AX, =: RER
(l 1 — = 2 2 A AT.
les termes non écrits étant d’ordre supérieur au 2”*.La comparaison avec (78) nous donnera tout de suite
x 3 RUE TEE PE — Au ai — SA œ, UE 0.
et par conséquent
| pen en ; I (82) L= #, + Asa di — A0 2 dr +...
| X3 —= 3 + 5 00 Celà étant l’équation d’une courbe passant par À pourra s’écrire d’après (77) Zn = maX, kon af + pa +...
Po Ga Le et si cette courbe a un contact du 3”° ordre avec sa correspondante on doit avoir
X, = mX;+n Xi + p Xi +...
X3 —= DJ x + ...
Remplaçons dans ces relations X,, X2, X; par les développe-
ments (82) et identifions ; nous trouverons
(83) 2A,6m— Ay.
Supposons d’abord A;,,-< 0, condition dont nous verrons plus loin la signification géométrique ; l'équation de la tangente à la courbe repondant au problème s’écrit par rapport au repère (r)
NC Ut autrement dit l’équation différentielle des courbes cherchées sur la surface (s) s’écrira
(84) 244,0) — Ag o:
La première relation (80) montre que A4, est à un facteur près constant le long d’une génératrice (w, — 0) et d’après (T°) et (68) si A4, =: 0 on a U — 0, c’est à dire que la correspondance entre les arêtes de rebroussement est homographique. La condition écrite plus haut exprime donc que la correspondance entre les arêtes de rebroussement, qui définit la C2, n’est pas homographique.
53°. — L’équation (84) est complétement intégrable. Les courbes cherchées dépendent d’une constante arbitraire; elles forment une famille et par chaque point dela surface (s) il passe une courbe et une seule. Ces courbes jouissent d’une propriété géométrique caractéristique. Considérons, en effet, le point PE AR Ne
qui se trouve à la tangente à la courbe passant par À. Si désigne un déplacement le long d’une génératrice (w, (à) = 0) on a d'après (80) et (81)
Ch) A)
ce qui montre que les tangentes aux courbes de la famille en tous les points d'une méme génératrice passent par un même point P. De cette propriété découle d’ailleurs immédiatement que quatre courbes quelconques coupent les génératrices de la surface sous le même rapport anharmonique.
Réciproquement étant donnée sur (s) une famille de courbes satisfaisant à ces propriétés il existe toujours une surface (S) et une C,, entre (s) et (S) telles que les courbes de la famille considérée et les courbes correspondantes sur (S) soient des courbes répondant au problème proposé. En effet la position du point P nous donnera à un facteur arbitraire près (fonction du para-
si
mètre + de définition sur l’arête de rebroussement) les quantités Af0, A Az et la 1° relation (80) nous donnera Au. Le système complètement intégrable formé par les relations (55) nous donnera la surface (S).
Si maintenant À, — 0 c’est à dire si la correspondance entre les arêtes de rebroussement qui définit la C, est homographique, pour qu’il y ait une direction répondant au problème, autre que la direction de la génératrice, il faut d’après (83). que À» soit nul. Mais d’après (80) on à dans ce cas
Af0 — A d'Age — A 61 — Age — 8 Az d00 si donc As < 0, c’est à dire (cf. $ 49°) si la Ca, n’est pas une C, la relation À 3 — 0 ne peut pas être identiquement vérifiée. Elle définit sur la surface une ligne (Q) telle que toute courbe passant par un point quelconque de (Q) a un contact du 3" ordre avec sa correspondante; de plus d’après (82) les surfaces auront en un tel point un contact analytique du 8"* ordre (au sens de M. Fuini). Nous pourrons pour cette raison appeler la courbe (Q) une ligne flécnodale de déformation et par un raisonnement analogue à celui qui a été fait plus haut montrer que la courbe (Q) peut être une courbe quelconque tracée sur (s) en ce sens qu’il y a une infinité de surfaces (S) telle qu’une courbe quelconque tracée sur (s) soit la ligne flecnodale de déformation pour une C.;, spéciale entre (s)et (S).
