ES = — TR
CRPÿ 106 DAMON sin (D + w)sin?(® — w)
Cette expression varie évidemment en sens inverse de D. De plus, elle varie dans le même sens que © puisque sa dérivée en ® est toujours positive. Une plus grande valeur de l’expression (65) sera donc obtenue pour une plus petite valeur de ® et pour une plus grande valeur de «.
Pour les valeurs élevées de «, d'autre côté, une plus grande valeur de l'erreur, définie par l'expression (59), pourra, en remplaçant tang (9 —,) par sa valeur supérieure (64), À et & par leurs plus petites valeurs (60)
Lo
et (61), et en substituant dans Z au facteur (1 + sin VW’) l'unité, être mise sous la forme PEN. 2,060260 sin 2 D sin (® + ©) sin" (® — 6)
«66 x =: X = $ (09 10! 2,614 sin ® cosfc)
Cette expression varie évidemment en sens inverse de . D'autre part, sa dérivée en « est du signe de la quantité
— 3 sin D cos ® cosw — sin’ — sin (> — 6 sin°D)
toujours négative, puisque dans le champ du problème le facteur entre parenthèses reste toujours positif. Une plus grande valeur de cette expression sera done obtenue pour une plus petite valeur de ®, et une plus petite valeur de «.
Et, pour que l'erreur faite sur k” en y substituant à © la valeur approchée +, soit inférieure à une unité du n°" ordre décimal, il suffira de pouvoir déterminer le nombre entier n tel que les deux expressions (65)
et (66) précédentes soient à la fois toutes deux inférieures à lorsqu'on y remplacera ® par sa plus petite valeur dans le champ du
problème, et © par une certaine valeur comprise entre © et ®.
D) C : NE > Or, pour 6 = ; D et pour ® égal à sa valeur minima, soit 209, les deux
inégalités
| lo TD 2,06265 sin 2 V1 + sin® cos o I 105 > 614 À sin (® + &w)sin?(® — w) LATE 2,01269 | sin 2% sin (® + w)sint(® —o) I 10' . 2,614 sin$® cos! 6) 10/
se trouvent toutes deux vérifiées pour n = 4, puisque leurs premiers ; 8,410 3,907 membres prennent alors respectivement les valeurs — -
ee - Oo? 10° SIREN VOET inférieures à Eu
Nous concluons de là :
D’une part que notre formule approchée (56) donne des valeurs 2,
qui ne diffèrent des valeurs exactes 9 que d’un écart faible dont une Pr ARE : ALORS . sin2®
valeur théorique supérieure de la tangente trigonométrique serait > ; HO?
ce qui correspond à un écart maximum théorique 9 — +, d’environ 52”.
D'autre part, et c’est là le plus important, que l’écart sur 9 résultant de la formule approchée (56) n’a qu’une très faible répercussion sur la valeur de k” et qu’en particulier l'erreur commise sur k’ par la
num. di id helctla "a:
ip
substitution de ©, à © est inférieure à une unité du quatrième ordre décimal.
.. Dans ces conditions, la résolution de l’équation £—o (39) en », est donnée avec une approximation très suffisante par la formule appro-
chée (56).
34. Il peut n'être pas sans intérêt de comparer de suite aux valeurs exactes de © que nous avons calculées directement à une seconde près par défaut, les valeurs +, obtenues par notre formule approchée (56). Cette dernière est du reste d’une application numérique facile en se servant de l’angle auxiliaire W° dont l’expression se prête parfaitement par sa ligne trigonométrique sinus au calcul. Ces valeurs de 9, sont les suivantes pour les mêmes couples des arguments 6 :
D. Oo. 100. 200. 300. 500. 500.
DO rt TS02 HET Al 1924019” 200
SON EC 28006721 29010 2" 29048 47" So
ROPEOE 2700807 38049" 14" 39°26'20" 39°51/48" 40°
FOURS. 48° 5’30” 4804121" 49° 955" 49°33’43" 4925254" "5o°
Les petites différences 9 — ©, sont alors en secondes d’arcs :
D. Oo. 100. 200. 300. 400. 500.
DODRT STN NTP ER —__S1 184 0 ;
SOUS NL dt ee — 9 + 7" — 7" 0
FO RS NC Er + 7 — 2" +13" + 5° 0 DOULEUR Co UD —30! == ro) +32” 190 0
Mais ce qui présente le plus d'intérêt, c’est de se rendre compte numériquement de la répercussion que l’écart 9
D, à eu. sur k’.
L'expression (35) de k’ est prête à un calcul rapide avec l'introduction des deux angles auxiliaires aigus et positifs w” et < définis par les relations
Sin @ SI G)
ks !
: , SD = = sin D sin @
COS EE a
Soit k' la valeur de l’expression (35) de k’ où l’on aurait remplacé o par %, où par suite les angles auxiliaires seraient devenus £, et «w,
définis par les relations : Sin®, =, {sin COSE, = — » SIN, = 7 —" sin D |sino,
les valeurs de k’ valent alors :
D. Oo. 100, 200, 300. 400, 300.
