NET H—Y

NI 1 ‘ 74 LA — 4 ) Ôpsta Ur Us UE Ug P,Sit1—1

d’où les relations (12), ce qui démontre le théorème, Pour toutes les variétés autres que les variétés , le théorème de Cech (propriété C, $ 80) est vérifié pour h — 4.

170 — Revenons aux variétés D. Nous pourrons toujours par un déplacement convenable des sommets A,, Az, ..., À, du repère nous arranger de manière que la relation (24) unique ait la forme

Mie — Mzo Se Mike == 0,

et par une modification appropriée des sommets À,,:,. manière ait

AÀ,, de

Fo Muue mn) 1 HE 0)

où l’on a désigné par

CHINESE AE) ARE 0 MP AT ES 1,h) les indices

ROMANE ET 0-1 26,311... k+0

Si nous prenons enfin comme nouveau sommets A, les points \iÿ) = Ati) iù hij À

ÿ nous annulerons tous les x;;, (sauf x,,) et si nous posons

Rj= — 2% le système (18) de la G; s’écrira sous la forme 0, Es — 0, = 0 EE, =o, E;=0, Eio =0, Fy=06Zh

| | Eve — Eso — 0, Ho 0 (#0) !

(30) ù Ep = 3% 04 EE, = - 420, E y = —% 0» Eng s = 0 bmx 0, F5, 20, Ep —0 me, he) LA RO RES EEE ny PRE ES

si dans ses équations ou fait x — 0, on obtient lesystème de la C:.

180.— D'après un théorème énoncé plus haut ($ 4°), les formes +) ont pour 8 => +Q, des dérivées partielles qui sont toutes des combinaisons linéaires des formes (29); ces formes o°) seront alors elles-mêmes des combinaisons des formes suivantes :

3 5e 2 d D ë ,2 9 DJ — 9 £, js Lj + OL dj» d a) (4 1 = me æn)s Grau, 6 Lj En Lie

| j, h, l différents entre +) = k :

— goss

Nous ne considérerons que des variétés ® que nous appellerons exceptionnelles pour lesquelles le nombre de dimensions de l’espace 3 - tangent ($ 4°) est maximum c’est à dire :

R = En (41) Cu +4);

on pourra dans ce cas choisir les sommets A,:941,.., Assoun, A, (u > k + Q +R) de manière que (3 — 78 M, mè 8 — 78 6 2 | Ph LO44 = 24 + 32 2, Dos = 4) À 3 25, … (31) | Cor Por =} Lio Ly 4 Lx , Qu — 0

Pour plus de clarté nous allons faire 4 —3. On aura alors d’après (29) et conformément aux relations (2)

Dia Os Ou = O4, Dig = Do , Dig — 3 ; Dig = 0 Do O2 5 Dr — O0 , Dog — y , Way — 0 , Dog = 0 Day — 0 : Was — Wa >» La — 0, Way = 0); , Dog — Do

et de même d’après (31) et (4)

W49 LS (on ; Oy — 0 , O9 = W , Oy —= ORE Dog —= 0 Dy10 — 0 > O5 rs O6;10 — 0 ) O7.410 — Pa ) O8,10 — © Bon = 9 5 Op 0, On = , Op 0 , Oyy = 0 Da O0 5 Dispo — O3 , Op O0 , Wa = Wy ; Ogsyo = 0 Bang 0 ; Dig — O2, Ogg = 0 , Oyyz — O0 ; Duyg — 3 Dyga = O3 > Dipg —O , Ogg O0 ; Oyya = Op » Pg14 — Do Das 0 5 Dis O0, Ogys = O8 à Op = Po 5 Dis = Os Oy,u — 0 ( SC RC UT 15),

Nous en tirerons par dérivation extérieure les relations suivantes :

Ogg 2011 + O90 + 54 = Mi + bo + C0 Oga O2 — On = Vies + 6402 + fios

Da — Os = C0 + fa02 + 03

Oya — 2099 + Do + 404 + ho + i,03

Oga — Vg2 = [301 + L02 + J403

Os = Ja + 74102 + 103

ds à Os 7 2011 + Oo — 450 + bo, + cos Os Dai = 0,0 + 0,0) + fs0s

O5 Dig Op = C1 (02 +0,03

Os = 0501 + 502 +103

gs — Vs = [504 + 1,02 + Jo

5 — LO33 + %o0 = 9501 502 + lo

dy + 0,6 — Lo = 0 + 0502 + cos

gg — %22 — 11 + Oo — Dita E02 + fat Org Vg2 = C1 + l602 + 9603

og — 207 = 60 + ho + 1603

Ogg Og1 = /601 + 4602 À 603

d56 = Go +02 Li

dy +0, — 2033 — 40: + 0.0, + C0

O7 — Os = 50 + 502 + 103

O7 — 38 — 011 + Voo = 01 + 502 + Ut Our = 6:04 + lo + 1.03

Ogg — Ogg = / 101 + U102 + 503

On — og — Gr + 02 + lit

O8 + Osg = 4301 + Vgoo + CO

Ogg — dy = 0,0 + 6802 + (603

%yg — 2073 = 0301 + 0 + 1302

Ogg — Ogg — O2 + oo —= /80 1 + 1802 + js %58 — 2032 = 801 + 80) + (803

et par une nouvelle dérivation extérieure de ces relations on se rend compte qu’on peut annuler tous les a, b;, … , L; ce qui revient d’ailleurs à la possibilité du choix d’un repère tel que vf) = 0 CES) CR O0):

Les équations

qui figurent parmi les équations (30) nous donneront par dérivation extérieure, en tenant compte de toutes ces relations et du choix simplifié du repère (r),

