JJ
^ une somme semblable pour 4( Jt ')-
Suivant ce qui a déjà été dit, on voit, 1°. que les diverses valeurs de a seront tous les nombres impairs, et les diverses valeurs de b tous les nombre^ pairs moindres que n, si F[—k) est constamment positif; a”, que Tinverse aura lieu si F\ — k) est constamment négatif; 5 *. que cet ordre ne peut être troublé que lorsque F[ — k) et F( — i — 1) sont de signes différens, auquel cas les deux termes qui ont pour dénominateurs ê+j:. A- — (— 1 — f— appartiennent aune même fonction
ou -JC*)- Donc quand il arrive que deux dénominateurs consécutifs À-f-JC, A-f-i-f-x se trouvent dans la même fonction p(x) ou 4(-r), on en doit conclure qu'il y a unfe racine négative entre — k et x~ — k — 1. C’est d'ailleurs ce qu’on peut démontrer immédiatement. En efl'et, supposons, par exemple, que dans $ (ar) se trouvent les deux A“ A m
termes [- - - — ; si on fait successivement 3 — a».
x=z — 44“*'» ® étant infiniment petit, on obtient deux résultats, dont l’un est infini positif et l’autre infiui négatif. Donc il y a une racine entre — 3 et — 4 -
Fig.
et
Fig, 4.
(50) Maintenant pour procéder a la résolution de l’équation ainsi exprimée par deux fonctions omales simples , il faut imaginer qu'on construise , dans le sens des x positifs seulement, les deux courbes qui ont pour équations y— i-t-p(x), o y=4C r ) » elles diverses intersections de ces courbes donneront les diverses racines positives qu’on veut déterminer. Prenons d’abord une idée de la ligure de ces courbes.
4 Soit OX la ligne des abscisses commune aux deux courbes, O l’origine des x ; la première et la plus grande ordonnée de la courbe y — 1 -|-<p(.r) est représentée par OA as 1 -f-ip(o). Passé le point A , l’ordonnée diminue de plus en plus, à mesure que l’abscisse augmente; elle finit par être égale à 1 , lorsqu'on fait x — <x>. Ainsi en prenant OC= 1 , et menant par le point C une parallèle à la ligne des abscisses, cette parallèle CL sera l’asymptqfe de la courbe y — 1 -f- p(x).
L’antre courbe y — 4 (- r )> représentée par BPL, a pour première et plus grande ordonnée BO=. 4(0). Passé le point B , l’ordonnée diminue continuellement et devient zéro lorsque x = 00 . Cette courbe a donc pour asymptote la ligne des x.
(51) De cette description sommaire on peut déjà tirer plusieurs conséquences relatives au nombre et à la limite supérieure des racines positives.
i°. Si l’on veut déterminer le point L où la courbe y — -4- (•*") rencontre la droite CL qui est l’asymptote de l’autre courbe y'=i +?(•*).» il faudra résoudre l’équation omale #
Soit A la valeur de x tirée de celte équation , par la méthodé de l'art. 4° > '1 est évident que s’il y a des intersections entre les deux courbes , elles ne peuvent avoir lieu qu’en deçà du point L. Donc A est plus grande que la plus graude racine de l’équation proposée.
Si doue l’équation proposée doit avoir ni racines positives , il faut que l’arc BL soit coupé en m points par l’autre courbe. Ces intersections ne peuvent guère être rendues sensibles dans la construction graphique des deux courbes , convexes d’un même côté , à moins d'opérer sur une très-grande échelle ; mais il suffit pour notre objet d'en concevoir la possibilité.
a”. Si l'ordonnée du point B est plus grande que celle du point A t
SUPPLÉMENT. 4i
e'est-à-dire, si l’on a 4 (o)> i + $ (o), il y Hura nécessairement au moins une intersection. En général le nombre Iles intersections, qui est celui des racines positives de l’équation proposée , devra être impair , puisque la courbe BL, qui d'abord est élevée au-dessus de l’autre courbe , passe nécessairement au-dessous dans la région du point L.
5". On ne peut avoir 4 (o) = « + <P (o) , c'est-à-dire que le point B ne peut pas coïncider avec le point A , parce qu’alors on aurait la racine x=ao, cas qui .est exclu, ainsi que celui où l’équation proposée aurait des racines égales.
