

P — J ' â‘ G* — FH »

f —8 ■+" G' — FH'

U faut observer, à l’égard des quantités F , G, 7/, -qu'on a

F* + ,c/+ u = f^épr e = ■ .

faisant donc //= — — a/G -f- ^ , e* négligeant les ternies qui contiendraient deux dimensions des quantités p. et t , on aura

' -7 "r" a' G" + afFG •+■ g/*’ 1 *

/ Gp + ( gF 4- a/G ). \

V— 6 \G* + a/ÎFG + g F* /

Ces valeurs serviront à leur tour à en faire connaître de plus approchées, s'il est nécessaire.

(72) Appelons de nouveau f et g les valeurs corrigées de p el ç , on en déduira les deux racines imaginaires x—fdz y/( f % — g). Pour avoir ensuite les a«tres racines de la même équation , il faut former l’équation qui les contient.

Soient xz=.F t xz= r 1 les deux racines qu’on vient de déterminer , il faudra dans l'équation proposée i + f~ç~ x — 0 > remplacer le coefli-

StTPpriMTWT. s 7

cîenl A par un nouveau coefficient

C’est en effet la conséquence qui résulte des formules de l'article 61 ; et comme on a (« + i / )(u+/')=a l + 3 af -f- g , la valeur de A, sera

. ^ In-jUn-a-,) j

<»*•+■ a af + g

Cela posé , la nouvelle équation du degré n — a à résoudre sera

+ /iTî = 0i

et par la substitution x= pdc \/(p ‘ — 7) , cette équation se partage en deux autres , savoir

1 J a* + aap + q °*

a‘ + aafi +<f

Ces équations sont entièrement semblables à celles de l'art. 70, mais elles contiennent chacune deux termes de moins , puisque les valeurs de A, qui- répondent aux valeurs <j= n , a = n — 1, sont milles. Ainsi la dernière des valeurs de a sera n — a , parce qu’en effet l’équation à résoudre n'est que du degré n — a.

(73) Au moyen de cette analyse , on forme avec beaucoup de facilité les diverses équations qui restent successivement à résoudre , à mesure qu’on trouve deux des racines imaginaires de l’équation proposée. Le procédé pour passer d’un système au suivant , consiste à supprimer deux termes dans chacune des deux équations du système, et à modifier les coefficiens des autres termes suivant une loi constante. Ce procédé donne immédiatement le résultat qu’on obtiendrait en divisant l’équation proposée par le facteur correspondant aux deux racines trouvées, et mettant ensuite le quotient sous la forme qui convient à notre méthode.

Lorsque les opérations nécessaires pour obtenir les racines réelles sont terminées, et qu’il ne reste plus à résoudre qu’une équation de degré pair dont toutes les racines sont imaginaires , on est assuré

d’avance que la resolution est possible. Si donc la recherche qu’elle occasionne devient longue par les làtonnemens qu'on ne peut guère éviter , au moins elle ne .sera jamais infructueuse. D’ailleurs à mesure que les opérations avancent , elles se simplifient progressivenftnt par la diminution du nombre des termes qui devient successivement » — a, n — 4 » n — f>i. efc., comme le degré de l’équation ; et lorsqu'on est parvenu à une transformée du quatrième degré , la solution peut être achevée saus tâtonnement.

( 74 ) La méthode que nous venons de développer est encore fort imparfaite ; mais elle a quelques avantages particuliers qu’elle doit à la simplicité et à l’élégance des formules. Le plus considérable d*ees avantages consiste en ce que , si l’on substitue différentes valeurs pour p ou 1 / , afin d’en trouver qui satisfassent aux équations , la substitution se fait dans chaque dénomiualeur a*-f- iap-\-q , sans exiger aucune opération complexe.

