AA A EE D AS

dont on comprend facilement les sens. Il dépend en général de (n+1) —1 paramètres, par ex. les rapports mutuels des coordonnées homogènes des n +1 points A,, A; …, À, qu’on appelle aussi les ssommets du repère. On sera souvent conduit à considérer des repères moins généraux, en soumetant les sommets du repère à satisfaire à certaines conditions que nous préciserons dans la suite.

En donnant à tous les paramètres dont dépend la position du repère des accroissements infiniment petits, les coordonnées homogènes des sommets du repère subiront des variations d'A), dA,,…, d'A, quisatisferont à des relations de la forme

(1) ds Dopd, , fi=o,1,.,n)

@p0 -, Mn étant des formes linéaires des différentielles des paramètres, les coéfficients étant des fonctions de ces paramètres. On appelle ces formes de Pfaff w,, les composantes relatives du mouvemen! instantané du repère mobile. Nous remplacerons souvent dans la suite, pour simplifier les écritures, A, qu’on appelle l'origine du repère par À et w,, (i:<0) par w,. Les quantités w, satisfont aux relations extérieurs

nn L d O in — D lo) Ojn |

ÿ=0 dont nous ferons implicitement usage dans la suite des Calcules. Nous nous servirons souvent également du théorème ‘suivant : Lorsqu'on a une relation de la forme Lo, XL ]+ [eo L] + … + [ox {x ] = 0 et w,, …, w, sont des formes linéaires indépendantes par rapport aux différentielles des variables, les y, sont des fonctions linéaires des w, avec des coéfficients formant un tableau symétrique !)

1) CartTAN (7) p. 151. Dorénovant par des désignations de cette nalure nous renvoyons à la bibliograhie placée à la fin du volume

D’aprés celà nous pourrons écrire.

MEET G—1,2,...,k)

k p=ÿ) %; 4,étant un polynome homogène du 2° degré en w,,

20,— Repères attachés à une variétés V,. Une variété à k dimensions V, de E, sera définie par les relations qui expriment les coordonnées non homogènes %,,%,..., %, par rapport à un système de coordonnés fixe d’un de ses points courants M en fonction de À paramètres uw, ,w,..., u,. Nous considérerons une suite de repères où le point À sera confondu avec le point M et les sommets A,,A,,..., À, seront situés dans le E, tangent à la variété en M. Certains paramètres dont dépend en général la position du repère mobile, seront ainsi déterminés en fonctions

de u,,U2,..., u, par l'intermédiaire des fon tions «, et leurs déà Li

* Nous dirons qu’un repère satis- CD ©

faisant à ces conditions, considéré dans toute sa généralité, ou pour lequel on a particularisé arbitrairement les paramètres non déterminés, est un repère du 1’ ordre. Les conditions imposées se traduisent par les relations

rivées partielles du 1° ordre

6x4 = 0 y “ee ni. 0)

On déduit des relations extérieurs et du théorème cité les relations

1 9 Pa È CA TS NE (2) Wiu = Y GPS —= DE Miyx Oy se kb HE x)

les D, étant certains polynomes homogénes du 2° degré en ,..., x et les quantités m,,—m;, étant des fonctions de Wu, u,...,4, (par l'intermédiaire de %,%:,...,%, et de leurs dérivées de 1' et de 2° ordre) et de certains paramètres restants Vies Up

Lorsqu'on aura donné des valeurs particulières à ces paramètres le repère sera dit du 2° ordre. Si nous désignons d’ailleurs par X1,Xe,...,X, lës coordonnées non homogènes d’un point de la variété par rapport à un repère quelconque du 1° ordre ayant le point M pour origine, les équations de la variété, sup-

posée analytique, pourront s’écrire par rapport aux X premières coordonnées prises Comme paramètres

€ 1 (2) Ya 74 il (3) c k [

Xe = 5 %e QU, + & Ve (BORN CENTRES 0) ,° étant des polynomes homogènes de degré sen X;,, X2,..., Xx et on aura ‘)

(2) Pe (01, ,..., 0x) = Do

(RER IBT ES) La dérivation extérieure des relations (2) nous conduira à des relations de la forme

k 5 Lo; (dmijn + Fija )]= 0 Je tk étant des expressions linéaires à coefficients numériques connus des w,, Nous pourrons donc écrire LE - ) n) ; AR RER De > Mile © (3) ijæ TT îj œ 6 Doi du - ijlc e où l’on a Fa = 29 (0,0, ...,o,(a = k+A,...,n)

Min dépendant des éléments du 3° ordre de la variété et de certains paramètres auxiliaires qui une fois particularisés déterminent un repère du 3° ordre.