4“. }1 ne reste donc à considérer que le cas de 4 (o) "O -f-p(o). Alors Fig- 5. le point B étant situé au-dessous de A , s’il y a une première intersection, il y en aura nécessairement une seconde, et en général le nombre des intersections devra être pair.
5°. S’il arrivait qu’on eût S' - (o) < i , le point B tomberait au-dessous de C; il n’y aurait donc alors aucune intersection, ni par conséquent aucune racine positive.
(5a) Voici donc les symptômes des differens cas généraux qui peuvent avoir lieu.
i*. Si l’on a 4 (o) > i + $ (o), l’équation proposée aura au moins une racine positive ; elle pourra en avoir trois, cinq, et en général un nombre impair. ‘ . •
a*. Si l’on a 4 (o) < i -+- <p (o) , l’équation proposée n’aura aucune racine positive, ou elle en aura un nombre pair.
5*. Si l’on a 4(o) < i , l’équation proposée n’aura aucune racine positive.
Venons maintenant à la résolution effective de l’équation proposée: elle consiste à déterminer les valeurs numériques des racines positives, ou à prouver qu’il n’existe aucune de ces racines.
11 y a deux manières de faire ces calculs ; l’une en commençant par la plus grande racine, l’autre en commençant par la plus petite. Nous allons exposer ces deux moyens successivement.
Recherche de la plus grande racine.
(53) On connaît déjà la limite X de la plus grande racine , par la résolution de l’équation omalc i = 4 (>*) ; cette limite est l'abscisse Fig. S. du point L.
4a THÉORIE DES NOMBRES.
Soit k le point de la*cpurbc 7=« -f ? (x) qui a la même abscisse que le point L ; si par le point k on mène une parallèle à l'axe qui rencontre en i la courbe j '=4 (•*)> e * gu' 01 * appelle a. l'abscisse du point i, on déterminera a en résolvant l’équation i -t- <p (A) = 4 (*).
Soit ensuite k' le point de la courbe Pk qui a la même abscisse que le point i, et dont l’ordonnée est par conséquent i -f- Ç (a) ; si par le point k' on mène une parallèle à l'axe qui rencontre en «” la courbe jr= -J, (x) , et qu’on appelle a l'abcisse du point j y , on déterminera a par l’équation 1 (a) = 4 (a').
De là ou voit qu’il faut calculer successivement les quantités 'A, a, a', x, etc. par la résolution des équations
1 + <p (a") as 4 (a") , etc. ,
et le dernier terme de la suite décroissante A, », a", etc. sera la
valeur de la racine cherchée r.
Nous remarquerons comme ci-dessus , que le calcul des termes A , a, a', a! 1 , etc. n’exige beaucoup de précision que lorsqu’on est parvenu à deux termes consécutifs très-peu différées l’un de l'autre.
Nous remarquerons encore qu’au moyen du dernier terme trouvé, qui approche déjà beaucoup de la valeur de x, ou peut achever le calcul de la manière suivante.
Soit p ce dernier terme, etsoitx=p — en, ai ne pouvant être qu’une très-petite quantité, si on substitue cette valeur dans l’équation proposée t + ? (.r)= 4(x) , le résultat sera de la forme
t = F a; -f- G»*, où l’on a fait, pour abréger,
G = fw+P? ~ f(a + pF
On aura donc, en ne'gligeant seulement les quantités de l’ordre * J ,
et de 1 h x — p — ta.
Détermination de la plus petite racine.
(54) Il y a deux cas à considérer , selon que 1 -f- p (o) est plus petit ou plus grand que 4 (o).
Premier cas , 1 -f- Ç (o) < 4 (o). Alors le point A , origine de la Fig. 4courbe y = 1 -j- p (x) , étant situé au-dessous du point 27, origiue de la courbe y = 4 (x), je mène Ab parallèle à l’axe qui rencontre en b l’autre courbe. Soit a l’abscisse du point b , on trouvera a en résolvant l’équation omale 1 + < p (o) = 4, (a) , et a sera une première approximation vers la moindre racine x = rqui est l’abcisse du premier point d’intersection P.
L'ordonnée menée au point b coupe la courbe inférieure eu un point a dont l’ordonnée = 1 -+-p(«). Par le point a menons une parallèle à l’axe qui rencontre la courbe supérieure en b' ; si on appelle et' l’abscisse du point b' , on trouvera a! par la résolution de l'équation 1 -f-p(a)
= 4(®)' Continuant ainsi indéfiniment, on voit que l’abscisse qui convient au point d’intersection P , sera le derniêr terme de la suite a , a', a', etc.
