ANNEAUX COMMUTATIFS ENGENDRÉS PAR DES PROJECTEURS
Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et © un treillis de projecteurs sur E ; © est défini par les conditions : ,
DMPO0ES entraine POOP;: PQE», PIQ—=P+Q—PQEDH (2) P,Qeo et bÆ=0 entraine Q—Peo.
Si{P, Q
D; est un système commutatif de projecteurs, on désignera par {(P, Q, ...) le treillis engendré par P, Q,
Taéorkme 38. — Tout treillis o —I(P,, ..., P;) engendré par un sys- T 19 ? o Ÿ tème commutalif fint de projecteurs peut étre mas sous la forme
CO En 0 dre OO TEE
Si l’on ferme l’ensemble {P,, ..., P;} pour les opérations + produit on obtient encore un système fini car un projecteur est 1dempotent; on peut donc supposer que {P,, ..., P;} vérifie (1). Soit Q, un projecteur minimal de l’ensemble CP, Lt 0PP on alors Q,P;= Q, ou zéro selon que Q,-<P; est réalisé ou non. On peut ÉCHOS O RE O0 avec 0 0,= 0, #Les 0;
ÉnarR Ts
forment un système de moins de # projecteurs et vérifiant (1), ce qui démontre le théorème par récurrence.
Définition. — Nous dirons qu'un treillis © est complet si quel que
soit d Co les projecteurs [El Pet >; + P ont un sens et appartiennent PcyY Pev d ?.
Précisons le sens de cette définition. Nous poserons MN PR Ey 2eŸ et LU (I—P)E—E,. On vérifie que ENE,—0, mais on n'a pas PeEl(L)
nécessairement E —E$+ HymSiicette dernière condition est réalisée
la projection sur E, parallèlement à E, a un sens et on appelle [El P: PE
Posons Ÿ étant toujours une partie de ? : W'—{P|I—Ped};
lorsque P parcourt d, [— P parcourt un treillis o*. On à encore
EN Eu, = 0; si de plus Ey,+Ey —E la projection sur Ey, parallèlement à E,. a un sens et on l’appelle > + P. On a les relations PEy À . QE À = LlPr=i-ÏX+r, DrP=i-]Jfr.
PE Ÿ PE dx PE Ÿ PE Ux
ÉTUDE DE L'ANNEAU ENGENDRÉ PAR UN TREILLIS COMPLET © DE PROJECTEURS. — Soit R—7r(9) l’anneau engendré par ©. Nous munirons l’ensemble G des opérateurs linéaires sur E de la topologie finie introduite au chapitre précédent. La fermeture de R sera toujours notée R. L'ensemble des projecteurs de R sera noté R?; on a ici R?/— ©. Dans la suite P et Q désigneront toujours des projecteurs de o.
Tuéorème 39. — (R}— Rr.
Soit Pe(R}? et uE&PE, re(I—P)E. Il existe Q
O,,u—= Pu—=uet oO
uw Zur
€ R’ tel que e— Pe—o(il existe, d’après la définition de R, A€ER vérifiant Au— Pu et Ap— 0; d’après le théorème 38 on peut écrire A2), Poulet. RE=0 172}; 0n peut supprimer de
2 CPAS
la somme les P; tels que P;u—0; Au—u entraine alors À;=— 1 et A est un projecteur). On a = [I (S+ 0er vE(I—-P)E \uEPE
car R? est complet.
TaéorÈme 40. — Si E, est monogène, c’est-à-dire si E — Ru, tout sous-espace de E stable pour K est de la forme F = PE avec P eR?. Soit € EF stable pour R. D’après l’hypothèse E — Ru il existe des k à
a EK et P;eo tels que — > &P; |u; d’après le théorème 38 on =
peut supposer que P;P;=0 sr 12<7. On a P;e— Piel, ce qui
montre que F—/{aPulaekK, Peso, PueK!, d'où FCPE où
P= » + Q. Il y a égalité : F = PE car si QueF on a QECF.
Queer CoRoLLAIRE. — Comme E est stable pour R, E—Ruimpliquele 9 —R?.
Si Fest un sous-espace de E stable pour R nous désignerons par 9, le treillis des sous-espaces de la forme PF et par £, le treillis des sous-espaces stables pour R et contenus dans F. On à f,2 0%. Il est d'autre part naturel d'établir entre 9 et o, la correspondance P = PF; e, s'obtient en faisant le quotient de © par la relation d'équivalence «PQ si et seulement si PF=QF ». ©, est homomorphe à ©, ce que nous éCrIrons 4 rv 9; si il y a isomorphisme nous écrirons ©, © ©.
Tuéoriue 41. — Quelquesout Fe Prilexiste Ge FitelqueE=F+G.
Soit G maximal parmi les éléments def, qui vérifient GAF — 0. Nous pouvons pour la démonstration supposer que TER car f, est le même pour R et r(R, [) et d'autre part si o est complet, /(©, D) Pest aussi. Supposons qu'il existe u&KF + G; d’après le théorème 40 on peut écrire
RuNCFEG)=P(Rx)—=R(Pu);:
comme Ru—PRu+(I—P)Ruw,ona
(—P)RuN(F+G) —o.
Le sous-espace G'=(1— P)Ru+G vérifie G'NF—o, ce qui contredit la maximalité de G; on avait donc F+ GE.
THéorime 42. — Sleodlemst FES, tel que Pr 9 0.