Remarquons que pour fixer les valeurs des paramètres auxiliaires v,,...,v,, les relations (3) suffisent. Si nous fixons en effet les valeurs des paramètres u,,u2,...,u, ce qui revient à poser

wo; 000 == 0 rte)

et si nous disignons par à une variation compatible avec ces con: ditions et par e,, e,,, les expressions w,, (à), r,,: (2) nous déduisons de (3)

À Mija = — Ejje où les expressions e,,, sont connues. Les quantités m,,, subissent ainsi Les substitutions d’un groupe dont les traasformations in-

1) Lapan (14) p. 248—9255.

finitésimales se déduisent facilement des expressions e,,!). Nous pourrons donc assigner aisément à priori des valeurs numériques convenables aux fonctions m;,,, ou suivant les cas des valeurs égales aux invariants du groupe ainsi déterminé qui seront d’ailleurs des invariants projectifs de la variété considérée.

Nous avons esquissé ainsi un procébée de normalisation du repère de proche par ordres successifs?), jusqu’à un certain ordre ou Jusqu'à l'épuisement complet des paramètres lorsque cela est possible ; dans le cas contraire on est conduit naturellement à certaines variétés algébriques dont l’étude joue un rôle important dans l’étude même des variétés les plus générales.

3°, — Coordonnées plückeriennes d’un élément plan. Lorsqu’un élément plan E,; est défini par h points M,,M,...,M,, ses coordonnées plückeriennes sont par définition l’ensemble de tous les mineurs d’ordre À de la matrice formée avec les h (n + 1) coordonnées homogènes des points M4, M:,..., M, Nous désignerons l’ensemble de ces coordonnées par le symbole

[M M... M] auquel on appliquera, le cas échéant, les règles de différentiation des déterminants.

Si (M, M2, ..., M,) et (Ny, Nes... , N,) sont deux séries de poins de définition d’un même E,;, les coordonées de E,., définies de ces deux manières sont proportionnelles, ce que nous exprimerons dans la suite par la relation

[MM...M]=p[NN...Ml]

Des règles plus complètes concernant ce calcul symbolique, pour n = 3, ont été exposées par M. MENTRÉ dans sa thèse (Les variétés réglées etc. Ed. Presses Universitaires). Ces règles se généralisent sans peine pour n quelconque et nous en ferons constamment usage.

4°, — Eléments plans osculateurs à une variété V,. Si nous considérons l’ensemble de toutes les courbes passant par un certain point d’une variété V, et les E, osculateurs en ce point à

1) Si en effet on à éijæ = Ein) mio elh les transformations infinitésimales du groupe

53 2 f PIN dl (hi en Oro AOF ije) ie omija"

2) v. par ex. Carran (8) p. 280—286.

chacune de ces courbes, on appelle hyperplan osculateur du (h—1)" ordre”) ou plan h — tangent ?), le plus petit élément plan contenant tous ces E, osculateurs.

Si nous choisissons le repère de manière que.

RER pu ee AT RUE À Rs er Ne ne ere [ A... ALI AE-HD : Astotmr.: ARE DE RES soit le plan tangent, 2 — tangent, 5 — tangent, etc... nous aurons p4=0, pr =0, #70, Q>k+HQ,n>=KR+HOQHR,V-kHRERES,...) quant aux formes ECC) D PRO Pr Ce avec RENE On EL TO ERE VER MO ER ES =" on les appelle les formes assymptotiques du 1", 2,3", … ordre; elles jouissent de la propriété remarquable suivante : Les dérivées partieles d'ordre h d’une forme assymptotique d'ordre m est une forme assym ptotique d'ordre m — h°), On a en fin les relations suivantes qui nous serons utiles*):

h+0 (4) = Léom @zk+0) 1=h+1 59, — Dualité. Nous pouvons aussi déterminer un repère

mobile par les (n 4-1) coordonnées tangentielles des n +1 hyperplans (E,,) formés en associant les sommets du repère n à n. En désignant par a; l’hyperplan (ou la face) opposé au sommet A;, ou bien l’ensemble de ses n+ 1 coordonnées tangentielles et par le symbole (a A) une expression de la forme

Lo Lo + Vi Li He Hu du

Vos Vis +. , V étant les coordonnées tangentielles d’un hyperplan a et Lp, Li, … , %, les coordonnées homogènes d’un point À, nous aurons pour définir les coordonnées a les relations

(2) (di AD E0 CÉNENS EUR REA)

1) CarraN (7) pp. 146—156.

