IV. - ÉLASTICITÉ

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PHYSIQUE MATHÉM.4TIQUE.

104. 1910. Des fonctions données par leur valeur sur une partie de la frontière et par leur dérivée nôrmale sur le reste de cette frontière. Développements correspondants. — 105. igio. Questions de Physique mathématique comportant des conditions différentes sur diverses parties d’une même frontière.

L’équation aux dérivées partielles de Laplace, à deux ou trois variables, a joué, dans le développement des Mathématiques au dernier siècle, un rôle prépondérant. Tous les problèmes de Physique mathématique qu’on sait aborder dépendent de cette équation, ou s’y rattachent étroitement. Pour les équations de ce genre, on sait comment aborder deux types de problèmes simples, ceux dans lesquels la fonction est donnée sur la frontière, et ceux dans lesquels la dérivée normale de la fonction est donnée sur la frontière ; plus généralement on peut traiter les cas où il existe sur la frontière une relation linéaire entre la fonction et sa dérivée normale, pourvu que les coefficients de cette relation ne s’annulent en aucun point de la frontière.

Dans un grand nombre de questions qui dépendent d’une ou de plusieurs fonctions définies par des équations aux dérivées partielles (hydrodynamique, conduction de la chaleur, électrostatique, électromagnétisme, optique, élasticité), il serait utile ou nécessaire de trouver les fonctions au moyen de leur valeur sur une partie de la frontière, et de la valeur de leur dérivée normale sur le reste de la frontière ; plus généralement, au moyen de relations linéaires, entre les fonctions et leurs dérivées, de plusieurs formes différentes valables chacune sur une région particulière de la frontière. C’est ce problème général dont je me suis occupé dans plusieurs

Leçons (1910) au Collège de France. J’ai donné le principe de la solution générale en deux Notes aux Comptes rendus; dans les Leçons j’ai indiqué comment il faut généraliser la notion de suites fermées pour être assuré de la convergence des développements, et j’en ai fait l’application à la théorie rigoureuse de la diffraction sonore par les réseaux sous l’incidence normale. Sous la forme où je l’ai donnée, la solution permet de traiter facilement les questions, auparavant inabordables, dans lesquelles un même milieu est séparé incomplètement en deux régions par une surface mince imperméable, perforée d’ouvertures variées (problèmes analogues à la diffraction) quand la surface est fermée et ne présente pas de singularités. L’étendue illimitée de la surface, ou la présence de certaines singularités, oblige à remplacer les suites de polynômes dont j’ai donné la loi de formation, par des intégrales définies, mais je n’ai rien publié encore à ce sujet.

Je crois que ce travail étend à un nombre considérable de questions importantes l’action des méthodes mathématiques précises.