INTRODUCTION

Le problème de l’applicabilité projective des surfaces posé et étudié par M. Fugini ‘), puis développé et complété par M. CAR- TAN ?), a été aussi l’objet de nombreux travaux dans les dix dernières années, mais dans tous ces travaux le cas des variétés développables occupe une place très peu importante; ce sont pourtant parmi les hypersurfaces d’un espace à un nombre plus grand que trois de dimensions les seules qui admettent, comme l’a montré M. CARTAN, une déformation projective du second ordre. C’est donc à l’étude dela déformation des hypersurfaces développables qu’a été consacrée la plus grande partie du présent travail.

L'étude des correspondances qui généralisent celle posée par l’applicabilité de M. Fugint et qui ont fait l’objet d’un travail de M. FÉRAUD*), m’a conduit à certaines correspondances entre deux hypersurfaces développables données ne dépendant que d’une fonction arbitraire d’un argument et qui s’obtiennent en établissant une correspondance ponctuelle arbitraire entre les arêtes de rebroussement des deux hypersurfaces.

Les différentes correspondances établissant des applicabilités projectives, au sens de M. FÉRAUD, entre ces arêtes des rebroussement même et dépendant d’une fonction arbitraire d’un argument, donnent naissance, d’un autre côté, à des correspondan-

1) Rend. Circ. mat. Pa. 41, 1916, pp. 135—162. 2) Ann. sc. Ec. norm. 37, 1920, pp. 259 — 556. s) Thèse 1928, Ed. Presses nouvelles,

ces ponctuelles bien dèterminées entre les deux hypersurfaces et la comparaison de ces diverses correspondances m'a conduit à certaines propriétés intéressantes, qui jouissent d’un grand degré de généralité. Ces propriétés, qui se trouvent développées dans le chapitre IT C, ont fait d’ailleurs l’objet d’une note parue aux Comptes Rendus”).

L'étude du contact des variétés correspondantes sur deux hypersurfaces applicables l’une sur l’autre, qui dans notre cas se laisse traiter sans difficulté, (Chapitre IIL E), conduit également à certaines propriétés intéressantes. Cette étude se trouve présenter une importance pour deux principales raisons. Elle est d’abo:d liée au problème qui pour les surfaces projectivement déformables de l’espace ordinaire, consiste à la recherche des réseaux de déformation projective, En effet, en chaque point d’une telle surface, les directions de déformation projective sont celles des courbes passant par ce point et qui par l’homographie unique qui réalise l’application C2, (au sens de M. FÉRAUD), ont un contact de 3°" ordre avec les courbes correspondantes ?).

Un deuxième point important de cette étude c’est qu’elle conduit naturellement à la découverte de certaines classes de variétés v, qui admettent une correspondance Css, qui de cette manière s'obtiennent plus facilement que par une méthode directe. C’est ainsi que j'ai obtenu, sans intégration, une classe importante de couples de surfaces reglées de l’espace à quatre dimensions, admettant une C, et dépendant de sept fonctions arbitraires d'un argument, tandis que les couples les plus généraux de v, de cette espèce dépendent de huit fonctions arbitraires d’un argument. De la même manière je ramène à l'intégration d’un système d’équations différentielles ordinaires d’une forme élémentaire, la recherche de couples de surfaces de E, spéciales (à une famille de caractéristiques planes et à une transformée de Laplace dégénérée), admettant une C:, et dépendant de huit fonctions arbitraires d’un argument, qui d’ailleurs est le degré de généralité d’un tel couple de variétés.

Le problème de la recherche des différentes applicabilités

1) C. R, 185. 1927. pp. 117879.

?) Ce théorème dû à M. Carran à été exposé dans les leçons professées à la Sor. bonne 1927— 28.

possibles entre deux hypersurfaces développables m'a conduit, en dernier lieu, à des propriétés concernant des variétés très générales, propriétés qui se trouve être l’extension d’un théorème de M. CEcu et d’un autre théorème de M. Fumini relatifs à l’applicabilité projective des surtaces de l’espace ordinaire. Ces propriétés, développées au Chapitre I, ont ététrouvé en partie par M. BERSANO'), mais à un degré beaucoup moins avancé.

Je dois le succès de ces résultats à l'attention que mon cher Maitre M. Carrax a voulu porter à mon travail. L'emploi dela méthode du repère mobile et des systèmes de Pfaff en involution dont M. CARTAN a été le créateur et l’animateur, m'a été d’un secours certain pour simplifier, d'un côté, les démonstrations dans bien des cas et dans d’autre cas, comme par exemple celui où sont poussées plus loin les recherches de M. BERSANO, comme moyen unique d'investigation. Qu'il me soit permis de lui exprimer par cet hommage, avec mon admiration, ma plus profonde gratitude.

CEÉSPIPERR PER ENILER Généralités sur l’applicabilité projective

À. Préliminaires

Nous avons employé, pour démontrer les résultats du présent travail, la méthode du repère mobile, développée par M. CARTAN et par d’autres auteurs dans des nombreux travaux de géométrie infinitésimale. J’indiquerai dans ce chapitre, entre autres, brièvement, quels sont dans cette théorie les principaux résultats dont nous nous sommes notamment servi. La plüpart ont été résumés par M. CaRTAN dans son article Sur les variétés à courbure constante d’un espace enclidien ou non en lidien (Bull. soc. math. 1919 et 1920); une autre partie se trouve développée dans la thèse de M. LALAN / Variétés à trois dimensions etc. J. Mat. pures et appl. 1924).

19, — Le repère mobile. Un point analytique est défini par l’ensemble de ses n +1 coordonnées homogènes par rapport à

1) Rend. r. Inst, lombardo 56. 1923 pp. 267—270.

un système fixe de coordonnées. Nous désignerons par des lettres majuscules, comme il est d'usage, aussi bien un point analitique que l’ensemble de ses n + 1 coordonnées homogènes.

Un repère mobile sera défini nar n +1 points analytiques Aos A4, ……, À, non liés par aucune relation linéaire de la forme