2), v. Tugint (12) p. 731.

8) CARTAN (7) p. 155.

4) do (7)p. 158,

qui expriment que le point A; est situé sur la face a. Nous pouvons achever de déterminer les coordonnées des E, ; analytiques a; par les relations

(6) REA E)="1 (== 01e)

car les premiers membres ne sont pas nuls. Nous aurons alors des relations de la forme

(7) dé =\\oy œ. (CERN Perte)

De la différentiation des relations (5) et (6), en tenant compte de ces relations et des relations (1) et (7), nous deduirons facilement

(8) MCE

Cela étant la corrélation particulière

D = lp on la fera correspondre à un repère dont les faces sont 4, &,.…., a, un autre repère ayant pour sommets les points analytiques A;, A4, …, À, tels qu’on ait

A5 —= do; A,=a, se A 0%

et par conséquent

d'A;= > win À; (—=01,.,n) h=0

À une variété V, correspond par dualité une hypersurface 2 dont le plan tangent dépend de # paramètres. À des repères d'ordre h attachés à V, correspondront des repères attachés à 2% et les équations de Z® en coordonnées tangentielles par rapport à un de ces repères mobiles seront les mêmes que celles de V, en coordonnées ponctuelles par rapport au repère correspondant. Les relations (8) font passer des composantes du mouvement instantané des repères attachés à V, aux composantes relatives au mouvement des repères correspondants attachés à Xl.

6°. Systèmes différentiels en involution. Nous aurons souvant besoin dans la suite d'appliquer la théorie des systèmes de Pfaff en involution, aux systèmes différentiels que nous rencontrerons et qui seront posés par les différents problèmes de

déformation que nous traiterons, quand il y aura à determiner le degré de généralité de la solution.

La théorie des systèmes de Pfaff en involution a été édifiée par M. CARTAN dans deux mémoires fondamentaux parus dans les Annales de l'Ecole Normale [Sur l'intégration des systèmes d'équations aux différentielles totales t. 18, 1901 et Sur la structure des groupes infinis de transformations ch. I, t. 21, 14904) et exposé par ailleurs en résumé dans un mémoire cité‘). Nous renvoyons à ces travaux pour toutes les fois que nous aurons besoin d’appliquer les résultats de cette théorie fondamentale.

B. L’applicabilité projective. Extension d’un théorème de Ceckh.

7°. — D'après M. CARTAN®) le problème de l’applicabilité projective peut s’enoncer de la manière suivante :

» Deux variétés à p dimensions s et S d’un espace projectif à n dimensions sont dites déformées l’une de l’autre d'ordre h si l’on peut établir entre ces variétés une correspondance ponctuelle telle que deux morceaux infiniment petits correspondants des deux variétés puissent être amenés en coincidence, aux infiniment petits près d’ordre k + 1, par un déplacement projectif convenablement choisi (et variable avec le morceau considéré)«.

Ce problème a été généralisé par M. FÉrAUD”); j’emprunte au travail de ce dernier la notion de correspodance C,, entre deux variétés s et $ à p dimensions d’un éspace E,, qui est une généralisation de l’applicabilité d'ordre h de M. Fugini, qui n’est que la correspondance C,, (ou simplement C,):

» Une correspondance C;, entre deux variétés s et S est telle que par un déplacement projectif convenablement choisi A (variable d’un point à l’autre) on peut amener un point À quelconque de $ sur son homologue a des de telle sorte qu’au point commun les deux variétés aient après le déplacement uñe application C, et un contact d'ordre & ? h«.

La recherche des équations différentielles que ce problème pose est très simple. On choisit le long de s un repère (r) où A...

1) CarTAN (7) pp. 136 — 146.

2) d0 (9) Le probléme général de la déformation. 8) Féraub (10) Thèse p. 2.

