BR ATTEAOPUT ANNE EN RAT EN

ce qui est une contradiction, le théorème est démontré. De la démonstration résulte encore :

Tuéorème 45. — Une condition nécessaire et suffisante pour que

Rp (R, 1) CSUQUEN ECO)

SPECTRE DE L’ANNEAU R. — Ilest naturel d'appeler l’ensemble + des projecteurs de r(R, 1) le « spectre » de R. Nous avons supposé que & était un treillis complet, c’est-à-dire inductif pour la relation P > Q.

Soit © l’ensemble des projecteurs < o de o et , le treillis engendré par les projecteurs minimaux de ©. On pourrait appeler ©, le spectre ponctuel de R. Posons

Dans ©, il n’y a pas de projecteurs minimaux, de sorte que l’on pourrait appeler ©, le spectre continu de R. Si 9 — 0, toute la théorie que nous avons faite est presque triviale. Il est donc intéressant de donner un exemple de spectre continu.

Soit F l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles définies sur un ensemble infini X et E le quotient de F par la relation d’équiva-

lence « fr g si f(x) = g(x) sauf peut-être sur un ensemble fini ». A tout ensemble S € X on peut faire correspondre le projecteur P, défini par (P,f)(æ)= (x) sites et zéro si æéS. On a

Ps+ Ps — Psysr, PÉts Psns;

de sorte que l’ensemble + de tous les projecteurs PS est un treillis véri-

Gr

fiant les conditions (1)et(2) et tel que © ne contient pas de projecteurs minimaux (il n’y a pas d’élément minimal dans l’ensemble des parties

infinies de X!).