A3 = 24 À,9 + BA
Si la correspondance entre les arêtes de rembroussement n'est pas homographique (A, -< 0), l'équation différentielle des surfaces cherchées s’écrira
avec un paramètre a. La dérivation extérieure de cette équation nous montre que ces surfaces dépendent d’une fonction arbitraire d’un argument; de plus on trouve par cette voie que les caractéristiques de cette équation sont données par les équations (88) c'est-à-dire ce sont les courbes de la congruente (T). Les surfaces cherchées (s) sont donc engendrées par les courbes de la congruence (l').
56. — La nature des surfaces (5) est facile à définir d’apres la propriété géométrique énoncée précédemment des courbes de la congruence (1). Les plans générateurs de (s) coupent en effet une surface (o) suivant une famille de courbes projectivement égales, qui forment d’ailleurs une première famille de lignes caractéristiques de (5); la transformée de Laplace correspondante se réduit à la courbe décrite par le point P. La deuxième famille de courbes caractéristiques est formée par les courbes de la congruence (l) génératrices de () et la transformée de Laplace correspondante est la surface développable ayant la même arête de rebroussement /c) que l’hypersurface /s). La surface (2) qui correspond à (s) par la C:, entre fs) et (S), donnera alors avec (c) un couple de surfaces dépendant de huit fonctions arbitraires d’un argument (six fonctions déterminant /s/et (S), une autre fonction déterminant la Ca et une huitième définissant la loi d’après laquelle on associe les courbes de la congruence (T°) pour engendrer (5)), et d’après la manière dont on les a obtenues les surfaces (5) et (£) admettent une Cx. La détermination d’un tel couple de surfaces et de la correspondance C3 se réduit donc simplement à l’intégration du système complétement intégrable (88).
Si la correspondance entre les arêtes de rebroussement est homographique Ja relation (87) devient
Aus — Ê A4 et l'équation des surfaces répondant au problème se réduit à À ya Wa — À 32 3 — a 0; avec le paramètre x. La dérivation extérieure de cette relation nous montrera également que la solution de cette équation dépend d’une fonction arbitraire d’un argument et que les caractéristiques sont données par wo 0, À,3 02 — As = 0
Ces caractéristiques sont par conséquent des lignes situées dans les éléments plans générateurs de (fs) qui recontrent la courbe (Q). Mais le long d’une telle ligne on a
(Op
d'A — te (A42 42 + Aus 43)
d (Ay A+ A4 43) — — e Op - 3 0) (A y 4; + À ya A2)
cette ligne est donc une droite. Les surfaces (o) répondant à la question sont par conséquent les surfaces réglées engendrées par des droites rencontrant la courbe (Q). Si nous considérons maintenant la surface reglée (R) correspondant à (p) par la C:, nous aurons en (0) et (R) un couple de surfaces reglées admettant uue C3 et dépendant de sept fonctions arbitraires d’un argument, qu’on obtient ainsi sans aucune intégration.
Enfin si la C:, entre (s) et (S) est une C;; sans que les deux hypersurfaces développables soient projectivement égales, je signale sans démonstration que les surfaces répondant au problème sont les surfaces reglées engendrées par des droites situées dans les plans générateurs de (s) et rencontrant l’arête de rebroussement (c) de l’hypersurfaces (s).
BIPEÉIOCE APBÊME
4) C. BERSANO. — Contatti del secondo e del terzo ordine tra varietà iperspaziali. Rend Instituto Lombardo, t. 56, 19928, p. 267—975. |
2) CG. BERSANO. — Sulla applicabilità proietliva di una particolare clase di varietà iperspaziali. Rend. Lincei, t. 32, 1993, p. 260—2683.
3) L. BERZOLARI. — Sugli invarianti differenziali proiettivi delle curve di un iperspazio. Annali di Matematica t. 26, 1897, p. 1—58.
4) E, BoreL. — Sur l'équation adjointe et sur certains systèmes d'équations différentielles. À. E,. N. t. 9 (4892) p. 63—90.
5) E. CARTAN. — Sur l'intégration des systèmes d'équations aux différentielles totales. À. E. N. t. 48 (1901) p. 241—311.
6) E. CARTAN. — Sur la structure des groupes infinis de transformations. Ch. I. A. E. N. t. 21, 1904, p. 153—175.
7) E. CaRrTan. — Les variétés à courbure constante d’un espace euclidien ou non euclidien. Bull. Soc. Math. t. 47, 1919, p. 125—160 et t. 48, 1920, p. 132—208.
8) E. CARTAN. — Sur la déformation projective des surfaces. ADN. 1.97, 4920, p. 259-356.
9) E. CarTAN.— Sur le probléme général de la déformation. Comptes rendus du Congrès International de Strasbourg (Sept. 1920). Toulouse, Impr. E. Privat,
10) L. Féraur. — Sur une généralisation des correspondances ponctuelles qui établissent l’applicabililté projeclive. Thése. 1928. Ed. Les Presses modernes, Paris.
44) G. Fugini. — Applhcabi ità proiettiva di due superficie. Rend. del Circ. mat. di Palermo. t. #1, 1916, p. 135 —162.
12) G. Fuini & E. Cecu. — Géometria proietiiva differenziale. 1926. Ed. Zanichelli, Boulogne.
13) G, H. HaLpneN. —- Sur les invariants différentiels des combes gauches. Oeuvres. t. IT. 1918. p. 353 —446. Ed. Gauthier- Villars.
44) V,. LALAN. — Sur les proprietés infinitésima/es projectives des variélés à trois dimensions J°* de Math. pures et appl. t. 8. 1924, p, 241— 318.
15. P. MENTRé. — Les variétés de l’espace réglé. Thèse 1928. Ed. Les Presses Universitaires, Paris.
16) C. SEGRe. — Sulle superficie degli imperspazi legate colle equazioni lineari alle derivate parziali del 21 ordine. Atti della R. Ac. Torino. t. 52, 1907, p. 1052—1079.