A, d'ordre k ($ 2°), qui sera défini par un certain nombre d’équations linéaires en w;;, les composantes du déplacement instantané de ce repère. On écrit que ce mêmes equations sont satisfaites par les composantes Q;; relatives au repère (R) ou B.. B, attaché à S, repère qui se déduit de (r) par l’homographie H ! inverse de H, ceci est une conséquence du fait que ces équations linéaires résultent de la structure des formes 9% ($ 2°) qui doivent être les mêmes pour les deux varétés si t £ k, parce qu’il y a contact d'ordre k£. On écrit ensuite les équations que posent la C,.

Pour écrire ces dernières équations M. CARTAN à donné une méthode dans la communication faite au congrès de Strasbourg et une deuxième méthode valable pour la C: des hypersurfaces dans son mémoire sur la déformation des surfaces‘).

Nous donnerons ici une troisième méthode pour h — 2, 3, 4, méthode inspirée des lecons professées par M. CARTAN à la Sorbonne (1927—28) et qui a l’avantage de s’appliquer aussi aux problèmes déformation avec contact géométrique dont nous parlerons plus loin et mêmes aux problèmes de déformation avec un troisième genre de contact, que nous définirons égallement et que nous appellerons contact de Cech, parce qu’il a été considéré pour la première fois par cet auteur dans un beau théorème sur l’applicabilité projective des surfaces.

80,— Suivant la notion de déformation avec contact géométrique, deux variétés s et S sont applicables avec contact géométrique d’ordre h, si on peut établir une correspondance (que nous désignerons par G,), telle que par une homographie convenable H on puisse amener deux points correspondants en coïncidence de manière que deux courbes correspondantes quelconques, passant par ces points, aient entre elles après ie déplacement un contact d’ordre h°).

| De même nous dirons qu’une correspondance (que nous désignerons par l';) établit une applicabilité d’ordre k avec contact de Cech, lorsque par un déplacement projectif convenable on peut amener en coïncidence les E, osculateurs à deux courbes correspondantes en deux points correspondants.

1) CarrTAN (8) pp. 208 — 272.

2) Cf. Fuemi (11) p 141 et aussi CarTaN (8) p. 264,

M. Fugini avait déjà démontré que pour les V, de E; et pour h=—= 92 on a les deux propriétés suivantes:

A. Une applicabilité G, est nécessairement une Ci).

B. Une applicabilité G, est aussi une C,, si ou applique au besoin une nouvelle transformation homographique à la variété S°).

D’un autre côté M. Cecu, dans les mêmes cas également, a démontré le thèorème suivant *).

C. Une T, est aussi une G, si on applique au besoin une nouvelle homographie à S (qui peut d’ailleurs varier d’un point à l’autre).

Ces trois propriétés montrent l'identité pour les surfaces de l’espace ordinaire entre les trois genres d’applicabilitè projective du second ordre.

Les propriétés À et B ont été généralisées par M. CARTAN pour h=—2 et pour les V,,de E, ; M. BERSANO a généralisé aussi les propriétés À et C pour k=2 et 3 et la propriété B pour h=— 2 pour toutes les variétés d’un espace projectif E,..

Il est remarquable le fait que toutes ces généralisations ont un caractère à part. Comme on peut parler d’applicabilité projective en un seul couple de points correspondants‘), ces propriétés sont valables isolément, c’est à dire qu’il suffit de supposer la validité des hypothèses en un seul couple de points correspondants pour que les conclusions soient justes en ce même couple de points.

La propriété À est très générale; quant aux autres propriétés, que nous avons tâchés de pousser plus loin, ÿ faut, pour qu’elles soient valables dans les cas que nous avons traités, que les hypotèses soient vérifiées dans tous les points, correspondants des deux variétés. A

90,—En empruntant pour ie moment l’analyse de M. Ber- SANO *), nous considérerons deux courbes (x) et (X) d’un espace E, dont les coordonnées non homogènes a, æ3,..,æ, et X4, Xe...

X, d’un point courant seront exprimées en fonction d’un même paramètre u. Pour qu’en un point correspondant à la valeur u,

1) Fusini (11) p. 144.

3) Cf, Font (12) p. 120.

4) Fosini (11) p. 146

8) BErsano (1) p. 267—275,

du paramètre il y ait un contact du 4"° ordre, il faut que pour u—"% on ait les relations suivantes :

Xi = ξ Xi = pa; Xi = pa; +ox;, Xi = pari" + 3 pou EL Xi; XI = pt x OM E Gars” + + /4p4 + 30?! r;" L dx ; = dre.

les accents désignant des dérivées par rapport à u et p, s, y, ù étant des constantes. Les deux premières relations sont relatives au contact du 1° ordre, les trois premières relations au contact du 25 ordre, les quatre premières relations au contact du 3" ordre.

