R/(48-T) © CR/(YT))/(C8T)/( HP

Ainsi tout groupe homomorphe a R/(L°) est de la forme R/(d°)(0<6 ). Posons F,—/{ueËE)d'u—o}. F;est l’ensemble des éléments qui engendrent un groupe homomorphe à R/(4"). On peut choisir 07e Is) arbitrairement dans F4 et ce fait détermine complètement R’. On peut facilement compter le nombre de paramètre dont dépend 7’(A).

Taéorème 17. — Une condition nécessaire et suffisante pour que À soit non dérogatotre est que r'(A)=7(4, À).

La nécessité résulte de ce qui précède en remarquant qu’un opérateur de r({, A) conserve tous les sous-espaces de E stables pour A. La suffisance résulte du théorème 2.

Érune De L'ANNEAU (A). — Tuéorëme 18. — On a r'(A)=r(1, A).

Nous utiliserons la première forme normale de À et démontrerons le résultat un peu plus général suivant pour le groupe abélien à opérateurs E, :

DROAR

k Tuéorkme 18/.— Si l’on a Ex + (ui) avec N(u,)c N(u)c.….. € N(u) ti tout élément du centre R' de l'anneau R! des endomorphismes de E, coincide avec un élément de KR.

Soit BER’ et 0, ..., 64 les projections sur (4), ..., (wx); on ac, ..., meRet 06; — 65;0 montre que O(u;)C(w:). Il existe donc Ne GLeR avec Une SU, = dur CHA

en effet : Il est clair que w,+...+ uw, , ..., ux engendrent E,. Il reste à vérifier que

£ LT O—(u+...+ mn + (ui);

supposons que bu +...+u;)+ bus +...+ biu;= 0, cela entraîne LL'EN(u), bi + EN(w), ..., bi +b,eEeN(u) d'où b,EN(u,), bLEN(u), ..., DE N(u) car N(w )EN(u:)(1 2). Soit ç la projection sur (uw, +...+uw); 60 = 0 entraîne qu'il existe ae R avec

a(u...+ur)=Û(u +... + ur).

On a alors

(ui... Eu) = au +... + au us +... EAU, d’où