Donc pour avoir la plus petite racine x=r, il faut déterminer successivement les termes « , a', a’, etc. par la résolution des équations ornales
etc. ,
et la dernière des quantités croissantes et, a!, a', etc., ou la limite vers laquelle tendent ces quantités , sera la racine cherchée x = r.
(55) Second cas , I +?(o)>4 (o). Alors le point B étant situé Fig. 5. au-dessous de A , on mènera par le point B une parallèle à l’axe qui rencontrera en a la courbe supérieure Z*. Soit a l’abscisse du point a ,
on trouvera et en résolvant l’équation omale 4 (°) = 1 +?(*)/ et « sera une première approximation vers la racine cherchée.
L’ordonnée au point a rencontre la courbe inférieure en un point b dont l’ordonnée = 4(*)- Par le point b menons une parallèle à l’axe qui rencontre en a' la courbe supérieure ; si l’on appelle a,' l’abscisse du point a , on trouvera a / en résolvant l’équation omale 4 (a) =* 1 -f- <p (<*')•
On voit maintenant, sans entrer dans de plus grands détails, que si on détermine successivement les termes a. , a’ , a', etc., par les équations
etc. ;
le dernier terme de la suite a, a', a", etc. sera la valeur cherchée de la plus petite racine x = r.
(50) Dans les deux cas, la difficulté se réduit toujours à résoudre un certain nombre d’équations omales simples , par les formules de l’art. 40 . Nous avons d’ailleurs observé que les premiers termes de la suite a , a', a’ y etc. n’ont pas besoin d’être calculés avec beaucoup de précicision ; ainsi, à cet égard, les calculs peuvent être notablement abrégés. On voit ensuite par,la nature de ces opérations , que les points a , a ' , «'} s’approchent rapidement du point d’intersection P ; de sorte qu’on n’aura jamais à résoudre qu’un petit nombre d’équations omales simples. D’ailleurs la détermination de la limite pourra être abrégée,' si on le juge à propos , par le procédé de l'art. 53.
11 pourra arriver aussi qu’on sache d’avance que la racine cherchée r est plus grande qu’une quantité connue A; dans ce cas, on partira de la valeur * = A pour déterminer toutes les autres a', a', etc., ce qui abrégera le calcul.
Nous observerons encore que dans le second cas, il pourrait arriver qu’on ne trouvât pas de solution ; alors la suite 4 (*) , 4 ( a< ) » 44 **) > e,c -v dont le premier terme est > 1 , en offrirait bientôt un < i , ce qui prouverait qu’il n’y a aucune intersection entre les deux courbes, ni par conséquent aucune racine positive de l’équation proposée.
La détermination de la plus petite racine peut être effectuée par une suite plus convergente que celle dont nous venons de montrer l’usage; mais avant d’exposer celte seconde solution , nous avons à résoudre le problème suivant.
De l’intersection iT une droite quelconque avec la courbe omale y — 4 (x). •
(5?) Soit BNG la courte décrite d'après l'équation j' - = 4 ( x )> Fig- 7* 4 (x) étant une fonction omale simple qu'on peut représenter par
J ' Soit “F un point donné sur le prolongement de l’ordonnée du
point iV; si par le point F on mène sous un angle donné NFG, la droite FG qui rencontre la courbe au point G , il s’agit de déterminer l'abscisse du point G.
Soit f l'abscisse donnée du point F, la distance donnée FN — c , et m la tangente de l'angle que fait la droite FG avec l’axe; si on appelle x l'abscisse du point G, on aura pour déterminer x , l'équation
Or je remarque qne le second membre de cette équation est une fonction omale décroissante de x; car à mesure que x augmente , ou à mesure que le point G avance sur la courbe dans le seus des x , il est visible que le second membre qui représente la tangente de l'angle que fait FG avec la parallèle à l’axe menée par le point Z 1 , diminue continuellement. Au reste cette fonction peut être présentée sous une
r+x’ s * on
oWrve quc ==r - ? (b+f)(l + x) > ° a P° Um fa,re
b ^ j - est la même chose que 4 (/)■ > l’équation à résoudre se réduira à cette forme
où l’on a fait , pour abréger , C = ^ j - ®
Comme x doit être plus grand que f , on voit que le second membre de celte équation est en effet une fonction omale simple de x , à compter de x=.f-, j’observe de plus que cette fonction étant infinie
lorsque x —f , et nulle lorsque x = co , l’équation sera toujours’ possible, quel que soit m y pourvu qu’il soit positif; c’est-à-dire, pourvu que la droite FG soit menée par le point F \ de manière à rencontrer l’axe dans la partie indéfinie fX.
