AB — BA
On ne connaît pas de systèmes complets d’invariants pour un anneau commutatif nilpotent, même dans le cas où il est maximal et où K est
algébriquement clos.
RO
DÉTERMINATION DE TOUS LES ANNEAUX COMMUTATIFS NILPOTENTS MAXIMAUX SUR UN ESPACE VECTORIEL A MOINS DE SIX DIMENSIONS SUR LE CORPS DES NOMBRES comPLEXES. — Nous allons commencer par un exemple : Déterminer les anneaux commutatifs nilpotents maximaux de signature (1, 2, 3). On est dans un espace à six dimensions sur le corps des nombres complexes. Nous choisirons les vecteurs de base €,,...,e, comme suit: e, dans
R(o), e, ete, dans R(o). Ces deux conditions seront toujours remplies si l’on change e, en e,+e, avec e, E(e:,e,) où €, en e,;+e, avec e, E(e1, )oue,ene,+e, avec €, EE, Er Es, €53 C6), EC. En d’abord que si A€R on à d’après le théorème 25, AR(o)e R Co L’exposant de R étant 3 il existe AER tel que A2210 ON pPeULSUPpOsSenque AN e;<oel prendreé, — 1036, 1 \e nécessairement Àe, — 0. Pour Ae,; deux cas vont se présenter :
æ. Pour tout 6; &(e;, 62, e,, e,) on a Ae,E(e;, e,); on se ramène à Ae;—0 ; de même on choisira Ae,— 0 ; si e, est choisi arbitrairement on aura Ae,;—ae, et l’on peut se ramener à Ae,— 0 en changeant €, en €; — de».
B. Il existe e, tel que Ae; &(e,, e, ); on prendra e, — Ace; et l’on a Âe,;— ae, ; en changeant e, en e, — ae, (ce qui nécessite de changer e; ae,) on se ramène à Ae,—0 ; si Ae,— ae, + be, + ce, on se ramène à Ae,— 0 en changeant 6, en e, — ae; — be, — ce,. On à ainsi les deux possibilités
enee
CAN ere; Ne er, Ne rVe,— Ac; 0
ORBRES Alerter Me es, AGEN CT ENTER 0)
D le cas x le sous-espace Ce oies) À (o)est stable pour R
et l'anneau induit par R dans A (o ) a pour signature (1, 1, 2). Oril est facile de vérifier qu'il n'existe pas d’anneau de signature (1, 1, 2); on pourra pour cette question se rapporter à C. Jordan [9].
Donc on est nécessairement dans le cas 6. D’après le théorème 25 il existe B ER tel que B’e,2<o. On a B’e, — À e, et en changeant B en ÿAB on peut supposer que B'e,— e,. Ona Be; —ae;, +a,e, + a,e;; en changeant B en B—4,B° on peut supposer a: —0o; AB — BA entraîne a, — 0 ; enfin en changeant e; en @,6,, e, en a,e;, ce qui ne modifie pas 6, on aura Be; —e,, Be; —e,. La condition AB — BA
he + DER
montre encore que Be; = e,, Be, = Be, — 0. Considérons l'anneau
OO IOMEO M OMNON] OO MO OMR ONE ROUE OI OO OOo OM O MO RAP) r OO O TOO , D OOM OOo OMC OO O OC OO ON LOU NE ET E © À OOo OO ([e] O O O0 O0 O [0] O I O O O
R est commutatif nilpotent de signature (1, 2, 3). Rest maximal car nous-verrons plus loin qu’un anneau de signature (1, M, m,,..., me) est maximal. Il en résulte que R est le seul anneau de signature (x, 2, 3).
C. Jordan [9] a étudié un certain nombre de signatures, ce qui lui a permis de déterminer tous les auneaux commutatifs maximaux sur un espace vectoriel à moins de sept dimensions sur le corps des nombres complexes. Le Mémoire de Jordan contient quelques erreurs ; par exemple Jordan indique sept anneaux de signature (1, 2, 3) alors qu'il y en a seulement un comme nous venons de le voir.
D'autre part Jordan ne donne pas de formes réduites pour les anneaux de signature donnée, mais se contente de déterminer leur nombre. Nous pensons donc utile de donner des formes réduites pour les anneaux commutatifs nilpotents maximaux sur un espace à moins de six dimensions sur le corps des nombres complexes. Cela nous fournira des exemples intéressants ; nous ne faisons pas de démonstrations.
Signature (1,1):
