I. — Généralités

Dérmirions. — Soit E un espace vectoriel quelconque sur un corps commutatif K et @ l’ensemble de tous les opérateurs linéaires sur E. Une partie R de @ est appelée un anneau d'opérateurs si :

(1) A,BER entraine A—BER; (2) ÀA,BER entraine ABER'; (3) AER, 1ekK entraine ÀAAER.

Les conditions (1) et (2) sont nécessaires et suffisantes pour que R soit un anneau au sens usuel, mais on a l’habitude de réserver le nom d’anneau d’opérateurs à un ensemble R qui vérifie aussi (3). Un ensemble vérifiant (1), (2), (3) est maintenant souvent appelé une algèbre d’opérateurs; nous conservons l’appellation traditionnelle d’anneau d’opérateurs. Par exemple G est un anneau d’opérateurs.

Si l’on fait abstraction de la façon dont les opérateurs de R agissent sur E, cela revient à considérer R comme algèbre tout court (sur K), ou ce qui est la même chose comme système hypercomplexe (sur K).

Si AB — BA pour tout A, BER, R est commutatif.

Soit M, N, ... des parties de G@; on note r(M, N, ...)le plus petit anneau contenant M, N, .... Par exemple r([, A) est l'anneau des polynomes en A.

Deux anneaux R et R’ sont dits semblables si 1l existe S € GL(E, K) tel que S-'AS parcourt R' tout entier lorsque À parcourt R tout entier. S1 l’on pose SAS —T(A),ona

(4) T(A+B)=T(A)+T(B) car S—(A + B)S—S-1AS + S1BS;