On se rendra compte aussi facilement, en dernier lieu que si la C,, est une C; ou bien il n’y à aucune direction en aucun point (sauf sur l’arête de rebroussement) jouissant de la propriété demandée, ou bien les deux surfaces sont projectivement égales. :
54°, — Passons au cas n — 4, On aura de même d’après K 36°
1 9 L 9 — à + TG Li2 +
Ts — y £
et d’après les relations (55)
Eo =. E, —— À jo üw, Fo = À 50 © IEP PATTES À 9 2
Fys = A4 © — A0 3
les autres E,;, étant nuls. Ces relations dérivées extérieurement nous donnent () { d'Aio = (A6 — Ayo) 4 — 2 À 10 O2 1 4 (85) d'A y = A 04 — 5 Ayo ©2 — 3 A 40 Sa 1 1 | dAu— AU 64 — À {0 3 — 2 A 19 ©i2 — À Ag 4 1 c et la nouvelle dérivation extérieure de la première de ces relations nous donnera d AD — (AŸ) L AD) ©, — 2 À, 0 — 3 A Avec celà les développements (15) deviennent 4 1 9 AX=35Apyai0, +..
; 1 2 ) 1 9 AX — ( — % Ayo di + A6 di 22) 06, += À4 1 ©) +. - 1 2 1 2 A = (— 7 Ag @i+ Ant, 23) O1 5 A0 21 03 + …
NX et la comparaison avec (76) nous donnera 3 “es LES ie 3 À : > 2 ft 12 9 A0: CL Lo F5 = Aya 1 — à A5 ai La | ® a | par conséquent ; 11 (7 — % À, ai + a 3 2
1 3 1 2 X3 = 3 +5 As w1 A, da + … Xi = Le.
Cherchons d’abord les courbes répondant au problème. Les équations d’une telle courbe passant par À s’écriront
Ly=Ma+n ai + pie +.
L3 — ARTS GERS PTS Li n DR et celles de la courbe correspondante en Ven +PX +.
Xe N FTU Et XXE
en identifiant d’après (86) nous obtiendrons immédiatement
2 A9 — A en | 2154 = A4
par conséquent les équations différentielles qui donne les courbes cherchées s’écriront, si la correspondance entre les arêtes de rebroussement n'est pas homographique (A5 < 0),
s 2 Ag Oo — À 49 0,
Ce système est complétement intégrable. Les courbes cherchées forment donc sur l’hypersurface (s) une congruence de courbes (T) dépeadant de deux paramètres arbitraires et telle que par tout point de (s) il passe une courbe dé la congruence et une seule. Ces courbes jouiront, comme pour # — 3, de la propriété caractéristique d’après laquelle les tangentes aux courbes de la congruence (T) le long d’un élément plan générateur de (s) passent toutes par un même point P. En effet le point
P— A A + 20 41 + Au 4, + A4 43 est fixe car si &; (à) — 0 , On (à) == @ on a ÔP——53eP De la propriété précédente il résulte immédiatement que les courbes de la congruence (T) tracent sur les plans générateurs de (s) des configurations homographiques.
Si la correspondance entre les arêtes de rebroussement est homographique on a A4, — 0, par conséquent d’après (85) CETTE si alors la C2, n’est pas une CG; (A, < 0) il n’y a aucune relation identiquement vérifiée entre A% et A et pour qu’il y ait une courbe répondant au problème il faut d’après (87) que l’on ait Ay—0 , Ayg—0 et ces deux relations définiront sur (s) une certaine courbe {Q) qui sera une ligne flecnodale de déformation dans le sens qu’en chaque point de cette courbe la C, est une C;.
Enfin si la C, est une @; ou bien il n°v a aucune courbe en aucun point (sauf celles situées dans un KE, générateur ou en des points de l’arête de rebroussemens) répondant à la question, ou bien les deux hypersurfaces développables (s) et (S) sont projectivement égales.
La congruence (1) aussi bien que la courbe (Q) peuvent être d’ailleurs comme dans le cas précédent une congruence jouissant de la propriété énoncée plus haut ou une courbe quelconque tracée sur (s).
55°, — Passons maintenant au cas des surfaces. L’équation d'une surface située sur (s) et passant par À pourra s’écrire
dati Bas +, (a, 22) + Pi(e . Lo) +
P: , P;, … étant des polynomes homogénes du 22, 3”, … degré en %y, Le. 1 Cette surface a un contact du 3”° ordre avec la surface correspondante on aura aussi
Xg AN HN + Pi Xo) + Pa (Xi 3 No) He Xi EX ré
et par identification d’après (86) on obtiendra
