re et

enfin il sera dit sestatique (ou de la n —1"”° espèce) si

D'une manière analogue nous appellerons courbe singulière de la i"* espèce une courbe qui aura tous ses points singuliers de i”* espèce. Ces courbes existent et dépendent de n —1—1 fonctions arbitraires d’un argument, comme il est facile de voir

en écrivant le système différentiel qui les définit, qui se compose des relations (37,), (372), ..., (37,12) et

Oh ea nes = Un nt t1=—=0 et en montrant qu’il est en involution avec s, —n—i—1.

Les courbes de 1”° espèce sont connues dans un E, . Ce sont celles dont les tangents appartiennent toutes à un complexe linéaire. Nous n'insisterons pas pour la démonstration. Ces courbes jouissent donc d’une propriéte géométrique d’ensemble qui malheureusement ne se généralise pas pour n > 3 aux courbes singulières définies précédement ‘). 11 semble très difficile de trouver pour ces courbes une propriété géométrique globale ; il faudra pour se rendre compte de la difficulté, trouver une deuxième propriété de cette nature aux courbes de E, dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. Nous donnerons par contre plus loin plusieurs propriétés géométriques locales caractérisant les points singuliers d'espèce 1.

Les courbes d’espèce 7—1 (qu’on appelle aussi courbes normales) ont une définition simple; nous verrons que ce sont les courbes algébriques de degré n.

220, — Formules de Frenet. Nous, nous servirons dans la suite aussi d’une autre particularisation du repère mobile qui se conserve par une trasformation dualistique ; nous considérerons pour cela la courbe comme engendrée par ses éléments osculateurs définis par l’ensemble d’un point de la courbe, de la tangente en &e point, du FE, osculateur en ce point, etc. du E,., osculateur en ce point; une première détermination du repère consiste à faire coïncider le sommet A avec le point considéré de la courbe et à prendre le point A, sur la tangente, le point A, dans le E, osculateur..…,le sommet A,, dans le E,, osculateur. Celà entraine les conditions (qui existaient déjà avec le choix précédent).

(39,) Gj=0 (i<j—1,1—=9,8,...,n)

La dérivation extérieure de ces relations nous conduit à poser

D OO LAON Den dt, 1) Une telle propriété appartient en quelque sorte aux courbes étudiées par M. Borel (Sur l'équalion adjointe ete. À. K. N. 1892) qui sont différentes de celles que nous

étudions.

et une nouvelle dérivation extérieure nous montre qu’on peut, pour les courbes gauches, déterminer le repère de manière que l’on ait

RE ec

c’est —à—dire (39) ü, —= CO 12 == .. = O 1 n La dérivation extérieure de ces relations nous conduira de nouveau à poser | Do — 2 1 + Woo = Po Gi

La Ô D D ei, er D On 7 Uni, n—1 DU n—9 n° > On o,

et en suivant la même mèthode on pourra annuler G, ., 5, On aura alors

(39;) Bi — Don = Gp — bg = + = Gun — On, n—1 puis de nouveau par dérivation extérieure

et nous pourrons annuler y,,…, y,. Nous obtiendrons enfin par une autre dérivation extérieure

F Re PR 49 — 4 Gay + 6 Goo = 82 d,

ge RS À SA — 0 On 2 — À Oypi,n-3 — Vn-9,n-i = En 1

À partir de maintenant deux cas sont à considérer : IV, Tous les €; ne sont pas nuls. On peut alors poser

; Da ==1(0) nd D —= (OP (39 ,) LINE A su Oy,n 2 é 1 ….

V1 = V9 = + à à à 2 On-1, n-8 — 0 et tirer en dérivant extérieurement, des relations de la forme an Le ie de D CR UN OP = oo — 1e OR et on poura poser XL —0,4,—=...4,,=0,43=4,—k,:k, sera un invariant projectif, De nous tirerons