T(AB)=T{(A)T(B) CHR TASSE LASSARBS
(6) LDAANE= AR CAN CARS ARS =) Sn AS:
(7) T est biunivoque car la formule A’— S-1AS est inversible.
Une transformation T vérifiant (4), (5), (6), (9), est un isomor-
Le
phisme des structures de systèmes hypercomplexes de R et R'. Deux anneaux semblables sont donc isomorphes en tant que systèmes hypercomplexes mais la réciproque n’est pas vraie. (On rencontrera des exemples).
L'ANNEAU DES COMMUTANTS D'UN ANNEAU. — Soit R un anneau d’opérateurs linéaires. L'ensemble des opérateurs linéaires qui permutent avec tous ceux de R est un anneau R’ que l’on appelle l’anneau des commutants de R.
On peut itérer l'opération R + R'; on obtient ainsi R'æ(R'), etc. Si RCS cela entraîne R/3S'; cette remarque jointe à la propriété RER" montre que
RÉQGRUERNES RESRMEARNE ee
Taéorkme 12. — Si R est commutatif R' l’est ausst et l’on aRCR"'CR!.
R commutatif entraîne RCR’, d’où R'3R/". D'une façon générale le centre de Rest RAR’; donc ici le centre de R’ est R'NnR'— R’. R' est commutatif et l’on a RCR'CR!.
DécomPposiTION D'UN ANNEAU D'OPÉRATEURS. — Soit E = E, + EF, où E, et E, sont deux sous-espaces de E stables pour un anneau R d’opérateurs (c’est-à-dire stables pour tous les opérateurs de lanneau). Soit R, et R, les anneaux induits par R dans E, et E,. Si quels que soient A, €R,, A, €R, on a A, TA,ER on dira que R est somme directe de R, et R, et l’on écrira R=R, +R..
Soit P la projection sur E, parallèlement à E,. R=R,+R, entraine PER’. Supposons inversement que PER’, les sousespaces E, = PE et E, — (1 — P)E sont stables pour R. Tout A€R s'écrit- A—PA<+(I—P)A, ce qui montre que RCR, +R, sans qu’on puisse affirmer l'égalité. On vérifie que R, et R, sont homo-
morphes à R, on dit que R est somme sous-directe de R, et R,.
Si l’on suppose PERNR',onaR=R,+R,,en effet : soit A, ER,, A, € R;; À, est la trace sur E, de A ER, et À, la trace sur E, de BR. OntamAr A ee PAR (B — PB) ER. Ainsi les projecteurs du centre R'NAR de R conduisent à des décompositions en somme directe. Il y aura intérêt à les étudier, nous le ferons au prochain paragraphe.
cr Ju
Remarque. — La propriété R/— R"— = (R7)" montre Que l’on aura
toujours des décompositions simultanées de R et R'en somme sous-
directe.
IT. — Treillis de projecteurs.
Ordonnons l’ensemble des projecteurs par la relation {PQ si et seulement si PQ = QP — P, P — Q ayant le sens usuel ».
Définition. — Nous dirons qu’une famille £ de projecteurs forme un treillis si :
(Gt) P,0ES entraîne PO OPHEPOE PO ÆPEEOPPO ES AP 0er et PQ entraîne P—QEeZ£.
Les conditions (1) et (2) sont plus qu'il n’en faut pour avoir un treillis au sens strict de ce mot; mais elles sont toujours réalisées dans ce que nous faisons.
Onvéritesquerinf(P,0)=PO'Ee ant Q)—P+Q. Par
exemple les projecteurs d’un anneau commutatif forment un treillis.
Taéorèue 13. — Un treillis de projecteurs est distributif. Il faut vérifier que si P, Q, Se£, on a (P+Q)S—=PS+OS,
(P+Q)S—(P+Q—PQ)S—PS + QS— POS, PS + OQS — PS + QS — PSQS — PS + QS — POS.
Tuéorèue 14. — Tout treillis £ de projecteurs sur un espace vectoriel
à n dimensions est fint et est engendré par ses projecteurs munt- Mau Pise qtu vériientbs or)
Pourn—tvlethéoremestemdenteSon ro -1, ele ete 0