Considérons maintenant deux variétés V, et v, à k dimensions, rapportées biunivoquement de manière qu’à deux points correspondants, correspondent les mêmes valeurs des paramètres U, Us, ……, U, par rapport auxquels sont exprimées les coordonnées X,;. x; des points courants des deux variétés; pour qu’elles aient en un point correspondant aux même valeurs ui, uz, …, uÿ des paramètres un contact géométrique du 2° , 3% ou 4" ordre, il faut que, lorsqu’an remplace u,, U+, …, u, par des fonctions arbitraires d’un paramètre u, assujeties simplement aux conditions que pour U = %5, on ait

HU, +, Mi UNE U, les relations suivantes soient satisfaites:

Nr 00) = pD 2 ND, Xe Dr Ex DA —=pD,7, ESp5D, zx XD, x; D,X, = ptDyr, L 6prsDuz, EL (4 pl 302) Dia, 8D,æ,:

(OMR, 1)

où l’on a posé

k L af 70e JR > HUE ‘Us de P, É + L 2 Ur Aa? D, f qu 1 dUr als de Le r—=1

ry85t—=1 PTS

D de / / / / 3 a? f / 172 2 mers me lp cllsioU Ê me Uno Us s/ » PUADTREE TE GASOIL an »” , dUrdus a

. a f LA 4 ‘ ‘ Dre Ut a r,84q4= 1 dUr als ar dll q

D nr SR Entre RE ms. 2 74 172 re | PO Z , + 6 Ur Us Us! + 3 . airs UPARUTES 2

ET adly als AU te

DE k ] d ï:

+ / D» ee Ur us" Le D u UV) 5 1 à Uy 2 PE

dlltr als

#, s, y et à dépendront fonctionellement de u,, ue, …, u.. Les deux premières relations (9) sont relatives au contact du 1" ordre, etc. Contact géométrique du 2° ordre. Les deux premières relations (9) devant avoir lieu quelque soient u,', u,” on montre sans ditficulté qu'il faut que l’on ait k

p=1; : 52) ous

et par conséquent ». Ln'e re OPUS 2 ere en

ES Uy d'Ur 19 Uy A Us aUr aus

d’où l’on déduit qu’on contact géométrique du 2 ordre est néces-

sairement analitique du 1° ordre.

Contact géométrique du 5° ordre. De la troisième relation

(9) on tire immédiatement en tenant compte des relations précédentes

k GE (0 x == 9 »2 rs Us! Us!

Ty S—=1 et par conséquent + 2 V£ 2 X = rx : VAR : à X; LS) Tj :

i LA A ON CR RTE 2) u, 2) u,, au, ou, aile ELU | A, A. A > D.

(11) at,at, dt, 9, au, au, de ou, FX d FE

dr DEMO À ETENX. r,s1=1,:k $

et on déduit comme précédemment qu’un contact géométrique du

3"*° ordre est néceesairement analityque du 2° ordre. Contact géométrique du 4"° ordre. De la dernière relation (9) nous tirerons facilement en tenant compte des relations pré-

cédentes le — 0,0 — Orst Up Us Us P, S, t=—1 ;

(Ru, NO SO 2%, FU un Dieter te — — DER d LL, au, aus ou, al ou, au, au, £ Z x7 D = = Z; 2° X, 7) à Z, ELA (12) 1 DURE! ? | VE 1 ) *E Or au, 21, au, au, ot, ou, au, ou n AU au, ad Fe au, as OT ; +3 dB, at; Det PAT Ost Oggr — Ogrs — re :

| À ou, e QU ee dl, r,s1.q=1 F , À

ce qui montre en particulier qu’un contact géométrique du 4° ordre est nécessairement analytique du 3° ordre. On reconnaît immédiatement que le procédé est général ; on peut donc considérer la propriété A (K 8°) vraie dans toute sa généralité.

40% Nous considérons comme évident, que lorsque deux variétés V, et v, ont en un point un contact de Cech d’ordre h, elles auront par le fait même un contact de Cech d’ordre à < h ‘).

Contact de Cech du 1" ordre. On doit avoir évidemment