Nous remarquerons encore que si l’on a c = o , ou si le point F coïncide avee le point JV, alors l’équation à résoudre devient
00 m =frh i
c’est l’équation qui détermine le point d’intersection de la courbe y = •*(. ( x) y avec la droite menée par un point N de cette courbe, ensorle qu’elle fasse avec l’axe des x , un angle dont la tangente =./».
(58) Dans le cas où c n’est pas nulle, la résolution de l’équation (i) se rapporte à l'art. 4> > et il faudra, pour effectuer la solution , con-' naître une première valeur approchée de x. Or puisqu’on doit avoir
m> -- j -, il en résulte x > J jjj : on peut donc partir du premier
terme k =f -H ^ , pour calculer successivement les autres termes k', k", etc. , dont la limite est la valeur cherchée de x.
(5g) On peut encore déterminer l'abscisse du point d'intersection G par le procédé suivant.
Par le point N menez une parallèle à l’axe qui rencontre la droite FG en /; du point / abaissez une perpendiculaire à laxe qui rencontrera la courbe au point A"; par le point N' menez de même NT parallèle à l'axe, puis l’X‘ perpendiculaire, et ainsi de suite. Soit f' l'abscisse du point N' , J’ celle du point N", etc., on calculera les termes successifs f, f *, etc. par les formules
etc.
et il est visible que la limite vers laquelle tendent les termes de la suite f, f", etc. sera la valeur cherchée de l’abscisse du point G.
Cette méthode est plus simple que la précédente; mais elle ne peut être employée lorsque c = o; elle ne peut pas letre non plus lorsque ni = o , c’est-à-dire lorsque la droite FG est parallèle à l’axe, parce qu’il n’y a point d’intersection dans le sens où x est f.
Seconde manière de déterminer la plus petite racine.
(6o) Nous supposerons qu’on a - 4 > ( o ) > 1 0 ( o ) , parce que ,
dans ce cas, l’équation i -f- ? (x) = (x) a toujours au moins une
racine positive.
Par le premier point B de la courbe y = 4 - (jt) , soit menée la tan- Fig. gente Ba qui rencontre en a la courbe jr= i -f- <p (x) , et soit a l'abscisse du point a , on trouvera , par la formule de l’art. 5 y , que * est la racine de l’équation
dans laquelle on ac=4(o) — i — 9(0), et où la fonction omale J 'a{a'+ j) esl ^dinte de la fonction <p (.r)= J' , en divisant chaque terme de celle-ci par la valeur correspondante de a.
On appliquera donc à cette équation les formules de l’art. 40, en prenant pour première valeur de k , d'après l’art. 4< » k— ■ .
Par le point a ainsi déterminé , menez une perpendiculaire à l'axe qui rencontre la courbe supérieure en b ; au point b menez la tangente ba qui rencontre la courbe inférieure en a\ et ainsi de suite.
Si on appelle a 1 , a, etc. les abscisses des points a', a", etc., on trouvera que les différons termes a, a', a', etc. se déterminent par la résolution des équations successives
+•(.) = -H.)-.-»W + j-± üî±l!
, etc. ,
d'où
d'où
d’où
et la limite vers laquelle convergent les termes de la suite croissante a'-, a", etc., sera la valeur de la plus petite racine cherchée.
Au reste ces formules étant moins simples que celle de l'art. 54, nous nous bornerons au cas qui vient d’être résolu, et nous n’examiuerons pas celui où l'on aurait 4 (o) < i + p(o).
Connaissant la plus grande ou la -plus petite racine positive , déterminer toutes les autres. •
(6i) On pourrait chercher successivement toutes les racines par les intersections des deux courbes que nous avons tracées, sans changer la forme de l'équation proposée qui détermine ces courbes. Mais il est beaucoup plus simple , après avoir trouvé la racine x = r, de supprimer de l’équation proposée le facteur x — r, afin d’avoir l'équation du degré immédiatement inférieur, qui contient les autres racines, et dans laquelle r sera la limite de la racine r qui doit suivre immédiatement r. Voici le procédé qu’il convient de mettre en usage pour cet objet.