3 4 + Lo + Bo — 6% 015 — 090 = Aoû + Bow + Cons

E50 — 2% 0,2 = Boy + Fo, + Fo

22) | E,0 — 240 O4 = C0: + F0: + Gotta — dE +24, — — @yp = = Eso, + Lio, + Lo:

He = Fo, + lo, + Jo;

— d'A + Eo +220, — 069 = 600, + J, ©, + Lie; si x = 0, c’est à dire dans le cas de la C4, on a A6 = Fo + Go Bo = 6 + Jo: Co = lot + Lo

Le système formé par (30) et (32) est en involution. On le démontrera en prenant les équations extérieures (les seules qui ne soient pas identiquement nulles) des groupes suivants :

DÉS 0-0 ab ONE 0 0 LE=0,E;—Ep=0, E:—0o, Ex —0 , Lg; = 0.

NES —=0Y 0e dt 00 = 0% == 0:

INSEE = OPA ONE = De — PE 0 Pi —0.

OR 0E SE op RP 0e PSE, —=0.

VLE, =0, E=0, E —=—0, , Es, =—%03 , Egy = 0.

VIL ER == 20,050), Es: —1o, E—0, Ego = — %04 VID ES Oro, , Li 0 , Le: —70, Egg = — %0,

et des équations (32).

Les équations extérieures de chacun des groupes I— VIIT se mettent toujours sous la forme.

[o, E; ] + [eo H; | Los [; ]= 0 [oi G: ] + lo, J']+ To, L ]= 0

(33) Lo, (+) + le F4 fo ]= 0 Lo, (Hi) + fe Ki 14e Gi ]= 0 [o, Fi ] + lo, + le di ]=0o

We 60)

où toutes les formes E,,..., L,; sont linéairement indépendantes. Chacun des groupes I— VIII est ainsi en involution avec 8 = 2,

Les équations extérieures du système (32) s’écriront par contre si x =< 0, sous la forme { Lo7Ao 1 0 Bo 14 [05 Co] = 0 Los BJ + To E ]+ To Fo ]= 0 (34) Eos Co 1 + To F ]+Tos Go] = 0 Los E + lo H]+Toesl = 0 [Lo ]+ lol ]+lo dd | = 0 [lo Gl+led|+les LI 0 et ce système est en involution avec s3 == 1.

Ainsi pour k=3, le systèmé différentiel qui donne les variétés V, applicables avec ‘contact géométrique du 3"° ordre sur une variété v, appartenant à l’espèce D exceptionnelle admet des solutions dépendant d’une fonction arbitraire de k arguments.

Six — 0 on à au contraire.

A6 = E + Go Bo = Mo + do, Co = lo + Lo et le système (34) a lui aussi la forme (33).

Pour k — 3, les solutions du système différentiel qui donne les variétés V, applicable avec contact analytique du 3° ordre sur une variété v, appartenant à l'espèce D exceptionnelle ne dépend que des fonctions arbitraires de k—1 arguments.

Ces deux résultats sont très généraux; ils s’appliquent à toute valeur de k et montrent la différence essentielle entre l’applicabilité projective analytique et géométrique du 3° ordre des variétés ® exceptionnelles,

190,—Proposons-nous maintenant de voir si le théorème de Cech est valable pour les var étés D exceptionnelles.

Nous reviendrons pour cela aux considérations du $ 13°; cette fois (R) designera le repère avec lequelvient coïncider (r)

par l’homographie qui réalise le contact de Cech du 4° ordre et en même temps un contact géométrique du 3", ce qui est possible d’après les résultats de M, Bersano ($ 122). On aura alors les relations (41) et nous déduirons cette fois de (28) en tenant compte de (11)

k Ami, pæ=0, v=6 ÿ'Xsuu,

Tr S= 1 k " 20 E7 912 D) Lou us +4 D, Braun a PS A, D, Sr t—=1 et on aura par conséquent (11) et a X; = a Lx 2 Di a dj EE RS LT RES TT L CRE SL Re CE EST dlty as AU AU 2 Ur aUs AU a Ua a Ut All AU» AU 2 2 . 2 y. 2 7.

d° Li 2° Li . d° Li d° Ti LR RSR Re pee als AUq dlly AUs aus aux al4 aUr o) ï d Li 2 Ti 2 Li + Ôrse PES (Tree Aa on AQU du Re au dut

En tenant compte un ces Stone nous aurons comme précédemment ($ 13°) le développement suivant

Xi = (ti )o DE je + Âee ut) ut +

à Ur A Us RE PL; TL n 0 DT ED 1,8, 11 à Uy als AU: aus d Ur AUs 0

uy—ur) (us—u) (u— ut) +

l APTE À 2 ZX; du ) 0 # } 2e 24 sr alr aUsaUrsatl 2 Ur & Ua 78,4,4—1

+ à rat ne Lo d

et par ns

Î ) TL T; 7 . d Li ° ci C d wi / 0 û ( AR = Ce — À As + Xi Se ) Qu, —u,)(us — us) dur A A C S 0

o Ur PAU

x; | Qu, — ur) (us — af) (u, —ut) ue 0 ‘

ê Li A Li

1 2 di +> 1 d'ht he d'art à Air | Qu ur) (us — u)(u, —u;) — r,8,t JU 0 1 e ÿ TL; : 2 TX; : >? Li Eure: ar TE Hg

TySst;q da aus 9 Ur AU: AUradUs

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+ Ü,s où et avec le choix du $ 14°.

7 ) (ur — Ur) (ue — ue) (us — us) d'uÿ +.

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