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On reconnaît aisément par l’étude de la dérivée en © que la fonction positive z, pour des « croissants, décroît constamment jusqu’à zéro, qu’elle atteint pour © — 2. Il en serait de même d’une fonction Z obtenue en substituant dans z l'argument ® à ©.

Mais étudions plus spécialement la fonction zx dans sa correspondance avec Z. Pour cela, partons de l'expression (50) de z et du quotient

z sin? D sind 1+sinW

FRA ENST OR D E =.) 7: sin?@ sin?W 1 + sind

et remarquons que l’on peut, dans le développement suivant la différence toujours petite (D en (® — ©); 1l viendra

2), s’en tenir aux termes du premier ordre

(91) Are : er ne => à fe sin ® sin W + : (sin?® — sin?o) sin D

L re 2cos® sinW + 2 cos sin? + sine sin(®D +) (B—9 ,

où l’on reconnaît que le crochet d’abord positif pour les petites valeurs de « décroit constamment jusqu’à © — ® en s’annulant une fois et une

: ® \ ’ fois seulement pour une valeur ©, — — de « où €, représente une quantité Cr positive supérieure à l’unité.

Nous concluons de là, ®— ? étant positif, que le rapport > est supé-

rieur à l’unité, c’est-à-dire que z est supérieur à Z pour les petites valeurs de « (jusqu’à © — «,),et qu’ensuite Z l'emporte sur z; les quantités z et Z sont du reste égales pour © — w, et aussi pour © = , car alors + vaut ®.

La valeur w, correspond, d’autre part, à la racine positive de l’équation du second degré en tango

i Sin 5 | 0 — tang”ocosD| 2 cos ® + (1 + sin?) à sind +1:

sin +2. sin W Le ee DANS oc Dsini D sin + 1 L sin Y + 1

et l’on trouve que ® variant de 200 à 5090, w, varie d’un peu moins de 29 à 59 à peine; on en déduit que la quantité £, est très peu variable, car pour ces valeurs usuelles de ® de 209 à 509, elle décroît seulement de 10,4 à 9,5 environ.

Les deux fonctions z et Z toutes deux positives, et sans cesse décroissantes pour & croissant sont donc telles qu’initialement pour de faibles

valeurs de w, Z ait une ordonnée représentative inférieure à celle de 3; ; D

puis les deux courbes z et Z se traversent pour © = w, = - où les deux ê1

fonctions prennent la même valeur. Au delà de cette valeur parti-

culère de «, Z a une ordonnée supérieure à celle de z; les deux fonctions

décroissent toujours ensemble jusqu’à © — où elles prennent de

nouveau une même valeur — nulle ici — en touchant l’axe des abscisses

tangentiellement à ce même point. Les deux fonctions z et Z peuvent

done avoir, d’une manière approchée qui se trouvera légitimée par la

suite, leurs variations relatives représentées sous la forme parabolique