OO 2E
Signature (4, 1) :
(0) (o (eo) (e]
Signature (1, 4) :
Signature (3, 2) :
Oo
Signature (2, 3) :
(e) O (eo O (0)
AR a
Il est facile de constater la non-similitude des anneaux correspondant à une même signature. Pour être complet nous démontrerons au prochain paragraphe la maximalité des anneaux (1) à (29).
EXEMPLES D'OPÉRATEURS PERMUTABLES NON FONCTIONS D'UN MÊME TROISIÈME. — Si A p. B entrainait l'existence de C tel que À, Ber(I, C) nous avons vu qu'il en résulterait que tout anneau commutatif maximal engendré par deux opérateurs serait de la forme r(C). Parmi les anneaux (1) à (29), 12 sont engendrés par deux opérateurs.
STRUCTURE DES ANNEAUX COMMUTATIFS NILPOTENTS. — Nous avons déjà dit qu’on ne connaît pas de système complet d’invariants pour un anneau commutatif nilpotent. On ne sait même pas s’il existe un nombre fini de tels anneaux sur un espace à » dimensions sur le corps des nombres complexes. Dans les exemples donnés on a toujours pu trouver une base de E et un système de générateurs pour R qui transforment un vecteur de base en un autre vecteur de base. Si ce fait était général, 1l entrainerait qu'il n'existe qu'un nombre fini d’anneaux commutatifs nilpotents sur un espace à z dimensions. |
Nous suggérons aussi que l’on pourrait faire intervenir systématiquement l’ensemble £ des sous-espaces invariants par similitude (pour tout S tel que R—S RS). Nous avons constaté sur des exemples que f était fini, mais nous n’avons pu obtenir de résultats généraux.
Les exemples étudiés montrent qu’un anneau commutatif maximal sur un espace à » dimensions dépend de x paramètres au moins. Nous ne savons pas si ce fait est général. J. Schur [20] a montré que le nombre de paramètres est,Z1+{[n°/4]([ ]désigne la partie entière). Pour n==4 les anneaux correspondant à ce maximum sont de la forme r(R, 1) où R est du type (10) si » est pair et du type (28) ou (29) si » estimpair. N. Jacobson[8]a montré que ces résultats sont valables avec un corps commutatif quelconque (J. Schur prenait le corps des nombres complexes). M. F. Kraveuk [11] a étudié les anneaux d’exposant 9 fixé et dépendant du nombre maximum possible de paramètres ; un exemple est l’anneau (20).
IV. — Relations avec les systèmes hypercomplexes commutatifs. Applications.
REPRÉSENTATION RÉGULIÈRE D'UN SYSTÈME HYPERCOMPLEXE. — 1° Système
hypercomplexe avec élément unité. — Soit Ë un système hypercomplexe de rang » sur le corps K. Considéré comme groupe abélien sur K, 2 est un espace vectoriel à » dimensions que nous appellerons E et dont les éléments seront notés par les mêmes lettres (petites) que ceux de ©.
À tout a€ Zon peut faire correspondre un opérateur linéaire sur E, que nous noterons À, défini par
Au—=au (ueE),
ÈË ainsi envisagé est un anneau R d'opérateurs linéaires sur E
appelé représentation régulière gauche de £. Cette représentation est fidèle car A — o entraîne Ar —a—o. E considéré comme groupe abélien sur R est monogène car E—R1. Cette propriété caractérise l’ensemble des représentations équivalentes à la représentation régulière, en effet : Si S est équivalente à R, c’est-à-dire si 5 — PRP, on à ESP" 1. Si inversement S est une représentation de Ë dans E CHener= Srilexiste Barelques = PeRPERetS SontEnomoE morphes à È, en tant que systèmes hypercomplexes ; mais les condiuons ER 1 — Se entraînant que R et S sont de rang n, ils seront isomorphes à Ë et par suite isomorphes entre eux. Soit alors T un isomorphisme des structures de système hypercomplexe de R et $, et P l'opérateur linéaire défini par T(A) 1 = PA, AER. Lorsque À parcourt R, Ae parcourt E, ainsi que T(A)r, donc P est inversible. Soit A, BER,ona
T(A)T(B)1=T(AB)1= PABe—PAP-T(B):;
CommesL(b par ourer oauramLON = PAPE rSroutpest démontré.
2° Système hypercomplexe sans élément unité. — La représentation régulière n’est plus fidèle, mais il est facile d'obtenir une représentation fidèle. Pour cela nous considérerons avec J. H. M. Wedderburn le système E°=K+E obtenu en adjoignant à Ê un élément unité, et nous prendrons pour E l’espace vectoriel Z°. On définit R en faisant correspondre à tout 4€Ë l'opérateur A tel que Au = au, u&ËE, cette représentation peut être considérée comme induite par la représentation régulière de Z°. Dans le cas présent E considéré comme groupe
ot ——
abélien sur p (R, D) est monogène et l’on vérifie comme plus haut que cette propriété caractérise l’ensemble des représentations équivalentes à R.
Pour la commodité du langage nous appellerons représentation canonique de È la représentation régulière gauche si E contient +, la représentation induite par la représentation régulière gauche de Z—K+2sirés.
La propriété &E,x1 est monogène » caractérise l’ensemble des représentations équivalentes à la représentation canonique, de sorte que l’étude des systèmes hypercomplexes peut se déduire de l'étude des anneaux d'opérateurs tel que EÉ,,, est monogène.
SYSTÈMES HYPERCOMPLEXES COMMUTATIFS DE RANG <{ D SUR LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES. — Soit À un système hypercomplexe commutatif contenant 1, R sa représentation canonique. De E=R 1 on déduit (théorème 2) que R'=R (cela résulte aussi de ce que R' est la représentation régulière droite). R est done commutatif maximal.
Si R se décompose en une somme directe de deux anneaux d’opérateurs : R—R;+R,, c'est à /ortiort une décomposition de R considéré comme système hypercomplexe. Donc finalement 1l suffit de déterminer les systèmes hypercomplexes commutatifs nilpotents; on les obtiendra à partir de leur représentation canonique, c’est-à-dire à partir des anneaux commutatifs milpotents vérifiant la condition uw, — codim RE — 1. Les anneaux vérifiant cette condition sont (1), (29248), (D), (7), (6m) ra), (14), (15) COCO ER (23), (26). Tous ces anneaux sont indécomposables en tant qu’'anneaux d'opérateurs linéaires, mais seuls (1), (2), (3), (5), (42), (14), (16), (22) sont des systèmes hypercomplexes indécomposables (nous reviendrons sur ce fait dans un instant). Nous donnons une table de multiplication pour chacun de ces systèmes :
Rang 1 :
Rang 2 :
RER 6. 5 Ac 2 DL.
De © DécomPosrrION D'UN ANNEAC COMMUTATIF D OPÉRATEURS, CONSIDÉRÉ COMME 128 | sysrème nypencowprexe. — Soit R commutatif nilpotent et R—R, +R, Pr une décomposition de R considéré comme système hypercomplexe. F Cela signifie que RR, ii RR,CR,, De on en déduit
