RRCRNR;, = 0. Lie

SA Définition 1.— Nous ho qu'un RER E, CE est un support > de la composante R, si R;E=R,;E;CE;, nous dirons que E, est . E minimal si il ne contient pas de support plus petit.

On peut construire un support minimal de R, comme suit : soit F un sous-espace supplémentaire de RENR, (0) dans Ri(o). On prendra E, tel que E SRE, E+F=E.

Définition 2. — Nous dirons que 4€, est initial pour R, si u&R,E et que u est terminal pour R, si LE R,(o).

Tuéonbue 26. — Sou R=R,+R,,E,«E, des supports minimaux

de BR, et BR, respectivement. SiueF,NE,, u est initial pour R, et R, ou terminal pour KR, et R,.

mo D

Supposons 4 non initial pour R, ; cela signifie qu'il existe A, ER, et rEE, avec u—A,+. De R,R,—o résulte R,A,r— R,u—o, ce qui montre que w est terminal pour R,. D’après la condition de minimalité des supports un vecteur ne peut être à la fois initial et terminal pour R,, donc w est non initial pour R, et par suite terminal pour R;. Il reste comme possibilités & initial pour R, et R, ou w terminal pour R, et R..

Exemples. — Reprenons les anneaux (3) et (4) en désignant par C1, €», e, les vecteurs de base et par À et B les opérateurs. Pour (3) on à R—r(A)+r(B) où le signe + désigne une somme directe au sens système hypercomplexe. On peut prendre pour supports Eté, Eee) roma AE; (e)eue etamabpons r(A)etr(B). Pour l'anneau (4)on vérifie que les supports se coupent suivant des vecteurs terminaux pour r(A) et r(B). Les anneaux (3) et (4) se correspondent par dualité.

Nous allons montrer par deux applications que les notions précédentes peuvent être utiles pour l’étude de la structure des anneaux commutatifs d'opérateurs linéaires.

PREMIÈRE APPLICATION : UN CRITÈRE DE MAXIMALITÉ. — THÉORÈME 27. — Soit R un anneau commutatif nilpotent d'opérateurs linéatres, R=R,;+...+R, une décomposition de KR considéré comme système hypercomplexe, E,,..., E, des supports de R,,..., R, respectivement, que l’on suppose vérifier les conditions :

(1) EH RAo NRA ous PE rem (2) Ri(o)= Fi.

St chaque R; considéré comme anneau d'opérateurs sur E; est maximal, l'en est de méme de K.

OnaE;— M RS AN R;(0), ce qui montre que E; est stable pour jzi j#i

toutA € KR’. Dans le sous-espace E; on peut écrire A—;1+A; où À,€K,

A / \ a] 5 = / A;EeR;. Dans le sous-espace R(o)— [A 1 AN DENT Oo)

On AAA == NX EN CeEqiPmontrequentons ler éont égaux. D’après la définition du support d’une composante, on a

E=(E;, F;)=(E,;..., E,); comme d'autre part A;E,—osit<}, on en déduit A = XI + A,+...—+A,, ce qui démontre la maximalité de R.

Pour pouvoir utiliser le théorème précédent il faut déjà connaître des types d’anneaux commutatifs maximaux. Nous allons indiquer deux types simples.

Type I. — Anneaux commutatifs milpotents tels que E,x, soit monogène. Comme nous l'avons déjà remarqué la maximalité de ces anneaux résulte du théorème 2 ; ils sont caractérisés par p, = codim

HET Type II. — Anneaux commutatifs nilpotents tels que m;= dim R (0) ET

Le type IT se déduit par dualité du type I, en effet : Soit E’ l’espace des formes linéaires sur E, €u, u!> la valeur de la forme linéaire w' pour 4€ E. A chaque opérateur linéaire À correspond son transposé A* définbpar SAT Du, ATU! y:

À un anneau R correspond un anneau R° inversement isomorphe : (A+ BY = A*+B*, (AA) —XA*,(AB)—= B'A*. Si R est commutatif Ret R° seront isomorphes, mais non nécessairement semblables [parmi les anneaux (1) à (29) ceux qui sont semblables à l'anneau transposé sont (1), (2), (3), (3), (10), (12), (16)]. Supposons maintenant R commutatif nilpotent. Si R est maximal il en est de même de R*, de sorte que la maximalité des anneaux du type Il sera une conséquence du lemme suivant :

Lemue. — dim R(o)— codim R°'E’ (oum, = y).

e 4 \ nl Il suffit de montrer que R(o) est le sous-espace orthogonal à R°E’. ter \ 3 à 4 .