Soit ® la famille des Fe£, qui vérifient f,—,. Il existe des Feet £o; d’après le théorème 40 il en est ainsi de tous les sousespaces F de la forme Ru. Nous allons montrer que ® est inductive; le théorème résultera de cette propriété, en effet : Soit F un élément maximal de D; Fest £o comme on l’a remarqué plus kaut; si lon n'avait pas ©, © © cela entraînerait qu’il existe P et Q tels que P ;£ Q et PF = QF. Quitte à remplacer P par PQ et Q par P + Q — PQ on peut supposer que PQ. On a alors (Q—P)F—o et en prenant uE(Q —P)E on vérifie que RuëNF —o puis que F'=F+Rued ce qui contredit la maximalité de F. On avait donc #, © ©.
Pour démontrer que ® est inductive considérons une sous-famille {F,l«eJ}co totalement ordonnée (par la relation d’inclusion).
Nous poserons F — U Hoi Gefronao— w! GNF,. De la œ (°4 définition de ® résulte qu’on peut écrire
EPA CPR ARS (P,€o); F,= P.8F8, avec Pgeo SL A0 (a <B signifie F,CF8).
One — { Il Pa) F, en effet
\B>o (LEP )' = (NP F2 (NP.
B> a B>a 6>ax 1 d'autre part si P,sFonauerF, d F = et d'autre part si ue «si onauer, donc uE€Ek, pour un cel B>a tain indice y, donc LE (+) F,CFe.
On a
Ce LU FE AG— LU P,F,— LU RUE © C2 0! B>a
PR es
Posons Il Pas Q,; il vient F,— Q,F et en posant Q=TI Q3, on B>a : B>ax a encore F,= QE avec Q, > Qs si & > 6. Dans F,nG—P,E, on peut remplacer P, par P,— LP: car B>a P,F,= AN Pa Fo Pa Fa==FonG ; > a
on a aussi P, > P3 si « > 6. On en déduit :
re QE LP, œ) Fer,
La
donc +, © et le théorème est démontré.
Tasorime 43. — STE il existe une famille de sous-espaces F,e £, LUE EE D NES D Pr, SL > J(,J parcourent l’ensemble
des ordinaux), E — D + F:.
L'existence de KF, résulte du théorème 42. Le théorème 41 montre qu'il existe E, e Ê, tel que EE, +F,. Dans E,, © induit un treillis o,rvo®(, est le quotient de o par la relation d'équivalence PQ si et seulement S PE=—=O0E%)" Onlpeut-trouver dansehR,, PF; telèque
Pi 0, ., ce qui démontretthéorème pas un ordinal n'ayant
£ [l , : AFS : 2 M | pas de précédent on définira E; par E;e £, et ( > ts F;) UE — 5] À j>i Érupe pes ANNEAUX R’ Er R". — Nous supposons toujours que R est engendré par un treillis complet © de projecteurs. Rappelons que Fetceh els Taéorème 44. — On a R'— pi, I).
Il est équivalent de démontrer que si [eR on a R’— R; nous sup-
poserons donc que 1eK. Soit E = +E, une décomposition de E
qui vérifie les conditions du théorème 43. Nous appellerons 1; la projection sur F;. On a l;e R’ ce qui entraîne la décomposition en somme sous-directe
Re D ee (LR =Y + (R;)’;
on à posé R;—1I;R — anneau induit dans LE. Ceci nous conduit à étudierdecasou = 0
Supposons maintenant F,— 9,etsoitu€eE. On a Ru = PE puisque Ruef,=— 0,.Soit BER', la condition B p.P entraîne Be Ru, c’està-dire l'existence de AER tel que Bu— Au. L'égalité B— A étant valable en w sera valable dans tout Ru. Nous allons montrer que B eh: Soit 4, EE ;ilfauttrouver A&RtelqueBu;—Au;(i=1,...,n). On’peut trouver A, eRtel que BA; 1. Soit RG, 2, WU) PE eboRu PES de bu, — Av) recule BA dans 24 nOHMa E=P,E+(I—P,)E; on peut trouver A, tel que B(I —P, )u;— An, d'où B— A, dans (1— P,)Rw,, etc. D'où finalement
D PAT EE ED PAS Ces Mes ME e
Ainsi, — 0, entraine = R'donc RP.
Revenons au cas général £,:£o,; ce qui précède montre que
S < UE A a CS c =.
he > + R;. Soit BER'et A.€eR vérifiant Bu —A,;u si ueF,. Nous Î
allons montrer que A; = AÀ,, ce qui entraînera B— A, et achèvera la
démonstration du théorème. Pour cela examinons comment on peut
construire A'ER' : Soit ueE et PE tel que Pu—u; A'p.P montre
qu'il est nécessaire que A’uePE; il sera donc nécessaire que
HOT On peut fixer arbitrairement Au dans QE
y BUS
car si 6EQE, Re considéré comme groupe à opérateurs sur R est homomorphe à Ru. La condition A'u — + détermine A’ dans Ru et il reste à prolonger A’ à E tout entier. C’est possible car d’une façon générale si l’on à défini A’ dans un sous-espace stable F où il vérifie A'p.kR, il existe Ge Ê,tel que F+ GE, et l'on pourra prolonger A'à F + Ru où u est arbitraire dans G (car alors Ru€CG).
Soit : le premier ordinal tel que BZ A, dans F;. Il se peut que B
er BQN
coïncide avec À, dans un sous-espace de F;, sous-espace qui est de la forme PF;; quitte à se placer dans (1— P)E on pourra supposer que Bu >< A,u pour tout 4€ Ki. Nous allons montrer que c’est impossible.
SOILOE > + Pet ue(I—Q)E, ; soit S — JlPe 9 < 0 appar-
PF;=0 Pu—=u tenant à SF;. Il existe A’ ER’ vérifiant A’u — + d’après ce qu’on a vu plus haut. On a