Il n’en est pas de même lorsqu’en faisant x=r(dos9 +t/ — 1 sin fl ) 3 on a à substituer uné* nouvelle valeur de r ou une de fl, dans les équations dont ces inconnues dépendent, pag. i5o. Ces substitutions exigent des opérations compliquées , surtout pour avoir les sinus et cosinus des multiples de fl : ce premier avantage est déjà très-grand.

11 y en a un second qui n’est pas moins remarquable. II consiste qn ce que les deux équations à vérifier se forment simultanément d’une manière très-simple. En effet, si en attribuant des valeurs particulière»

à p et. q, on trouve chaque terme ^ F (a) , savoir,

+ jF '(a) si a est impair , et — F (a) si a est pair, la première des deux équations (*') étant ainsi formée ,

on en déduit immédiatement la seconde qui est

*■(0 + iF( 3) + iF( 5) + -L-F(n- 1

Il devient donc très-facile de vérifier les deux équations à la fois.

SUPPLÉMENT. ’ Si)

(75) Non* croyons avoir expliqué les méthodes précédentes avec assez de détails , pour qu’il soit superflu de produire des exemples de leur usage. Nous ferons seulement une observation générale qui pourra être utile dans les applications ; c’est que si la grandeur des coefliciens de l'équation proposée , ou le calcul de la limite supérieure des racines, indique que ces racines doivent être de grands nombres, il conviendra de les réduire à une grandeur médiocre, en faisant x = my,m étant 10, 100, ou tel autre nombre qu’on voudra, au moyeu duquel les valeurs de y ne puissent contenir que des unités ou des dixaincs au plus. De même si les coefliciens de l'équation proposée étaient tellement petits qu’on dut en conclure que les racines sont

beaucoup plus petites que l’unité , y faudrait faire x s= ^ , et prendre

m de manière que la plus grande valeur de y pût aller jusqu’à un ou deux chiffres en nombres entiers. La transformation est utile dans le second cas surtout , pour éviter que les racines ne soient rapprochées dans un trop petit espace , et qu’on n'en omette quelqu’une dans les approximations successives.

(76) Nous terminerons ces Recherches par une remarque nécessaire pour compléter la résolution de l’équation omale c= $(x), donnée dans les art. 58 et suiv.

On a supposé tacitement, dans ces articles, que la courbe décrite d’après l’équation y = ( x ), était toute concave ou toute convexe

vers l’axe, dans la partie soumise au calcul, savoir, depuis x=o ou <c = k y jusqu'à jr=: r , r étant l’abscisse du point d’intersection M. Celte propriété en vertu de laquelle la suite k , k', K', etc. est continuellement croissante vers la limite cherchée r, a lieu dans une infinité de fonctions omales , et notamment dans toutes celles dont on fait usage dans notre seconde méthode. Mais en général la définition des fonctions omales n’exige qu’une seule condition, savoir, que le coefficient

différentiel conserve le même signe dans toute l’étendue des

x positives. Il peut donc arriver que le coefficient du second ordre ' ~dc^ change une ou plusieurs fois de signe dans la même étendue ,

et alors la courbe y — <p (x) éprouvera une ou plusieurs inflexions ou changemens de courbure. Supposons, par exemple, qu'un changemeut

6o THÉORIE DES NOMBRES,

de celle sorte ail lieu entre les deux points k' et k' , ce qu'on reconnaîtra par les deux différences ^(À / ) — c et 9 (k ) — c qui devront» être de signes differens; si on continue les calculs d'après les formules des art. 38 et 4° > afin d'obtenir la valeur du ternie suivant k"', on trouvera k" 1 < k" , de sorte que la suite k, k' , k', k cesse d’être croissante après le terme k".

Cependant si l’on a en même tems k“ > k f t on pourra continuer le calcul des ternies suivans par les 'mêmes formules, et on arrivera également au résultat, qui est la limite des termes k 1 , k", k ”, etc.

