Mouvement discontinu d’Helmholtz. Obstacles courbes
Propositions générales. — I. Lorsqu’on met des obstacles fixes dans un courant liquide uniforme et permanent de vitesse U, si l’on adopte la solution continue de l’Hydrodynam ique classique, l’énergie cinétique de la masse liquide contenue à l’intérieur d’une très grande surface fermée reste la même quels que soient les obstacles fixes, bien que la masse liquide soit généralement diminuée par la présence des obstacles.
IL Dans le mouvement avec surface de discontinuité d’Helmboltz l’énergie cinétique est moindre que dans le mouvement continu pour le même obstacle. La différence est d’autant plus grande que l’on considère une frontière plus éloignée en aval; elle est supérieure au produit de la force vive de l’unité de volume du courant uniforme par le volume de liquide stagnant en aval.
III. Les conditions d’Helmholtz rendent minimum l’excès de l’énergie cinétique du liquide en mouvement permanent discontinu, sur l’énergie
cinétique que possédait dans le mouvement uniforme sans obstacle le volume occupé par le liquide en mouvement d’Helmholtz (à l’exclusion du volume de l’obstacle et du volume de liquide stagnant en aval).
Ces propriétés se démontrent sans difficulté; il faut seulement apporter quelque attention au choix des conditions à la frontière extérieure pour la troisième proposition.
Obstacles courbes. — M. Levi-Cività a donné dans le Circolo malematico di Palermo (1906) la solution la plus générale pour un obstacle courbe (en gouttière), dans le cas des mouvements discontinus plans d’Helmholtr.
Dans cette solution figure une série entière d’une variable auxiliaire, à coefficients réels arbitraires; mais cette série est encore trop générale.
J’ai reconnu que le rayon de courbure de la ligne de glissement, au point où elle se détache de l’obstacle, est nul dans le cas général, ce qui exige que l’obstacle ait des bords tranchants. Pour que la ligne de glissement puisse se détacher d’un obstacle en un point où la courbure est finie (véritable proue), il faut que les coefficients de la série satisfassent à deux conditions (une pour chaque bord) que j’ai données dans mes Leçons du Collège de France. Certaines inégalités sont, en outre, nécessaires. L’une d’elles exprime que la vitesse du liquide est partout inférieure à la vitesse du courant général. L’autre est d’un caractère beaucoup plus caché et est apparue sur un exemple particulier : à mesure que les coefficients croissent, l’obstacle devient concave vers le courant et ses bords se recourbent en volutes de plus en plus nombreuses; il en est de même de la ligne de glissement qui s’en détache ; mais, à partir d'une certaine limite, ces deux courbes à volutes (qui s’obtiennent par une quadrature) se coupent, ce qui rend impossible la réalisation matérielle du mouvement.
Dans le cas le plus simple, obstacle continu symétrique défini par le premier terme de la série pris seul, j’ai déterminé, en partie par des calculs numériques, en partie par des graphiques, la forme exacte de la section droite de l’obstacle et la résistance qu’il oppose au courant.
89. 1906. Sur la propagation du son dans les gros tuyaux cylindriques : à propos des expériences de MM. VioUe et Vauthier.
J’avais donné, au Congrès de 1900, l’explication des singulières observations de MM. Violle et Vauthier sur la propagation des sons aigus dans
les gros tuyaux (63, p. i5); il m’a paru utile d’en faire l’étude numérique. Cette discussion montre l’exactitude de l’explication proposée et, en outre, la nécessité d’obtenir un mode d’émission des sons parfaitement défini pour que les résultats soient réguliers.
