III. — Étude des anneaux 7 (A), 7 (I, A) 7’ (A), r” (A
On suppose maintenant que E est un espace vectoriel à x dimensions sur le corps commutatif K. Soit A un opérateur linéaire sur E, r(A) Panneau engendré par À, r({, A) l’anneau des polynomes en À, r'(A) l'anneau des commutants de A. Comme r(A) est commutatif, on à
CAS CR (BIA) Cr ICAS CTIC"),
r'(A) qui est le centre de r'(A) est aussi commutatif. * Il est pratiquement équivalent d'étudier r(A) ou (I, A); on a le théorème suivant :
Taéorème 15. — Une condition nécessaire et suffisante pour que r(A)=7r(I, À) est que À soit inversible.
Si À est inversible son polynome minimal ©(æ) est premier avec x, c’est-à-dire de la forme a, + ax +... avec a, <0. On en déduit
dl=&Il—v(A)er(A), d'où Ier(A).
Réciproquement si À n’est pas inversible on ne peut avoir I—=4a A<+...+a;Af car cela entraînerait que a [l+...+a.;A"" serait l'inverse de A.
L'étude de r(A) se fait sans peine en partant des résultats du chapitre précédent sur la structure de A. Nous allons étudier les décompositions de r(A), r'(A), r'(A).
Soit Es, E:, ..., E, les sous-espaces stables pour À qui correspondent à la décomposition © — x%4%...4% du polynome minimal de A en facteurs premiers; E, correspond au facteur æ*, c’est-à-dire que Es=0 site — 0 (A'iversible).
D'après le théorème 6 I;er(I, A)(1— 0, 1, ...,s) où IL; est défini par = 0 dans E;(j<1) et I; =1 dans É;. On a I:er(A) seulement pour é—1, ...,5 mais cela suffit pour pouvoir décomposer r(A), TON) er CAEN 7 (CAS) —HMRACUEE ..—+Lr(A), etc. Ceci nous ramène au cas où À est un opérateur primaire. Dans ce cas r(A) ne contient plus de projecteurs permettant de pousser plus loin les décompositions, de façon précise, on à :
SE Pr
Taéorkue 16. — Une condition nécessaire et suffisante pour que À soit primaire est que les seuls projecteurs de r (4, À) soient o et 1.
La condition est suffisante d’après le théorème 6. Pour démontrer la nécessité considérons A primaire de polynome minimal 4#, L premier et supposons que r(I, À) contienne un projecteur P — /(A). On a P(I—P)=0o, d'où f(æ)[1—/f(x)]=o(modd), d'où f(x) ou 1—f(æ)=0(mod{*), d’où P — 0 ou I — P — 0.
2h : ec ÉTUDE DE L’ANNEAU (A). — Soit À primaire, nous reprenons les notations du théorème 7. Étudier r'(A) c’est étudier l’anneau R’ des
endomorphismes de E;. On a Ed + (#) et GE R' sera déterminé
par la connaissance des 0v;. La seule condition est que 0; doit engendrer un sous-groupe homomorphe à (#;). Sirels, on a (#) © RJC4F); les sous-groupes de (+;)sont isomorphes à R/(41)(+<6); les groupes homomorphes à (#;) seront de la forme (R/(4#))CR/(4YT)) ou en remarquant que R/(47) © (LP T)/(L5) de la forme