Mais il pourrait arriver qu’on eut A"'< k, et alors en continuant le calcul par les mêmes formules , on s'éloignerait de plus en plus du vrai résultat que l’on cherche. Pour obvier à cet inconvénient, le moyen le plus simple est de joindre les deux* points k, k 1 par une droite qui coupera la droite CM en un point dont il est facile de déterminer la position. Soit A* l’abscisse de ce point, on aura

et k' n sera une valeur très- approchée de la racine r. On continuera ensuite par les formules ordinaires , le calcul des ternies suivans A”, k ’ , etc., et la limite de cette suite sera la racine cherchée.

En général les exceptions dont nous venons de parler ne se rencontrent que dans des cas où la résolution se simplifie d’elle-même , puisque sachant que la racine cherchée doit être comprise entre k et A", il est facile ensuite de resserrer ces limites à volonté.

Addition au $ VIII , IV Partie , page 3g4.

Jr. dois ici faire mention de deux ouvrages très-imporlans pour la scie.nce des nombres , qui ont paru depuis la publication du Traite précédent (*).

M. Cheruac , professeur de Philosophie à Deventer, a publié en J 8 1 1 , sous le titre de Cribrum Arilhmelicum , une Table où l’on trouve tous les nombres premiers cl les diviseurs des autres nombres , depuis 1 jusqu'à un million et plus.

M. Burckhardt s’est proposé ensuite de reculer beaucoup phis loin les limites de cette Table. Il a créé pour cet objet une méthode si simple et si facile , qu'elle lui a fourni en très-peu de tems , une Table contenant le moindre diviseur de tout nombre compris dans le second million. Cétte Table a été publiée en 1814.

M. Burckhardt s'est occupé aussitôt d’en dresser une semblable pour le troisième million et même pour le quatrième. La Table construite pour le troisième million est déjà imprimée et ne tardera pas à paraître. Mais avant d'aller plus loin , l'auteur se propose de donner le premier million dans la même forme que les autres, afin de compléter, sous le moindre volume possible , une suite de Tables qui pourra avoir beaucoeÿ d’usages , et qui sera Recherchée surtout par les amateurs de l’analyse indéterminée.

La Table de Chernac m’a mis à* portée de vérifier les calculs que j’avais faits a priori , pour savoir combien il y a de nombres premiers de 1 à 1000000. La théorie m'avait donné 78537 , à quelques unités près dont je ne pouvais répondre ; la formule de l'art. 389 donnait 78545 ; l’énu-

(*) Cribrum Anthmetirum , sive Tabula continens numéros primos, etc. , canfeeit Jjidislaus Chernac; Davcntriœ 1811. ,

Table dei diviseurs pour tous les nombres de 1 030000 à 2038000; par J.-Ch. Burckhardt. Paris 1 8 1 4 j> cher M"* V' Courcier , quai des Augustin».

, 6a THÉORIE DES NOMBRES. SUPPLÉMENT.

méralion faite immédiatement d'après le Cribrutn arilhmelicum , a produit 78493 : mais il est possible et même vraisemblable qu'il se soit glissé , dans une si longue énumération , une erreur au moins égale à la différence qu’on trouve entre ce résultat et celui de la formule. Tont ce qu'on doit conclure de là , c'est que la formule a toute l'exactitude nécessaire, et que les différeus résultats s’accordent entr'eux beaucoup mieux qu’on n'aurait dù le croire. La Table ultérieure de M. BurcMiardt fournira de semblables vérifications dont le succès 11e parait pas douteux, soit pour confirmer l’exactitude de la formule, soit pour lui ajouter un nouveau degré de perfection.

Au reste l'énumération faite dans la Table de Cbernac a donné pour chaque centaine de mille , les résultats contenus dans le tableau suivant qui servira de continuation à celui du n° 389, et QÙ l'on remarquera de même lctonnante conformité qu’il y a entre le résultat de la formule et celui que donnent les Tables.

Limite x.

Nombre^

par les Tables.

5ooooo

4qoq3