Nous avons supposé que l'équation proposée du degré n est divisée par le produit ( i -t-x)(a + x) («-f-x), afin de mettre cette équa-
tion sous la forme i + 9 (x) = 4 (x). Lorsque le degré de l'équation se réduit à n — i , on doit donc faire disparaître le plus grand dénominateur n-f-x , afin que le plus grand de ceux qui restent soit n — i-f-x, conformément au degré de l’équation. Pour cela il faut multiplier par n + x les différens termes de l’équation x — f— ip (x) = 4 (x) , et faire ensortc que le produit soit divisible par x — r.
0r on a éllpl dléL±Û + f donc
fait
= i,,on aura
De meme en faisant - ^ ' = H, , on aura
4 (*> -fih = + r >ffh + fsh-
/ * si ■*
a = ? ( r ) et
Ç b 'L- — 4 ( r ) , l'équation i -f- <p (x) = 4 (x) deviendra n-f-x-t-(/»-hc)ip(r) + (r— x) f = (n+r)4C'') + (''— x ) f
Mais puisque la valeur x—r satisfait à l'équation i -f- tp (x) — 4 (x ) , on a i -+- p (r) =4 ( ,- ) > effaçant donc dans l'équation précédente les termes qui se détruisent, et divisant le reste par / — x, il viendra
Cette équation qu’on peut mettre sous la forme i -f- 4i ( x ) = (*) > est
entièrement semblable à la proposée j mais elle a un terme de moins , car par les valeurs des coefliciens A, , B, , on voit que le terme qui avait pour dénominateur n-f-x , disparaîtra, soit qu'il appartienne à la fonction (x) ou à 4 (x).
D'ailleurs on doit observer que comme n est le plus grand des nombres a et les coefliciens A, et B , seront toujours positifs, de sorte que le passage de l'équation proposée i+ç(jc-) = 4 (^),à la suivante x 4 i (x) = <Pi (•*) , qui contient une racine de moins , ne fait qu'ôter un terme de l’une des fonctions <p ( x ), 4 ( x )) sans en faire passer aucun de l’une dans l’autre , comme cela aurait lieu si quelqu’un des coefliciens A,, B , devenait négatif. 11 n'y a que le terme constant i qui change de signe ou qui passe d’un membre dans l’autre.
( 6 a) On voit donc que la division de l’équation proposée, par x — r, s’exécute par un j^océdé très-simple qui consiste à transposer le terme
constant i , et à rAnplacer dans chacun des termes —4— et 7 — f , le 1 r . a-f-x- b-\-x ’
coefficient A par , et le coefficient B par
Maintenant nous n’avons aucune règle nouvelle à donner pour la résolution de l’équation 1 ■+• 4i (•*) = <Pt (*)• On appliquera à cette équation les formules des articles 54 et suivans ; et sachant d’avance que la plus petite racine r 1 est > r, on parviendra plus facilement encore au résultat. Après avoir trouvé 1% racine r ' qui est la seconde de l’équation proposée , on formera semblablement une troisième équation 1 -f- <p, (x) = 4»( x )> qui contiendra les n — 3 autres racines.
On aura donc ainsi successivement , par des équations qui se simplifient de plus en plus , les diverses racines positives r, /•', /•', etc. de l'équation proposée, et ce calcul sera terminé lorsqu’on sera parvenu à une transformée qui n’est plus résoluble , ce qu’on reconnaîtra aux conditions que nous avons indiquées dans la solutiou générale.
5 o THÉORIE DES NOMBRES.
