EE PE

ee nn Eoo = 0 : Eug ==" 0 RE: (C8 2820 10,16 ne )

on voit tout de suite du groupe de relations (36) et de (30) que l’on a À — 0. Pour les variétés D exceptionnelles le contact géométrique du 3" ordre subordonné à un contact de Cech du 4"° ordre est nécessairement un contact analytique du 3" ordre.

Nous pouvons alors appliquer la remarque du $ 16° et concluire que pour les variétés ® exceptionnelles le théorème de Gech est vérifié pour h = 4.

On peut même aller ua peu plus loin. Nous tirons, en effet, des relations (35) les relations suivantes :

— 2E,, — 2 E;o = (4 à — 2 Ôy22 — 20133) 1 + (3 di19 — Da — V233) Vo + (3 d113 — D223 — 33) O3 — 2 Ejo = (3 Ô112 — 0222 — Vnga) © 1 + 2 0,92 do + 2 do — 2 E0 = (3 V113 — V223 — Vgg3) O1 + 2'Oy23 Oo + Ÿ dia O3

— 20 = 2 0112 O1 + (8 di92 — dyny + D133) Vo + 2 d123 O3

— 2 Eso = (3 0199 — din + D13g) O1 (4 222 — 2 Vyso À 2 D23s) Sa + (3 Do2a — di13 À D333) O3

— 2 Ego = 2 022 01 + (3 0208 — dira À Va33) O2 + 2 dogs Va

bo = 200 + Lo d (3 Dies — din + Di22)

— 2 Ego = 2 0193 O1 + L'Ün23 ©o + (3 Dogs — d112 + V222) O3

— 0 = (3 das — 155 + D122) © + 3 Doaa — d112 À V222) Wa + (4 dass — 2 dira + 20223) 03

Par la comparaison de ces relations nous déduirons facilement.

S ES JS TS ES S DS ES S Vian — Vi22 Tr Vu33 > Vi12 — V222 de CSS EC 115 en 0222 n 0333

et si nous prenons comme nouveaux sommets du repère (r) les points:

À —AÀ, —- 122 Ar A 104 10 + 133 A An=â ai D292 A ,Ap = À + 0333 A, A 13 A 13 + d233 À ,Ay=Au E 0293 À A5 À 5 + V123 A,

les autres sommets restant inchangés (ce qui revient à faire une certaine homographie sur v,, qui ne change pas les hypothèses), les nouveaux do. seront tous nuls et le contact du 4'° ordre sera analytique. La propriété B ($ 8°) se trouve elle aussi vérifiée au 4" ordre pour les variétés D exceptionnelles.

Le cas des variétés D n’appartenant pas à la classe excep-

tionnelle est plus compliqué. Nous reviendrons dans un autre travail.

CÉLCXEIREUE SNL

Propriétés projectives des courbes gauches

À. Les repères attachés à une courbe gauche

200,— Suivant la méthode générale indiquée dans le chapitre premier ($ 2°) nous attacherons à une courbe C des repères determinés par ordres successifs de la manière suivante :

Au premier ordre le repère sera déterminé par les conditions.

en désignant dans ce chapitre par &;, 6; les composantes du

mouvement instantané du repère. Les équations de la courbe par rapport à un tel repère auront la forme

HN NE UE LEA cr Lo ie + . . -}- Le Bi + On 0 = 2, 3 on) Pour déterminer le repère au second ordre, nous pourrons prendre CAES à a) 10 (5 > 3) ce qui revient à poser (37) OR —= (OPR QE —= O4 ee — On —= 0, cette particularisation n’etant pas possible pour les lignes droites. Au trosième ordre nous poserons les conditions nouvelles EG 0 GR 00 0, JO D 0 cette particularisation excluant les courbes planes A OC. BD el me D'une manière générale au p"° ordre figurerons les n — 1 nouvelles conditions (p < n + 1)

{ Op — 1, De [Lier 6-9, l + AE dp-3, 010) Gp1, 3 — Cli e@p 0,9 HO, 06, 3 1 — CB 901 0 = 0 Gp di — Clo-ipt O0, 4 C2 irr Gp3,5 a — ..

(37,) . LE + ee 1}? (perse (NE i-1,0 — O0

Op 1, DEA 2 69, p—2 —- Gp-3, p- 810 pt, p — Gp—9, p1 (p£n)

CEE &Zzp+i,p<n)

où C; sont les nombres binomiaux et C — 0 pour s > r;

ar LC: ÉD eelt:

Enfin au {n + 2/"° ordre nous ajouterons les nouvelles conditions

ee 2 N As ( DS (biere OT Te C n +1 Oy 1, 0 rat

(UE, 12) { Cu Ci i43 On, i—1 + Co irs &n 1, ei = . *. + (— a} On-i+3 Wy—it1,0 — 0

. . L e . 0 » . . . . . . e e { — 9 Op, n—1 - 36,1 n—2 — &n— ,n—3 — 0

Les particularisations ainsi imposeés sont possibles pour toutes les courbes gauches de l’espace (c’est-à-dire celles qui ne

sont pas entièrement situées dans un hyperplan E,;) en tout point ordinaire d’une telle courbe.

210. — La dérivation extérieure des relations (37,,:) donne en tenant compte de (37:)...(37,4) des nouvelles relations de la forme

(37,43) Ono ES do o,; O1 ÈS 3 O1 MOD) y, n—2 = à;

A9, A3,... , &, étant des fonctions des paramètres dont dépend la position du repère mobile non encore déterminés au (n + 3)" ordre et des coordonées du point correspondant de la courbe et de leurs dérivées par rapport à l’une d’elles jusqu’au (n + 3)" ordre.

Cela étant si à désigne un déplacement compatible avec (37), (372) ... (37,43) et laissant le sommet A fixe (par conséquent tel que &, (à) — co), on aura en dérivant extérieurement (37,43) et posant &,, (à) = e,

dada = (n +-1) ao En — 00 — —— 3 Ens n — 1

En général, en un point ordinaire de la courbe on aura d, <0.

Un point sera dit singulier de 1° espèce si a, = 0, a, , <0; ou singulier de 2" espèce si a,=4a,, —=0,4,.: 0;

CC CIC d’une manière générale un point sera dit singulier de la 1° espèce CLNEP\S 4 = tte Ne; = 0 020