DOME (Oo) On AQU, AURA, EU —0o; CC qUuiMmOoNtre que HORDE ESC ETAINR EE Ron ar CA NT 0; quels que =1 soient EE’, A€R donc Au — 0 pour tout A€R, donc 4eR(o). On peut vérifier que le théorème 28 permet de démontrer la maximalité de tous les anneaux (1) à (29). Il permet aussi de recon-

tou

naître la maximalité des anneaux étudiés par J. Schur [20] et

M. F. Kravcuk [11].

DEUXIÈME APPLICATION : UN EXEMPLE GÉNÉRAL D’ANNEAU COMMUTATIF TEL QUE R'Zr(R, D). — Soit R un anneau commutatif nilpotent d'opérateurs linéaires, R=R, + R, une décomposition de R considéré comme système hypercomplexe, E, et E, des supports de R, et R, respectivement.

On obtient un anneau tel que R"£r(R, 1) si l’on suppose remplies les conditions suivantes :

(1) RAR 0 A = 1 y (2) R,(o)nE:=R(o), Ri(o)}nEcR(o);

(3) BR; et R, sont maximaux dans les sous-espaces E; et E, respectivement.

Nous allons déterminer R’. Pour cela posons E° — (E,, R(o)) et soit %,,..., 4 tels que EE, =RE, +{(4)+...+ (ue), #1,..2, 68 tels que E =E;, +(n)+...+(v8). Soit A;; l'opérateur linéaire défini par

Aux die) (dx, symbole de Kroneker), AR PE A;;E> ==10:

Remarquons que E= (E;, E,), cela résulte de ce que (E,, E,) est un support de l'anneau KR et de l’hypothèse (2) qui entraîne à ; —1 M 4 R(o)C(E;, E:). Nous allons en déduire que E,—R,(o), E = R;(o), ce qui montrera que E; et E, sont stables pour tout A€ R’. D’après (2)

ei : = on à FE, CR;(0); supposons que l’on ait R,u— 0 avec u&E,, on peut écrire u = ui + ü, avec 4 EE;, m4 &E;, & EE;, d’où Ru, — 0 ce qui

contredit (2). On a E,=R, (o)et l’on voit de façon analogue que

sa ris D 4 Eur E=R,(o). Dans E, on a A—À,I+ A, où A, €R.. Dans E” on a A—A,ES— anneau des commutants de R, considéré comme anneau d'opérateurs sur E. D’après la définition des A;; on peut former

BA + Ai; tel que BU: EE, (G—1,..., «). De BES résulte

ji alors BE, CE,;, en effet : D’après la définition des ; tout 1eE, s'écrit

M0 à RAD

CET AS PS Biu; où B;ep(R;, L) ; on en déduit

Bad BBiu= B;Bu;,cE.

On a donc Bal AS où A EeR:.

Dans le sous-espace R(o) on a A—X,I—X,1I, ce qui montre que À4 =", d’où finalement en tenant compte de A,E, = A, E° — 0 :

A=hl+A;+A+ Ÿ a,Ajer(R, An... Aug, 1) = R'.

ïj Comme Rest commutatif on aura également :

Re PCR A4 .. AB, I) TR, 1 L'exemple le plus simple d’anneau commutatif vérifiant (1), (2) et (3) s'obtient dans le cas d’un espace à quatre dimensions. Soit À, B,

C, D les quatre opérateurs de l’anneau (10). Si l’on pose R —r(A, B,C), on à

= r(ON Er (AD) RER Les sous-espaces E,(e,, e,), E, —(e,, e,, e,) sont des supports de R, et R; tels que (1), (2), G) sont vérifiés. On a E —(e,, &,, e,), donc R'—7r(A,B,C, D, 1)Zr(R, 1).

Il est facile de vérifier que dans le cas d’un espace à trois dimen-

sions on a toujours R’— r(R, 1), donc l’exemple précédent est le plus simple.