( 63 ) La même méthode fera connaître les racines négatives en partant de l’équation proposée, dans laquelle on changera le signe de x,et que l'on mettra ensuite sous la forme i -f- ;p = (,r). Mais il sera plus
simple de prendre la dernière des transformées i (x)ssif, (x) ,
i •+■ <p,(x)= 4*( -r ) > etc. , laquelle ne contient plus de racines positives , mais peut en contenir de négatives. Pour obtenir celles-ci , on réduira cette transformée à la forme ordinaire , débarrassée de fractions , et après avoir changé le signe de x , ou lui appliquera la méthode du n* 48 , pour la réduire de nouveau à la forme 1 + <p (x) = (x), dont il
faudra chercher les racines positives.*
(6<>) Il reste donc à faire voir comment 011 peut résoudre une équation qui n’a que des racines imaginaires; mais ce problème est beaucoup plus dillicilc que celui qui consiste à trouver les racines réelles, et nous 11e nous flattons pas que les méthodes précédentes fournissent de grands secours pour sa solution. Il est vrai qu’on pourrait trouver les racines imaginaires d’une équation du degré n , au moyen des racines réelles
d’une équation du d"cgré . Mais pour peu que n surpasse 4 »
l'extrême complication d’une telle transformée et des calculs nécessaires pour y parvenir, rend l’usage de ce moyen tout-à-fait illusoire. C’est donc dans l’équation proposée elle-même, et non da»s une transformée d’un ordre plus élevé, qu’il faut chercher les moyensfl obtenir les valeurs numériques des racines imaginaires. Nous avons déjà indiqué, pag. i5i du Traité précédent, une méthode qui aurait l’avantage de conduire assez facilement à ce but, si on pouvait donner quelques lumières au calculateur sur le choix de la première valeur hypothétique de la racine exprimée par a -J- £ j/ — 1 ou r ( cos 9 -f \/ — 1 sin él). Mais en attendant que celte méthode reçoive les améliorations dont elle est susceptible , nous allons donner lqÿ formules qui, dans l’application de la méthode précédente, conviennent au cas des racines imaginaires; et d’abord une racine imaginaire étant représentée par r(cos 9 -+-i/ — 1 sin 9 ), nous chercherons les limites de la quantité /•, qui est en quelque sorte la mesure de grandeur ou le module de cette racine , puisque la valeur d’une puissance quelconque ni de .r ne peut jamais surpasser r", mais peut en différer aussi peu qu’on voudra.
SUPPLÉMENT. 5 i
Limites de la quantité réelle qui sort de module aux racines imaginaires.
( 65 ) L’équation proposée dont toutes les racines sont imaginaires , étant désignée par
x ’ ± A.x*—' dt A k x*-' zh AyX *- 1 -t- A. = o ,
si on suppose x = r( cos 8+1/ — 1 sin 6) , cette équaliou se partage en deux autres , savoir ,
r* cos n 0 zfc: A x t*~' cos(n — 1) * cos (n — 2) 0 . . 4 , = o ,
r" sin «6 zb As*—' siu (n — 1) 8zb A,t*~ % sin (n — 2) 9 ... zfc rsin 8=0.
Multipliant la première par cos «8, la seconde par sin n 8 , et ajoutantes produits , on a
r* dfc A,r*~' cos 6 zfc As *- 1 cos a 9 -f-y/.cos nQ = o.
Or il est visible que l'hypothèse qui rendra r" le plus grand, est celle où l’on aurait
les coefliciens A,, A ,, A s , etc. étant tous pris positivement dans le second membre , et alors eu appliquant ce qui a été trouvé dans le cas des racines réelles , art. 35 , on pourra en conclure ,
i*. Que si A,, coefficient du second terme , n’est surpassé en grandeur par aucun des autres coefficicns A,, Ai A,, on a
a*. Que si A t et A k sont les deux coefficiens pour lesquels \/ A, et \é A k sont les plus grands , on aura
telle est donc , dans ce cas, la limite supérieure de la quantité r qui sert de module aux racines imaginaires.
(66) Pour avoir la limite inférieure de cette même quantité , j’observe que l'équation proposée n'ayant , par hypothèse, que des racines imaginaires , son dernier terme A, doit cire le produit de toutes les quantités
5a " THÉORIE DES NOMBRES,
r*, r'*, r'‘, etc. , qui résultent des différentes couples de racines imaginaires. Soit donc*»- la plus grande des quantités r, /, r", etc., et rf ou / la plus petite ÿ on aura
r > VJ. et f < V 4 * ■
le plus grand des modules r doit donc être compris entre les limites suivantes :
Quant aux limites du plus petit module f , nous n’avons encore que la supérieure /> < v/x/, ; mais il est aisé d’avoir la limite inférieure.
Pour cela il faut , dans l’équation proposée , faire x = ^ , ce qui donnera une équation de la forme
z’ dz B,z‘~' dez B,z*~ % -t- B „ = o.
et il faudra considérer deux cas.
i°. Si /?,, coeflicient du second terme, est au moins aussi grand qu’aucun autre coefficient, on aura, en prenant B, positivement, s <« ■+■ B,.
a*. Si /?, et B t sont les deux coefliciens pour lesquels el
\ZB k sont les plus grands , on aura , en appelant a et b ces deux radicaux, z<a + £.
Donc, dans Je premier cas, on aura f >--g. , et dans le second
Forme des équations à résoudre dans le cas des racines imaginaires.
(67) Soit F(x)=a l’équation proposée du degré n , dont toutes les racines sont imaginaires ; si on substitue pour x une valeur quelconque x=dt, le premier membre /•’(£) sera toujours une quantité positive. 11 suit de là que si on procède comme dans l’article 48, et qu’on divise l’équation proposée par le produit des facteurs i-f-x, 2 -f-x. . . .« 4-x ,
afin de lui donner la forme 1 -f-p(x) = ->|<(x), ou
+ fd^h=fï
les différentes valeurs de a seront les nombres impairs 1, 5 , 5 . . ,n — 1, tandis que celles de b seront les nombres pairs 2, 4> 6-...n. •
Ainsi, dans le cas des racines imaginaires, les fonctions ç(x), 40*0 sont constamment de la forme suivante :
w — T+H + ^+~x + 5+ï- •• ürrr+1»
4Cx) =
de sorte quelles ont le même nombre de termes.
(68) Cela pose, si l’on fait * = r(cos8+ V ~~ 1 sinô), on aura
^ A A A[a + r cos * — \/ — i.rsinf)
a-t-j: a -|-r(cost 4 V — 'si* 1 *) a* + aarcos< 4 r* ’
et par conse'quent
f = f— — - — * a -4- r (cosô— t/— isinfl) f — ■.
Ja->rx ./a'-faorcosl+r 1 ^ ' v ' J a*+aarcosl +r*
De là on voit que l’équation 1 J' J ' ^ a . s ® partagera en deux
autres, savoir,
r Aa r Bb
1 'J a* sar cos S -f- r* ./ 6* + air cos I + r* *
J a’ + aar cos # + r’ J 6* ■
• air cos * -f- r*'
Daris le premier membre, a aura toutes les valeurs impaires i, 3,5 ....n — i, et dans le second , b aura toutes les valeurs paires a , 4 , 6. . . .n.
Telles sont donc les deux équations qu’il faut résoudre pour trouver les valeurs de r et de S qui appartiennent à chaque couple de racines imaginaires.
Le nombre r est toujours positif : quant au nombre r cos 8, il peut être positif ou négatif; et à cet égard , on pourrait distinguer deux sortes de racines imaginaires , les unes positives lorsque la partie réelle r cos 0 est positive, les autres négatives lorsque cette partie est négative.
(69) Les équations précédentes peuvent être censées formées dans la supposition de r cos 8 positif. On pourrait en former de semblables dans la* supposition de rcos8 négatif. Pour cela il faudrait changer le signe de x dans l’équation proposée, et procéder de même, après ce
changement , pour réduire l’équatiou sous la forme i -f- f
ensuite on ferait x — r ( cos 0 -f- \/ — i sin 6 ) , ce qui donnerait deux équatious semblables aux équations (a), mais dont les cocfliciens seront différons.
Ce qui semble nécessiter cette distinction, c’est que si on laissait les équations (a) sous la même forme lorsque oos 0 est nég.rfif, la fonction
— ne serait plus une fonction omale de r. En effet ,
a ■ + aar cos S -f- r* 1
cette fonction étant différentiée par rapport à r, donnerait le coefficient différentiel
• r aA ( r-{- a cos < ) •
J (u*-f- aarcos# + r y ’
lequel ne conserverait pas le même signe depuis r=o jusqu’à r— co , contre la nature des fonctions omales.
11 faudra donc , pour la solution complète de l’cquation proposée , considérer deux systèmes semblables au système (a) , et dans chacun desquels cos 6 sera supposé positif.
(70) Soit maintenant r cos 0 = p, r* = q, les deux équations à résoudre seront
r A a r Bb
1 "‘J a ■ + a ap +q J 4‘ -
' + aop + q
f à‘ -f- lap + q J,
ahp + q' B
